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Theorem dipcj 25303
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipcl.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipcj  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 ipcl.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval2 25293 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
76fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( * `  (
( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) ) )
81, 2, 3, 4, 5ipval2 25293 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
983com23 1202 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 25291 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1110recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
12 neg1cn 10635 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9926 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
16 ax-icn 9547 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 negicn 9817 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2218, 21subcld 9926 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
23 mulcl 9572 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2416, 22, 23sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2515, 24addcld 9611 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
26 4cn 10609 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
27 4ne0 10628 . . . . . 6  |-  4  =/=  0
28 cjdiv 12956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
2926, 27, 28mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
3025, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
31 4re 10608 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
32 cjre 12931 . . . . . . 7  |-  ( 4  e.  RR  ->  (
* `  4 )  =  4 )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( * `
 4 )  =  4
3433oveq2i 6293 . . . . 5  |-  ( ( * `  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  4 )
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 25290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3612, 35mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3710, 36resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 25290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3916, 38mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 25290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4119, 40mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4239, 41resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
43 cjreim 12952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( * `  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4437, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
45 submul2 9993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4616, 45mp3an2 1312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4715, 22, 46syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
481, 2nvcom 25190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) B )  =  ( B ( +v `  U ) A ) )
4948fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) )
5049oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 ) )
511, 2, 3, 4nvdif 25244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
5251oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
5350, 52oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
5418, 21negsubdi2d 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
551, 2, 3, 4nvpi 25245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) )
56553com23 1202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) )
5756eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
5857oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
591, 2, 3, 4nvpi 25245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
6059oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
6158, 60oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
6254, 61eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
6362oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  -u ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
6453, 63oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6544, 47, 643eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6665oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
6734, 66syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
6830, 67eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
699, 68eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( * `  (
( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) ) )
707, 69eqtr4d 2511 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   _ici 9490    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   4c4 10583   ^cexp 12130   *ccj 12888   NrmCVeccnv 25153   +vcpv 25154   BaseSetcba 25155   .sOLDcns 25156   normCVcnmcv 25159   .iOLDcdip 25286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-nmcv 25169  df-dip 25287
This theorem is referenced by:  ipipcj  25304  diporthcom  25305  dip0l  25307  ipasslem10  25430  dipdi  25434  dipassr  25437  dipsubdi  25440  siii  25444  hlipcj  25503
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