Theorem diophrw 29097

Description: Renaming and adding unused witness variables does not change the Diophantine set coded by a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
diophrw	|- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) } = { a | E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) } )

Distinct variable groups:   S, a, b, c, d   T, a, b, c, d   M, a, b, c, d   O, a, b, c, d   P, b, c, d

Allowed substitution hint:   P( a)

Proof of Theorem diophrw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> b e. ( NN0 ^m S ) )
2		nn0ex 10585	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
3		simp1 988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> S e. _V )
4	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> S e. _V )
5		elmapg 7227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( NN0 e. _V /\ S e. _V ) -> ( b e. ( NN0 ^m S ) <-> b : S --> NN0 ) )
6	2, 4, 5	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> ( b e. ( NN0 ^m S ) <-> b : S --> NN0 ) )
7	1, 6	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> b : S --> NN0 )
8	7	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> b : S --> NN0 )
9		simp2 989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> M : T -1-1-> S )
10		f1f 5606	. . . . . . . . . 10 |- ( M : T -1-1-> S -> M : T --> S )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> M : T --> S )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> M : T --> S )
13		fco 5568	. . . . . . . 8 |- ( ( b : S --> NN0 /\ M : T --> S ) -> ( b o. M ) : T --> NN0 )
14	8, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. M ) : T --> NN0 )
15		f1dmex 6547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M : T -1-1-> S /\ S e. _V ) -> T e. _V )
16	9, 3, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> T e. _V )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> T e. _V )
18		elmapg 7227	. . . . . . . 8 |- ( ( NN0 e. _V /\ T e. _V ) -> ( ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) <-> ( b o. M ) : T --> NN0 ) )
19	2, 17, 18	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) <-> ( b o. M ) : T --> NN0 ) )
20	14, 19	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) )
21		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> a = ( b |` O ) )
22		resco 5342	. . . . . . . 8 |- ( ( b o. M ) |` O ) = ( b o. ( M |` O ) )
23		simpll3 1029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( M |` O ) = ( _I |` O ) )
24	23	coeq2d 5002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. ( M |` O ) ) = ( b o. ( _I |` O ) ) )
25		coires1 5355	. . . . . . . . 9 |- ( b o. ( _I |` O ) ) = ( b |` O )
26	24, 25	syl6eq 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( b o. ( M |` O ) ) = ( b |` O ) )
27	22, 26	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( b o. M ) |` O ) = ( b |` O ) )
28	21, 27	eqtr4d 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> a = ( ( b o. M ) |` O ) )
29		simpll1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> S e. _V )
30		oveq2 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = S -> ( NN0 ^m a ) = ( NN0 ^m S ) )
31		oveq2 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = S -> ( ZZ ^m a ) = ( ZZ ^m S ) )
32	30, 31	sseq12d 3385	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = S -> ( ( NN0 ^m a ) C_ ( ZZ ^m a ) <-> ( NN0 ^m S ) C_ ( ZZ ^m S ) ) )
33		zex 10655	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ e. _V
34		nn0ssz 10667	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 C_ ZZ
35		mapss 7255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ZZ e. _V /\ NN0 C_ ZZ ) -> ( NN0 ^m a ) C_ ( ZZ ^m a ) )
36	33, 34, 35	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN0 ^m a ) C_ ( ZZ ^m a )
37	32, 36	vtoclg 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> ( NN0 ^m S ) C_ ( ZZ ^m S ) )
38	29, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( NN0 ^m S ) C_ ( ZZ ^m S ) )
39		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> b e. ( NN0 ^m S ) )
40	38, 39	sseldd 3357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> b e. ( ZZ ^m S ) )
41		coeq1 4997	. . . . . . . . . 10 |- ( d = b -> ( d o. M ) = ( b o. M ) )
42	41	fveq2d 5695	. . . . . . . . 9 |- ( d = b -> ( P ` ( d o. M ) ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
43		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) = ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) )
44		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( b o. M ) ) e. _V
45	42, 43, 44	fvmpt 5774	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( ZZ ^m S ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
46	40, 45	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
47		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 )
48	46, 47	eqtr3d 2477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> ( P ` ( b o. M ) ) = 0 )
49		reseq1 5104	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( b o. M ) -> ( c |` O ) = ( ( b o. M ) |` O ) )
50	49	eqeq2d 2454	. . . . . . . 8 |- ( c = ( b o. M ) -> ( a = ( c |` O ) <-> a = ( ( b o. M ) |` O ) ) )
51		fveq2 5691	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( b o. M ) -> ( P ` c ) = ( P ` ( b o. M ) ) )
52	51	eqeq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( c = ( b o. M ) -> ( ( P ` c ) = 0 <-> ( P ` ( b o. M ) ) = 0 ) )
53	50, 52	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( c = ( b o. M ) -> ( ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) <-> ( a = ( ( b o. M ) |` O ) /\ ( P ` ( b o. M ) ) = 0 ) ) )
