MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Unicode version

Theorem dipcj 25828
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipcl.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipcj  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 ipcl.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval2 25818 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
76fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( * `  (
( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) ) )
81, 2, 3, 4, 5ipval2 25818 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
983com23 1200 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 25816 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1110recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
12 neg1cn 10635 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9922 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
16 ax-icn 9540 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 negicn 9812 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2119, 20mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2218, 21subcld 9922 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
23 mulcl 9565 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2416, 22, 23sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2515, 24addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
26 4cn 10609 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
27 4ne0 10628 . . . . . 6  |-  4  =/=  0
28 cjdiv 13082 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
2926, 27, 28mp3an23 1314 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
3025, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) ) )
31 4re 10608 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
32 cjre 13057 . . . . . . 7  |-  ( 4  e.  RR  ->  (
* `  4 )  =  4 )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( * `
 4 )  =  4
3433oveq2i 6281 . . . . 5  |-  ( ( * `  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) )  =  ( ( * `
 ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  4 )
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 25815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3612, 35mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3710, 36resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 25815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
3916, 38mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 25815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4119, 40mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4239, 41resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
43 cjreim 13078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( * `  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4437, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
45 submul2 9993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4616, 45mp3an2 1310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
4715, 22, 46syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
_i  x.  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
481, 2nvcom 25715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) B )  =  ( B ( +v `  U ) A ) )
4948fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) )
5049oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 ) )
511, 2, 3, 4nvdif 25769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
5251oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
5350, 52oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
5418, 21negsubdi2d 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
551, 2, 3, 4nvpi 25770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) )
56553com23 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) )
5756eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
5857oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
591, 2, 3, 4nvpi 25770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
6059oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
6158, 60oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
6254, 61eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
6362oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  -u ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
6453, 63oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  -u (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6544, 47, 643eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6665oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
6734, 66syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( * `
 4 ) )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
6830, 67eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( (
( ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )  =  ( ( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( B ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( B
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( B ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
699, 68eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B P A )  =  ( * `  (
( ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) B ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) ) )
707, 69eqtr4d 2498 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   4c4 10583   ^cexp 12151   *ccj 13014   NrmCVeccnv 25678   +vcpv 25679   BaseSetcba 25680   .sOLDcns 25681   normCVcnmcv 25684   .iOLDcdip 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396  df-ablo 25485  df-vc 25640  df-nv 25686  df-va 25689  df-ba 25690  df-sm 25691  df-0v 25692  df-nmcv 25694  df-dip 25812
This theorem is referenced by:  ipipcj  25829  diporthcom  25830  dip0l  25832  ipasslem10  25955  dipdi  25959  dipassr  25962  dipsubdi  25965  siii  25969  hlipcj  26028
  Copyright terms: Public domain W3C validator