MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Unicode version

Theorem dipcj 24131
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipcl.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipcj  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 ipcl.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval2 24121 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
76fveq2d 5714 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( * `  (
( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) ) )
81, 2, 3, 4, 5ipval2 24121 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
983com23 1193 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 24119 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1110recnd 9431 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
12 neg1cn 10444 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9738 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
16 ax-icn 9360 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 negicn 9630 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2218, 21subcld 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
23 mulcl 9385 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2416, 22, 23sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2515, 24addcld 9424 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
26 4cn 10418 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
27 4ne0 10437 . . . . . 6  |-  4  =/=  0
28 cjdiv 12672 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
2926, 27, 28mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
3025, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
31 4re 10417 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
32 cjre 12647 . . . . . . 7  |-  ( 4  e.  RR  ->  (
* `  4 )  =  4 )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( * `
 4 )  =  4
3433oveq2i 6121 . . . . 5  |-  ( ( * `  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  4 )
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 24118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3612, 35mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3710, 36resubcld 9795 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 24118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3916, 38mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 24118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4119, 40mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4239, 41resubcld 9795 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
43 cjreim 12668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( * `  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4437, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
45 submul2 9804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4616, 45mp3an2 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4715, 22, 46syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
481, 2nvcom 24018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) B )  =  ( B ( +v `  U ) A ) )
4948fveq2d 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) )
5049oveq1d 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 ) )
511, 2, 3, 4nvdif 24072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
5251oveq1d 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
5350, 52oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
5418, 21negsubdi2d 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
551, 2, 3, 4nvpi 24073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) )
56553com23 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) )
5756eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
5857oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
591, 2, 3, 4nvpi 24073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
6059oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
6158, 60oveq12d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
6254, 61eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
6362oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  -u ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
6453, 63oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6544, 47, 643eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6665oveq1d 6125 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
6734, 66syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
6830, 67eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
699, 68eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( * `  (
( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) ) )
707, 69eqtr4d 2478 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302   _ici 9303    + caddc 9304    x. cmul 9306    - cmin 9614   -ucneg 9615    / cdiv 10012   2c2 10390   4c4 10392   ^cexp 11884   *ccj 12604   NrmCVeccnv 23981   +vcpv 23982   BaseSetcba 23983   .sOLDcns 23984   normCVcnmcv 23987   .iOLDcdip 24114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-sum 13183  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-ablo 23788  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-nmcv 23997  df-dip 24115
This theorem is referenced by:  ipipcj  24132  diporthcom  24133  dip0l  24135  ipasslem10  24258  dipdi  24262  dipassr  24265  dipsubdi  24268  siii  24272  hlipcj  24331
  Copyright terms: Public domain W3C validator