54	53	rspcev 3073	. . . . . 6 |- ( ( ( b o. M ) e. ( NN0 ^m T ) /\ ( a = ( ( b o. M ) |` O ) /\ ( P ` ( b o. M ) ) = 0 ) ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) )
55	20, 28, 48, 54	syl12anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) /\ ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) )
56	55	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ b e. ( NN0 ^m S ) ) -> ( ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) )
57	56	rexlimdva 2841	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) -> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) )
58		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> c e. ( NN0 ^m T ) )
59	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> T e. _V )
60		elmapg 7227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 e. _V /\ T e. _V ) -> ( c e. ( NN0 ^m T ) <-> c : T --> NN0 ) )
61	2, 59, 60	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c e. ( NN0 ^m T ) <-> c : T --> NN0 ) )
62	58, 61	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> c : T --> NN0 )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> c : T --> NN0 )
64	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> M : T -1-1-> S )
65		f1cnv 5664	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : T -1-1-> S -> `' M : ran M -1-1-onto-> T )
66		f1of 5641	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' M : ran M -1-1-onto-> T -> `' M : ran M --> T )
67	64, 65, 66	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> `' M : ran M --> T )
68		fco 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c : T --> NN0 /\ `' M : ran M --> T ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> NN0 )
69	63, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> NN0 )
70		c0ex 9380	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
71	70	fconst 5596	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 }
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 } )
73		disjdif 3751	. . . . . . . . . 10 |- ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/) )
75		fun 5575	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c o. `' M ) : ran M --> NN0 /\ ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 } ) /\ ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
76	69, 72, 74, 75	syl21anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) )
77		frn 5565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : T --> S -> ran M C_ S )
78	9, 10, 77	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ran M C_ S )
79	78	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ran M C_ S )
80		undif 3759	. . . . . . . . . 10 |- ( ran M C_ S <-> ( ran M u. ( S \ ran M ) ) = S )
81	79, 80	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ran M u. ( S \ ran M ) ) = S )
82		0nn0 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
83		snssi 4017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. NN0 -> { 0 } C_ NN0 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ NN0
85		ssequn2 3529	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 } C_ NN0 <-> ( NN0 u. { 0 } ) = NN0 )
86	84, 85	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( NN0 u. { 0 } ) = NN0
87	86	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( NN0 u. { 0 } ) = NN0 )
88	81, 87	feq23d 5554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( NN0 u. { 0 } ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
89	76, 88	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 )
90		elmapg 7227	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
91	2, 3, 90	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
92	91	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
93	89, 92	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) )
94		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> a = ( c |` O ) )
95		resundir 5125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) |` O ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) )
96		resco 5342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c o. `' M ) |` O ) = ( c o. ( `' M |` O ) )
97		cnvresid 5488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( _I |` O ) = ( _I |` O )
98		simpl2 992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> M : T -1-1-> S )
99		df-f1 5423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M : T -1-1-> S <-> ( M : T --> S /\ Fun `' M ) )
100	99	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M : T -1-1-> S -> Fun `' M )
101		funcnvres 5487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' M -> `' ( M |` O ) = ( `' M |` ( M " O ) ) )
102	98, 100, 101	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> `' ( M |` O ) = ( `' M |` ( M " O ) ) )
103		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( M |` O ) = ( _I |` O ) )
104	103	cnveqd 5015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> `' ( M |` O ) = `' ( _I |` O ) )
105		df-ima 4853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M " O ) = ran ( M |` O )
106	103	rneqd 5067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ran ( M |` O ) = ran ( _I |` O ) )
107		rnresi 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ran ( _I |` O ) = O
108	106, 107	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ran ( M |` O ) = O )
109	105, 108	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( M " O ) = O )
110	109	reseq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( `' M |` ( M " O ) ) = ( `' M |` O ) )
