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Theorem diophun 26722
Description: If two sets are Diophantine, so is their union. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophun  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )

Proof of Theorem diophun
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26712 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 9962 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
32jctr 527 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V ) )
4 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5 nnuz 10477 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uzinf 11260 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
74, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -.  NN  e.  Fin
8 elfznn 11036 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... N )  ->  a  e.  NN )
98ssriv 3312 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
107, 9pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )
11 eldioph2b 26711 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) } ) )
12 eldioph2b 26711 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( B  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } ) )
1311, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  (
( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
143, 10, 13sylancl 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
15 reeanv 2835 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
16 unab 3568 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  u.  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }
17 r19.43 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. d  e.  ( NN0 
^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
18 andi 838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) )  <->  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
19 zex 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ZZ  e.  _V
20 nn0ssz 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  C_  ZZ
21 mapss 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN ) )
2219, 20, 21mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN0 
^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN )
2322sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
2423adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
25 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
a `  e )  =  ( a `  d ) )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
c `  e )  =  ( c `  d ) )
2725, 26oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  d  ->  (
( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) )
29 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  NN )  ->  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) ) `  d )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) ) )
3231eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) ) `  d )  =  0  <-> 
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0 ) )
33 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
34 mzpf 26683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
3635, 24ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  ZZ )
3736zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  CC )
38 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
39 mzpf 26683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  (mzPoly `  NN )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
4140, 24ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  ZZ )
4241zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  CC )
4337, 42mul0ord 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0  <->  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) ) )
4432, 43bitr2d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  =  0  \/  ( c `  d )  =  0 )  <->  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) )
4544anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( a `
 d )  =  0  \/  ( c `
 d )  =  0 ) )  <->  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
4618, 45syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
4746rexbidva 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
4817, 47syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
4948abbidv 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
5016, 49syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
51 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  N  e.  NN0 )
522, 9pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN )
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN ) )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
5554, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
5655feqmptd 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( a `  e ) ) )
5756, 54eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( a `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
58 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
5958, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
6059feqmptd 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( c `  e ) ) )
6160, 58eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
62 mzpmulmpt 26689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( a `  e
) )  e.  (mzPoly `  NN )  /\  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
6357, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
64 eldioph2 26710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( NN  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6551, 53, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6650, 65eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
)
67 uneq12 3456 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  =  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
6867eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N )  <->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
) )
6966, 68syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7069rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7115, 70syl5bir 210 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  -> 
( A  u.  B
)  e.  (Dioph `  N ) ) )
7214, 71sylbid 207 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
731, 72syl 16 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N
)  /\  B  e.  (Dioph `  N ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7473anabsi5 791 1  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280    e. cmpt 4226    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999  mzPolycmzp 26669  Diophcdioph 26703
This theorem is referenced by:  orrabdioph  26730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-mzpcl 26670  df-mzp 26671  df-dioph 26704
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