Theorem diophrw 29022

Description: Renaming and adding unused witness variables does not change the Diophantine set coded by a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
diophrw	|- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) } = { a | E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) } )

Distinct variable groups:   S, a, b, c, d   T, a, b, c, d   M, a, b, c, d   O, a, b, c, d   P, b, c, d

Allowed substitution hint:   P( a)

Proof of Theorem diophrw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> b e. ( NN0 ^m S ) )
2		nn0ex 10581	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
3		simp1 983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> S e. _V )
4	3	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> S e. _V )
5		elmapg 7223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( NN0 e. _V /\ S e. _V ) -> ( b e. ( NN0 ^m S ) <-> b : S --> NN0 ) )
6	2, 4, 5	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> ( b e. ( NN0 ^m S ) <-> b : S --> NN0 ) )
7	1, 6	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> b : S --> NN0 )
8	7	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> b : S --> NN0 )
9		simp2 984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> M : T -1-1-> S )
10		f1f 5603	. . . . . . . . . 10 |- ( M : T -1-1-> S -> M : T --> S )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> M : T --> S )
12	11	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> M : T --> S )
13		fco 5565	. . . . . . . 8 |- ( ( b : S --> NN0 /\ M : T --> S ) -> ( b o. M ) : T --> NN0 )
14	8, 12, 13	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. M ) : T --> NN0 )
15		f1dmex 6546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M : T -1-1-> S /\ S e. _V ) -> T e. _V )
16	9, 3, 15	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> T e. _V )
17	16	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> T e. _V )
18		elmapg 7223	. . . . . . . 8 |- ( ( NN0 e. _V /\ T e. _V ) -> ( ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) <-> ( b o. M ) : T --> NN0 ) )
19	2, 17, 18	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) <-> ( b o. M ) : T --> NN0 ) )
20	14, 19	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) )
21		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> a = ( b |` O ) )
22		resco 5339	. . . . . . . 8 |- ( ( b o. M ) |` O ) = ( b o. ( M |` O ) )
23		simpll3 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( M |` O ) = ( _I |` O ) )
24	23	coeq2d 4998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. ( M |` O ) ) = ( b o. ( _I |` O ) ) )
25		coires1 5352	. . . . . . . . 9 |- ( b o. ( _I |` O ) ) = ( b |` O )
26	24, 25	syl6eq 2489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. ( M |` O ) ) = ( b |` O ) )
27	22, 26	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( b o. M ) |` O ) = ( b |` O ) )
28	21, 27	eqtr4d 2476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> a = ( ( b o. M ) |` O ) )
29		simpll1 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> S e. _V )
30		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = S -> ( NN0 ^m a ) = ( NN0 ^m S ) )
31		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = S -> ( ZZ ^m a ) = ( ZZ ^m S ) )
32	30, 31	sseq12d 3382	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = S -> ( ( NN0 ^m a ) C_ ( ZZ ^m a ) <-> ( NN0 ^m S ) C_ ( ZZ ^m S ) ) )
33		zex 10651	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ e. _V
34		nn0ssz 10663	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 C_ ZZ
35		mapss 7251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ZZ e. _V /\ NN0 C_ ZZ ) -> ( NN0 ^m a ) C_ ( ZZ ^m a ) )
36	33, 34, 35	mp2an 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN0 ^m a ) C_ ( ZZ ^m a )
37	32, 36	vtoclg 3027	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> ( NN0 ^m S ) C_ ( ZZ ^m S ) )
38	29, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( NN0 ^m S ) C_ ( ZZ ^m S ) )
39		simplr 749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> b e. ( NN0 ^m S ) )
40	38, 39	sseldd 3354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> b e. ( ZZ ^m S ) )
41		coeq1 4993	. . . . . . . . . 10 |- ( d = b -> ( d o. M ) = ( b o. M ) )
42	41	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( d = b -> ( P ` ( d o. M ) ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
43		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) )
44		fvex 5698	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( b o. M ) ) e. _V
45	42, 43, 44	fvmpt 5771	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( ZZ ^m S ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
46	40, 45	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
47		simprr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 )
48	46, 47	eqtr3d 2475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( P ` ( b o. M ) ) = 0 )
49		reseq1 5100	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( b o. M ) -> ( c |` O ) = ( ( b o. M ) |` O ) )
50	49	eqeq2d 2452	. . . . . . . 8 |- ( c = ( b o. M ) -> ( a = ( c |` O ) <-> a = ( ( b o. M ) |` O ) ) )
51		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( b o. M ) -> ( P ` c ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
52	51	eqeq1d 2449	. . . . . . . 8 |- ( c = ( b o. M ) -> ( ( P ` c ) = 0 <-> ( P ` ( b o. M ) ) = 0 ) )
53	50, 52	anbi12d 705	. . . . . . 7 |- ( c = ( b o. M ) -> ( ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) <-> ( a = ( ( b o. M ) |` O ) /\ ( P ` ( b o. M ) ) = 0 ) ) )
54	53	rspcev 3070	. . . . . 6 |- ( ( ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) /\ ( a = ( ( b o. M ) |` O ) /\ ( P ` ( b o. M ) ) = 0 ) ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) )
55	20, 28, 48, 54	syl12anc 1211	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) )
56	55	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> ( ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) )
57	56	rexlimdva 2839	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) )
58		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> c e. ( NN0 ^m T ) )
59	16	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> T e. _V )
60		elmapg 7223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ T e. _V ) -> ( c e. ( NN0 ^m T ) <-> c : T --> NN0 ) )
61	2, 59, 60	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c e. ( NN0 ^m T ) <-> c : T --> NN0 ) )
62	58, 61	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> c : T --> NN0 )
63	62	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> c : T --> NN0 )
64	9	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> M : T -1-1-> S )
65		f1cnv 5661	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : T -1-1-> S -> `' M : ran M -1-1-onto-> T )
66		f1of 5638	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' M : ran M -1-1-onto-> T -> `' M : ran M --> T )
67	64, 65, 66	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> `' M : ran M --> T )