111	102, 104, 110	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> `' ( _I |` O ) = ( `' M |` O ) )
112	97, 111	syl5reqr 2490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( `' M |` O ) = ( _I |` O ) )
113	112	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c o. ( `' M |` O ) ) = ( c o. ( _I |` O ) ) )
114		coires1 5355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c o. ( _I |` O ) ) = ( c |` O )
115	113, 114	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c o. ( `' M |` O ) ) = ( c |` O ) )
116	96, 115	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( c o. `' M ) |` O ) = ( c |` O ) )
117		dmres 5131	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = ( O i^i dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) )
118	70	snnz 3993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 0 } =/= (/)
119		dmxp 5058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 0 } =/= (/) -> dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) = ( S \ ran M ) )
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) = ( S \ ran M )
121	120	ineq2i 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O i^i dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) = ( O i^i ( S \ ran M ) )
122		inss1 3570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( O i^i S ) C_ O
123	106, 107	syl6req 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> O = ran ( M |` O ) )
124		resss 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M |` O ) C_ M
125		rnss 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M |` O ) C_ M -> ran ( M |` O ) C_ ran M )
126	124, 125	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ran ( M |` O ) C_ ran M )
127	123, 126	eqsstrd 3390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> O C_ ran M )
128	122, 127	syl5ss 3367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( O i^i S ) C_ ran M )
129		inssdif0 3746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O i^i S ) C_ ran M <-> ( O i^i ( S \ ran M ) ) = (/) )
130	128, 129	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( O i^i ( S \ ran M ) ) = (/) )
131	121, 130	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( O i^i dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) = (/) )
132	117, 131	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) )
133		relres 5138	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O )
134		reldm0 5057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Rel ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) -> ( ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) <-> dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) ) )
135	133, 134	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) <-> dom ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) )
136	132, 135	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) = (/) )
137	116, 136	uneq12d 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) |` O ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) |` O ) ) = ( ( c |` O ) u. (/) ) )
138	95, 137	syl5eq 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) = ( ( c |` O ) u. (/) ) )
139		un0 3662	. . . . . . . . 9 |- ( ( c |` O ) u. (/) ) = ( c |` O )
140	138, 139	syl6req 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( c |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
141	140	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
142	94, 141	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
143		fss 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c : T --> NN0 /\ NN0 C_ ZZ ) -> c : T --> ZZ )
144	62, 34, 143	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> c : T --> ZZ )
145	144	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> c : T --> ZZ )
146		fco 5568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c : T --> ZZ /\ `' M : ran M --> T ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> ZZ )
147	145, 67, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. `' M ) : ran M --> ZZ )
148		fun 5575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c o. `' M ) : ran M --> ZZ /\ ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) : ( S \ ran M ) --> { 0 } ) /\ ( ran M i^i ( S \ ran M ) ) = (/) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( ZZ u. { 0 } ) )
149	147, 72, 74, 148	syl21anc 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( ZZ u. { 0 } ) )
150		0z 10657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
151		snssi 4017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 } C_ ZZ )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } C_ ZZ
153		ssequn2 3529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 0 } C_ ZZ <-> ( ZZ u. { 0 } ) = ZZ )
154	152, 153	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ u. { 0 } ) = ZZ
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ZZ u. { 0 } ) = ZZ )
156	81, 155	feq23d 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : ( ran M u. ( S \ ran M ) ) --> ( ZZ u. { 0 } ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
157	149, 156	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ )
158		elmapg 7227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZZ e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
159	33, 3, 158	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
160	159	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) <-> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
161	157, 160	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) )
