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Theorem diophrw 29022
Description: Renaming and adding unused witness variables does not change the Diophantine set coded by a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
diophrw  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Distinct variable groups:    S, a,
b, c, d    T, a, b, c, d    M, a, b, c, d    O, a, b, c, d    P, b, c, d
Allowed substitution hint:    P( a)

Proof of Theorem diophrw
StepHypRef Expression
1 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )
2 nn0ex 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
3 simp1 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  S  e.  _V )
43adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  S  e.  _V )
5 elmapg 7223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  S )  <-> 
b : S --> NN0 )
)
62, 4, 5sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
b  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  b : S
--> NN0 ) )
71, 6mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b : S --> NN0 )
87adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b : S
--> NN0 )
9 simp2 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T -1-1-> S )
10 f1f 5603 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  M : T --> S )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T
--> S )
1211ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  M : T
--> S )
13 fco 5565 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : S --> NN0  /\  M : T --> S )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
148, 12, 13syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
15 f1dmex 6546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : T -1-1-> S  /\  S  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
169, 3, 15syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  T  e.  _V )
1716ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  T  e.  _V )
18 elmapg 7223 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
( b  o.  M
) : T --> NN0 )
)
192, 17, 18sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 ) )
2014, 19mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T ) )
21 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( b  |`  O ) )
22 resco 5339 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  o.  ( M  |`  O ) )
23 simpll3 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
)
2423coeq2d 4998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  o.  (  _I  |`  O ) ) )
25 coires1 5352 . . . . . . . . 9  |-  ( b  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( b  |`  O )
2624, 25syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  |`  O ) )
2722, 26syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  |`  O )
)
2821, 27eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
29 simpll1 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  S  e.  _V )
30 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( NN0  ^m  a )  =  ( NN0  ^m  S
) )
31 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( ZZ  ^m  a )  =  ( ZZ  ^m  S
) )
3230, 31sseq12d 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  S  ->  (
( NN0  ^m  a
)  C_  ( ZZ  ^m  a )  <->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) ) )
33 zex 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  _V
34 nn0ssz 10663 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  ZZ
35 mapss 7251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
) )
3633, 34, 35mp2an 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
)
3732, 36vtoclg 3027 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
3829, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
39 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S ) )
4038, 39sseldd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( ZZ  ^m  S ) )
41 coeq1 4993 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  b  ->  (
d  o.  M )  =  ( b  o.  M ) )
4241fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  b  ->  ( P `  ( d  o.  M ) )  =  ( P `  (
b  o.  M ) ) )
43 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) )  =  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) )
44 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( b  o.  M ) )  e. 
_V
4542, 43, 44fvmpt 5771 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  S )  ->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  ( P `
 ( b  o.  M ) ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
47 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  0 )
4846, 47eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( P `  ( b  o.  M
) )  =  0 )
49 reseq1 5100 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
5049eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
a  =  ( c  |`  O )  <->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) ) )
51 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  ( P `  c )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
5251eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( P `  c
)  =  0  <->  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )
5350, 52anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) ) )
5453rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  o.  M
)  e.  ( NN0 
^m  T )  /\  ( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) )
5520, 28, 48, 54syl12anc 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )
5655ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
5756rexlimdva 2839 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) ) )
58 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )
5916adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  T  e.  _V )
60 elmapg 7223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
c : T --> NN0 )
)
612, 59, 60sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  e.  ( NN0 
^m  T )  <->  c : T
--> NN0 ) )
6258, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> NN0 )
6362adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> NN0 )
649ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  M : T -1-1-> S )
65 f1cnv 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  `' M : ran  M -1-1-onto-> T
)
66 f1of 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' M : ran  M -1-1-onto-> T  ->  `' M : ran  M --> T )
6764, 65, 663syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  `' M : ran  M --> T )
68 fco 5565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> NN0 )
6963, 67, 68syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0 )
70 c0ex 9376 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
7170fconst 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 }
7271a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M ) --> { 0 } )
73 disjdif 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/)
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
75 fun 5572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } ) )
7669, 72, 74, 75syl21anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
77 frn 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : T --> S  ->  ran  M  C_  S )
789, 10, 773syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ran  M  C_  S )
7978ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ran  M  C_  S
)
80 undif 3756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  C_  S  <->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
8179, 80sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
82 0nn0 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
83 snssi 4014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  C_  NN0
85 ssequn2 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
8684, 85mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( NN0  u.  { 0 } )  = 
NN0 )
8881, 87feq23d 5551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
8976, 88mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
90 elmapg 7223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
912, 3, 90sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9291ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9389, 92mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S ) )
94 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( c  |`  O )
)
95 resundir 5122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )
96 resco 5339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  |`  O )  =  ( c  o.  ( `' M  |`  O ) )
97 cnvresid 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' (  _I  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
98 simpl2 987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  M : T -1-1-> S )
99 df-f1 5420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : T -1-1-> S  <->  ( M : T --> S  /\  Fun  `' M ) )
10099simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  Fun  `' M )
101 funcnvres 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' M  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
10298, 100, 1013syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
103 simpl3 988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
