MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dip0l Structured version   Unicode version

Theorem dip0l 26045
Description: Inner product with a zero first argument. Part of proof of Theorem 6.44 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dip0r.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
dip0r.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
dip0l  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( Z P A )  =  0 )

Proof of Theorem dip0l
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dip0r.5 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 25943 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  Z  e.  X )
5 dip0r.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 5dipcj 26041 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  Z  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  ( Z P A ) )
74, 6mpd3an3 1327 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  ( Z P A ) )
81, 2, 5dip0r 26044 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P Z )  =  0 )
98fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  ( * `  0
) )
10 cj0 13140 . . 3  |-  ( * `
 0 )  =  0
119, 10syl6eq 2459 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( A P Z ) )  =  0 )
127, 11eqtr3d 2445 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( Z P A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522   *ccj 13078   NrmCVeccnv 25891   BaseSetcba 25893   0veccn0v 25895   .iOLDcdip 26024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-nmcv 25907  df-dip 26025
This theorem is referenced by:  ip2i  26157  ipasslem1  26160  ipasslem2  26161
  Copyright terms: Public domain W3C validator