MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0l Structured version   Unicode version

Theorem dip0l 24295
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dip0r.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
dip0r.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dip0l  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( Z P A )  =  0 )

Proof of Theorem dip0l
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dip0r.5 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 24193 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  Z  e.  X )
5 dip0r.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 5dipcj 24291 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  Z  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  ( Z P A ) )
74, 6mpd3an3 1316 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  ( Z P A ) )
81, 2, 5dip0r 24294 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P Z )  =  0 )
98fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  ( * `  0
) )
10 cj0 12769 . . 3  |-  ( * `
 0 )  =  0
119, 10syl6eq 2511 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  0 )
127, 11eqtr3d 2497 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( Z P A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397   *ccj 12707   NrmCVeccnv 24141   BaseSetcba 24143   0veccn0v 24145   .iOLDcdip 24274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-sum 13286  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-ablo 23948  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-nmcv 24157  df-dip 24275
This theorem is referenced by:  ip2i  24407  ipasslem1  24410  ipasslem2  24411
  Copyright terms: Public domain W3C validator