104103cnveqd 5011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  `' (  _I  |`  O ) )
105 df-ima 4849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M
" O )  =  ran  ( M  |`  O )
106103rneqd 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  ran  (  _I  |`  O ) )
107 rnresi 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (  _I  |`  O )  =  O
108106, 107syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  O )
109105, 108syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M " O )  =  O )
110109reseq2d 5106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  ( M
" O ) )  =  ( `' M  |`  O ) )
111102, 104, 1103eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' (  _I  |`  O )  =  ( `' M  |`  O ) )
11297, 111syl5reqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
113112coeq2d 4998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  o.  (  _I  |`  O ) ) )
114 coires1 5352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( c  |`  O )
115113, 114syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  |`  O ) )
11696, 115syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( c  o.  `' M )  |`  O )  =  ( c  |`  O ) )
117 dmres 5128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  ( O  i^i  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )
11870snnz 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { 0 }  =/=  (/)
119 dmxp 5054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 0 }  =/=  (/)  ->  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  =  ( S  \  ran  M ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  =  ( S  \  ran  M
)
121120ineq2i 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  ( O  i^i  ( S 
\  ran  M )
)
122 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( O  i^i  S )  C_  O
123106, 107syl6req 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  =  ran  ( M  |`  O ) )
124 resss 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  |`  O )  C_  M
125 rnss 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  |`  O )  C_  M  ->  ran  ( M  |`  O )  C_  ran  M )
126124, 125mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O ) 
C_  ran  M )
127123, 126eqsstrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  C_ 
ran  M )
128122, 127syl5ss 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  S )  C_  ran  M )
129 inssdif0 3743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  i^i  S ) 
C_  ran  M  <->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
130128, 129sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
131121, 130syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  (/) )
132117, 131syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
133 relres 5135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )
134 reldm0 5053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  ->  (
( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) ) )
135133, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
136132, 135sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/) )
137116, 136uneq12d 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
13895, 137syl5eq 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
139 un0 3659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  |`  O )  u.  (/) )  =  ( c  |`  O )
140138, 139syl6req 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
)
141140adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
14294, 141eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
143 fss 5564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  c : T --> ZZ )
14462, 34, 143sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> ZZ )
145144adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> ZZ )
146 fco 5565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c : T --> ZZ  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> ZZ )
147145, 67, 146syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ )
148 fun 5572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
149147, 72, 74, 148syl21anc 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
150 0z 10653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
151 snssi 4014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 }  C_  ZZ )
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  C_  ZZ
153 ssequn2 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  C_  ZZ  <->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
154152, 153mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ
155154a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
15681, 155feq23d 5551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
157149, 156mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ )
158 elmapg 7223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
15933, 3, 158sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
160159ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
161157, 160mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S ) )
162 coeq1 4993 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( d  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )
163162fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( P `  ( d  o.  M
) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
164 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  e. 
_V
165163, 43, 164fvmpt 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
166161, 165syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
167 coundir 5337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  o.  M
)  u.  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
) )
168 coass 5353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  =  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )
169 f1cocnv1 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( `' M  o.  M )  =  (  _I  |`  T )
)
170169coeq2d 4998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( c  o.  ( `' M  o.  M
) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
17164, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
172168, 171syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  o.  M )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
173120ineq1i 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  ( ( S  \  ran  M )  i^i  ran  M )
174 incom 3540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  ran  M
)  i^i  ran  M )  =  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )
175173, 174, 733eqtri 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/)
176 coeq0 29015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  o.  M )  =  (/)  <->  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/) )
177175, 176mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/)
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/) )
179172, 178uneq12d 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) ) )
180 un0 3659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  (
c  o.  (  _I  |`  T ) )
181 fcoi1 5582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : T --> NN0  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
18263, 181syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
183180, 182syl5eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  c )
184179, 183eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  c )
185167, 184syl5eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  c )
186185fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  =  ( P `
 c ) )
187 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  c )  =  0 )
188166, 186, 1873eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 )
189 reseq1 5100 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( b  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
190189eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( a  =  ( b  |`  O )  <->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
) )
191 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) ) )
192191eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0  <->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )
193190, 192anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) ) )
194193rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  /\  ( a  =  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
19593, 142, 188, 194syl12anc 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
196195ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) ) )
197196rexlimdva 2839 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) ) )
19857, 197impbid 191 . 2  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
199198abbidv 2555 1  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874    e. cmpt 4347    _I cid 4627    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839    o. ccom 4840   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   0cc0 9278   NN0cn0 10575   ZZcz 10642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643
This theorem is referenced by:  eldioph2  29025  eldioph2b  29026
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