MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipassr2 Structured version   Unicode version

Theorem dipassr2 24384
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of dipassr 24383. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipass.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipass.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ipass.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipassr2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 B ) S C ) )  =  ( B  x.  ( A P C ) ) )

Proof of Theorem dipassr2
StepHypRef Expression
1 cjcl 12698 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  e.  CC )
2 ipass.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ipass.4 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 ipass.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
52, 3, 4dipassr 24383 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  ( * `  B
)  e.  CC  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A P ( ( * `
 B ) S C ) )  =  ( ( * `  ( * `  B
) )  x.  ( A P C ) ) )
61, 5syl3anr2 1272 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 B ) S C ) )  =  ( ( * `  ( * `  B
) )  x.  ( A P C ) ) )
7 cjcj 12733 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  B ) )  =  B )
873ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  (
* `  ( * `  B ) )  =  B )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( * `  B
) )  =  B )
109oveq1d 6207 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( (
* `  ( * `  B ) )  x.  ( A P C ) )  =  ( B  x.  ( A P C ) ) )
116, 10eqtrd 2492 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( ( * `
 B ) S C ) )  =  ( B  x.  ( A P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383    x. cmul 9390   *ccj 12689   BaseSetcba 24101   .sOLDcns 24102   .iOLDcdip 24232   CPreHil OLDccphlo 24349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-t1 19036  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-grpo 23815  df-gid 23816  df-ginv 23817  df-gdiv 23818  df-ablo 23906  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-vs 24114  df-nmcv 24115  df-ims 24116  df-dip 24233  df-ph 24350
This theorem is referenced by:  siilem1  24388
  Copyright terms: Public domain W3C validator