162		coeq1 4997	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( d o. M ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) )
163	162	fveq2d 5695	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( P ` ( d o. M ) ) = ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) )
164		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) e. _V
165	163, 43, 164	fvmpt 5774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( ZZ ^m S ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) )
166	161, 165	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) )
167		coundir 5340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) = ( ( ( c o. `' M ) o. M ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) )
168		coass 5356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c o. `' M ) o. M ) = ( c o. ( `' M o. M ) )
169		f1cocnv1 5670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M : T -1-1-> S -> ( `' M o. M ) = ( _I |` T ) )
170	169	coeq2d 5002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M : T -1-1-> S -> ( c o. ( `' M o. M ) ) = ( c o. ( _I |` T ) ) )
171	64, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. ( `' M o. M ) ) = ( c o. ( _I |` T ) ) )
172	168, 171	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. `' M ) o. M ) = ( c o. ( _I |` T ) ) )
173	120	ineq1i 3548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) i^i ran M ) = ( ( S \ ran M ) i^i ran M )
174		incom 3543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S \ ran M ) i^i ran M ) = ( ran M i^i ( S \ ran M ) )
175	173, 174, 73	3eqtri 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) i^i ran M ) = (/)
176		coeq0 29090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) = (/) <-> ( dom ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) i^i ran M ) = (/) )
177	175, 176	mpbir 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) = (/)
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) = (/) )
179	172, 178	uneq12d 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) o. M ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) ) = ( ( c o. ( _I |` T ) ) u. (/) ) )
180		un0 3662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c o. ( _I |` T ) ) u. (/) ) = ( c o. ( _I |` T ) )
181		fcoi1 5585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c : T --> NN0 -> ( c o. ( _I |` T ) ) = c )
182	63, 181	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( c o. ( _I |` T ) ) = c )
183	180, 182	syl5eq 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( c o. ( _I |` T ) ) u. (/) ) = c )
184	179, 183	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) o. M ) u. ( ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) o. M ) ) = c )
185	167, 184	syl5eq 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) = c )
186	185	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( P ` ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) o. M ) ) = ( P ` c ) )
187		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( P ` c ) = 0 )
188	166, 186, 187	3eqtrd 2479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 )
189		reseq1 5104	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( b |` O ) = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) )
190	189	eqeq2d 2454	. . . . . . . 8 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( a = ( b |` O ) <-> a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) ) )
191		fveq2 5691	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) )
192	191	eqeq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 <-> ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) )
193	190, 192	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( b = ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) -> ( ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) <-> ( a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) ) )
194	193	rspcev 3073	. . . . . 6 |- ( ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) e. ( NN0 ^m S ) /\ ( a = ( ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` ( ( c o. `' M ) u. ( ( S \ ran M ) X. { 0 } ) ) ) = 0 ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) )
195	93, 142, 188, 194	syl12anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) /\ ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) )
196	195	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) /\ c e. ( NN0 ^m T ) ) -> ( ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) )
197	196	rexlimdva 2841	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) -> E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) ) )
198	57, 197	impbid 191	. 2 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> ( E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) <-> E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) ) )
199	198	abbidv 2557	1 |- ( ( S e. _V /\ M : T -1-1-> S /\ ( M |` O ) = ( _I |` O ) ) -> { a | E. b e. ( NN0 ^m S ) ( a = ( b |` O ) /\ ( ( d e. ( ZZ ^m S ) |-> ( P ` ( d o. M ) ) ) ` b ) = 0 ) } = { a | E. c e. ( NN0 ^m T ) ( a = ( c |` O ) /\ ( P ` c ) = 0 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2606   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   e. cmpt 4350   _I cid 4631   X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   |` cres 4842   "cima 4843   o. ccom 4844   Rel wrel 4845   Fun wfun 5412   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ^m cmap 7214   0cc0 9282   NN0cn0 10579   ZZcz 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647

This theorem is referenced by:  eldioph2  29100  eldioph2b  29101