68		fco 5565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c : T --> NN0 /\ `' M : ran M --> T ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> NN0 )
69	63, 67, 68	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> NN0 )
70		c0ex 9376	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
71	70	fconst 5593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 }
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 } )
73		disjdif 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/) )
75		fun 5572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c o. `' M ) : ran M --> NN0 /\ ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 } ) /\ ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
76	69, 72, 74, 75	syl21anc 1212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
77		frn 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : T --> S -> ran M C_ S )
78	9, 10, 77	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ran M C_ S )
79	78	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ran M C_ S )
80		undif 3756	. . . . . . . . . 10 |- ( ran M C_ S <-> ( ran M u. ( S \ ran M ) ) = S )
81	79, 80	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ran M u. ( S \ ran M ) ) = S )
82		0nn0 10590	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
83		snssi 4014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. NN0 -> { 0 } C_ NN0 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ NN0
85		ssequn2 3526	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 } C_ NN0 <-> ( NN0 u. { 0 } ) = NN0 )
86	84, 85	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( NN0 u. { 0 } ) = NN0
87	86	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( NN0 u. { 0 } ) = NN0 )
88	81, 87	feq23d 5551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
89	76, 88	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 )
90		elmapg 7223	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
91	2, 3, 90	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
92	91	ad2antrr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
93	89, 92	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) )
94		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> a = ( c |` O ) )
95		resundir 5122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) |` O ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) )
96		resco 5339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c o. `' M ) |` O ) = ( c o. ( `' M |` O ) )
97		cnvresid 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( _I |` O ) = ( _I |` O )
98		simpl2 987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> M : T -1-1-> S )
99		df-f1 5420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M : T -1-1-> S <-> ( M : T --> S /\ Fun `' M ) )
100	99	simprbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M : T -1-1-> S -> Fun `' M )
101		funcnvres 5484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' M -> `' ( M |` O ) = ( `' M |` ( M " O ) ) )
102	98, 100, 101	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> `' ( M |` O ) = ( `' M |` ( M " O ) ) )
103		simpl3 988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( M |` O ) = ( _I |` O ) )
104	103	cnveqd 5011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> `' ( M |` O ) = `' ( _I |` O ) )
105		df-ima 4849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M " O ) = ran ( M |` O )
106	103	rneqd 5063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ran ( M |` O ) = ran ( _I |` O ) )
107		rnresi 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ran ( _I |` O ) = O
108	106, 107	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ran ( M |` O ) = O )
109	105, 108	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( M " O ) = O )
110	109	reseq2d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( `' M |` ( M " O ) ) = ( `' M |` O ) )
111	102, 104, 110	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> `' ( _I |` O ) = ( `' M |` O ) )
112	97, 111	syl5reqr 2488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( `' M |` O ) = ( _I |` O ) )
113	112	coeq2d 4998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c o. ( `' M |` O ) ) = ( c o. ( _I |` O ) ) )
114		coires1 5352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c o. ( _I |` O ) ) = ( c |` O )
115	113, 114	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c o. ( `' M |` O ) ) = ( c |` O ) )
116	96, 115	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( c o. `' M ) |` O ) = ( c |` O ) )
117		dmres 5128	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = ( O i^i dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) )
118	70	snnz 3990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 0 } =/= (/)
119		dmxp 5054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 0 } =/= (/) -> dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) = ( S \ ran M ) )
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) = ( S \ ran M )
121	120	ineq2i 3546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O i^i dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) = ( O i^i ( S \ ran M ) )
122		inss1 3567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( O i^i S ) C_ O
123	106, 107	syl6req 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> O = ran ( M |` O ) )
124		resss 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M |` O ) C_ M
125		rnss 5064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M |` O ) C_ M -> ran ( M |` O ) C_ ran M )
126	124, 125	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ran ( M |` O ) C_ ran M )
127	123, 126	eqsstrd 3387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> O C_ ran M )
128	122, 127	syl5ss 3364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( O i^i S ) C_ ran M )
129		inssdif0 3743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O i^i S ) C_ ran M <-> ( O i^i ( S \ ran M ) ) = (/) )
130	128, 129	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( O i^i ( S \ ran M ) ) = (/) )
131	121, 130	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( O i^i dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) = (/) )
132	117, 131	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) )
133		relres 5135	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O )
134		reldm0 5053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Rel ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) -> ( ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) <-> dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) ) )
135	133, 134	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) <-> dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) )
136	132, 135	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) )
137	116, 136	uneq12d 3508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) |` O ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) ) = ( ( c |` O ) u. (/) ) )
