MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipassr Structured version   Unicode version

Theorem dipassr 24258
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare dipass 24257). (Contributed by NM, 22-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipass.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipass.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ipass.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipassr  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( B S C ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )

Proof of Theorem dipassr
StepHypRef Expression
1 3anrot 970 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  <->  ( B  e.  CC  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X ) )
2 ipass.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ipass.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 ipass.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
52, 3, 4dipass 24257 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  CC  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B S C ) P A )  =  ( B  x.  ( C P A ) ) )
61, 5sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( ( B S C ) P A )  =  ( B  x.  ( C P A ) ) )
76fveq2d 5707 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) ) )
8 phnv 24226 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
9 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
102, 3nvscl 24018 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( B S C )  e.  X )
11103adant3r1 1196 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B S C )  e.  X )
12 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
132, 4dipcj 24124 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B S C )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
149, 11, 12, 13syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  (
( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
158, 14sylan 471 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
16 simpr2 995 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
172, 4dipcl 24122 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
18173com23 1193 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
19183adant3r2 1197 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( C P A )  e.  CC )
2016, 19cjmuld 12722 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  ( C P A ) ) ) )
212, 4dipcj 24124 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
22213com23 1193 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
23223adant3r2 1197 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
2423oveq2d 6119 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( * `  B )  x.  (
* `  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( A P C ) ) )
2520, 24eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( A P C ) ) )
268, 25sylan 471 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )
277, 15, 263eqtr3d 2483 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( B S C ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292    x. cmul 9299   *ccj 12597   NrmCVeccnv 23974   BaseSetcba 23976   .sOLDcns 23977   .iOLDcdip 24107   CPreHil OLDccphlo 24224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-t1 18930  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-dip 24108  df-ph 24225
This theorem is referenced by:  dipassr2  24259
  Copyright terms: Public domain W3C validator