MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipassr Structured version   Unicode version

Theorem dipassr 25592
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare dipass 25591). (Contributed by NM, 22-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipass.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipass.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ipass.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipassr  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( B S C ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )

Proof of Theorem dipassr
StepHypRef Expression
1 3anrot 978 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  <->  ( B  e.  CC  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X ) )
2 ipass.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ipass.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 ipass.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
52, 3, 4dipass 25591 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  CC  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B S C ) P A )  =  ( B  x.  ( C P A ) ) )
61, 5sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( ( B S C ) P A )  =  ( B  x.  ( C P A ) ) )
76fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) ) )
8 phnv 25560 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
9 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
102, 3nvscl 25352 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( B S C )  e.  X )
11103adant3r1 1205 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B S C )  e.  X )
12 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
132, 4dipcj 25458 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B S C )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
149, 11, 12, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  (
( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
158, 14sylan 471 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
16 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
172, 4dipcl 25456 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
18173com23 1202 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
19183adant3r2 1206 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( C P A )  e.  CC )
2016, 19cjmuld 13033 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  ( C P A ) ) ) )
212, 4dipcj 25458 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
22213com23 1202 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
23223adant3r2 1206 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
2423oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( * `  B )  x.  (
* `  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( A P C ) ) )
2520, 24eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( A P C ) ) )
268, 25sylan 471 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )
277, 15, 263eqtr3d 2516 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( B S C ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502    x. cmul 9509   *ccj 12908   NrmCVeccnv 25308   BaseSetcba 25310   .sOLDcns 25311   .iOLDcdip 25441   CPreHil OLDccphlo 25558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-t1 19681  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-grpo 25024  df-gid 25025  df-ginv 25026  df-gdiv 25027  df-ablo 25115  df-vc 25270  df-nv 25316  df-va 25319  df-ba 25320  df-sm 25321  df-0v 25322  df-vs 25323  df-nmcv 25324  df-ims 25325  df-dip 25442  df-ph 25559
This theorem is referenced by:  dipassr2  25593
  Copyright terms: Public domain W3C validator