MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipassr Structured version   Unicode version

Theorem dipassr 26470
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare dipass 26469). (Contributed by NM, 22-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipass.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipass.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ipass.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dipassr  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( B S C ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )

Proof of Theorem dipassr
StepHypRef Expression
1 3anrot 987 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  <->  ( B  e.  CC  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X ) )
2 ipass.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ipass.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 ipass.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
52, 3, 4dipass 26469 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  CC  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B S C ) P A )  =  ( B  x.  ( C P A ) ) )
61, 5sylan2b 477 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( ( B S C ) P A )  =  ( B  x.  ( C P A ) ) )
76fveq2d 5881 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) ) )
8 phnv 26438 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
9 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
102, 3nvscl 26230 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( B S C )  e.  X )
11103adant3r1 1214 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B S C )  e.  X )
12 simpr1 1011 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
132, 4dipcj 26336 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B S C )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
149, 11, 12, 13syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  (
( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
158, 14sylan 473 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( ( B S C ) P A ) )  =  ( A P ( B S C ) ) )
16 simpr2 1012 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
172, 4dipcl 26334 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
18173com23 1211 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
19183adant3r2 1215 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( C P A )  e.  CC )
2016, 19cjmuld 13270 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( * `  ( C P A ) ) ) )
212, 4dipcj 26336 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
22213com23 1211 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
23223adant3r2 1215 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
2423oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( * `  B )  x.  (
* `  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( A P C ) ) )
2520, 24eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  -> 
( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `
 B )  x.  ( A P C ) ) )
268, 25sylan 473 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( * `  ( B  x.  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )
277, 15, 263eqtr3d 2471 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X ) )  ->  ( A P ( B S C ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( A P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537    x. cmul 9544   *ccj 13145   NrmCVeccnv 26186   BaseSetcba 26188   .sOLDcns 26189   .iOLDcdip 26319   CPreHil OLDccphlo 26436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-clim 13537  df-sum 13738  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-t1 20314  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-grpo 25902  df-gid 25903  df-ginv 25904  df-gdiv 25905  df-ablo 25993  df-vc 26148  df-nv 26194  df-va 26197  df-ba 26198  df-sm 26199  df-0v 26200  df-vs 26201  df-nmcv 26202  df-ims 26203  df-dip 26320  df-ph 26437
This theorem is referenced by:  dipassr2  26471
  Copyright terms: Public domain W3C validator