138	95, 137	syl5eq 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) = ( ( c |` O ) u. (/) ) )
139		un0 3659	. . . . . . . . 9 |- ( ( c |` O ) u. (/) ) = ( c |` O )
140	138, 139	syl6req 2490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
141	140	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
142	94, 141	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
143		fss 5564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c : T --> NN0 /\ NN0 C_ ZZ ) -> c : T --> ZZ )
144	62, 34, 143	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> c : T --> ZZ )
145	144	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> c : T --> ZZ )
146		fco 5565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c : T --> ZZ /\ `' M : ran M --> T ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> ZZ )
147	145, 67, 146	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> ZZ )
148		fun 5572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c o. `' M ) : ran M --> ZZ /\ ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 } ) /\ ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( ZZ u. { 0 } ) )
149	147, 72, 74, 148	syl21anc 1212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( ZZ u. { 0 } ) )
150		0z 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
151		snssi 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 } C_ ZZ )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } C_ ZZ
153		ssequn2 3526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 0 } C_ ZZ <-> ( ZZ u. { 0 } ) = ZZ )
154	152, 153	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ u. { 0 } ) = ZZ
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ZZ u. { 0 } ) = ZZ )
156	81, 155	feq23d 5551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( ZZ u. { 0 } ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
157	149, 156	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ )
158		elmapg 7223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZZ e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
159	33, 3, 158	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
160	159	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
161	157, 160	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) )
162		coeq1 4993	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( d o. M ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) )
163	162	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( P ` ( d o. M ) ) = ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) )
164		fvex 5698	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) e. _V
165	163, 43, 164	fvmpt 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) )
166	161, 165	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) )
167		coundir 5337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) = ( ( ( c o. `' M ) o. M ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) )
168		coass 5353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c o. `' M ) o. M ) = ( c o. ( `' M o. M ) )
169		f1cocnv1 5667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M : T -1-1-> S -> ( `' M o. M ) = ( _I |` T ) )
170	169	coeq2d 4998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M : T -1-1-> S -> ( c o. ( `' M o. M ) ) = ( c o. ( _I |` T ) ) )
171	64, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. ( `' M o. M ) ) = ( c o. ( _I |` T ) ) )
172	168, 171	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) o. M ) = ( c o. ( _I |` T ) ) )
173	120	ineq1i 3545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) i^i ran M ) = ( ( S \ ran M ) i^i ran M )
174		incom 3540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S \ ran M ) i^i ran M ) = ( ran M i^i ( S \ ran M ) )
175	173, 174, 73	3eqtri 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) i^i ran M ) = (/)
176		coeq0 29015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) = (/) <-> ( dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) i^i ran M ) = (/) )
177	175, 176	mpbir 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) = (/)
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) = (/) )
179	172, 178	uneq12d 3508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) o. M ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) ) = ( ( c o. ( _I |` T ) ) u. (/) ) )
180		un0 3659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c o. ( _I |` T ) ) u. (/) ) = ( c o. ( _I |` T ) )
181		fcoi1 5582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c : T --> NN0 -> ( c o. ( _I |` T ) ) = c )
182	63, 181	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. ( _I |` T ) ) = c )
183	180, 182	syl5eq 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. ( _I |` T ) ) u. (/) ) = c )
184	179, 183	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) o. M ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) ) = c )
185	167, 184	syl5eq 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) = c )
186	185	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) = ( P ` c ) )
187		simprr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( P ` c ) = 0 )
188	166, 186, 187	3eqtrd 2477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 )
189		reseq1 5100	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( b |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
190	189	eqeq2d 2452	. . . . . . . 8 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( a = ( b |` O ) <-> a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) ) )
191		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) )
192	191	eqeq1d 2449	. . . . . . . 8 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 <-> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) )
193	190, 192	anbi12d 705	. . . . . . 7 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) <-> ( a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) ) )
194	193	rspcev 3070	. . . . . 6 |- ( ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) /\ ( a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) )
195	93, 142, 188, 194	syl12anc 1211	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) )
196	195	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) )
197	196	rexlimdva 2839	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) )
198	57, 197	impbid 191	. 2 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) <-> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) )
199	198	abbidv 2555	1 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) } = { a | E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   {cab 2427   =/= wne 2604   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   e. cmpt 4347   _I cid 4627   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   |` cres 4838   "cima 4839   o. ccom 4840   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ^m cmap 7210   0cc0 9278   NN0cn0 10575   ZZcz 10642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643

This theorem is referenced by:  eldioph2  29025  eldioph2b  29026