Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diophren Structured version   Unicode version

Theorem diophren 29293
Description: Change variables in a Diophantine set, using class notation. This allows already proved Diophantine sets to be reused in contexts with more variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophren  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
Distinct variable groups:    S, a    M, a    N, a    F, a

Proof of Theorem diophren
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10759 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4541 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  NN )  e. 
_V )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  NN )  e. 
_V
4 ominf 7629 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
5 nnuz 11000 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 0p1e1 10537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
76fveq2i 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
85, 7eqtr4i 2483 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
98difeq2i 3572 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
\  NN )  =  ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( 0  +  1 ) ) )
10 0z 10761 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
11 lzenom 29249 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  (
0  +  1 ) ) )  ~~  om )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  (
0  +  1 ) ) )  ~~  om
139, 12eqbrtri 4412 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
\  NN )  ~~  om
14 enfi 7633 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  \  NN ) 
~~  om  ->  ( ( ZZ  \  NN )  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  NN )  e.  Fin  <->  om  e.  Fin )
164, 15mtbir 299 . . . . 5  |-  -.  ( ZZ  \  NN )  e. 
Fin
17 incom 3644 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
18 disjdif 3852 . . . . . 6  |-  ( NN 
i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
1917, 18eqtri 2480 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  NN )  =  (/)
203, 16, 19eldioph4b 29291 . . . 4  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
22 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
23 ovex 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
2423mapco2 29192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
2521, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
26 uneq1 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
c  u.  d )  =  ( ( a  o.  F )  u.  d ) )
2726fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
b `  ( c  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) ) )
2827eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
( b `  (
c  u.  d ) )  =  0  <->  (
b `  ( (
a  o.  F )  u.  d ) )  =  0 ) )
2928rexbidv 2855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( c  u.  d ) )  =  0  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) )  =  0 ) )
3029elrab3 3218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  o.  F
)  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) )  =  0 ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( ( a  o.  F )  u.  d ) )  =  0 ) )
32 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
33 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )
35 coundi 5440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) )  =  ( ( ( a  u.  d )  o.  F
)  u.  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
36 coundir 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  u.  d )  o.  F )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (
d  o.  F ) )
37 elmapi 7337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  d :
( ZZ  \  NN )
--> NN0 )
38373ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  d :
( ZZ  \  NN )
--> NN0 )
39 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
40 incom 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M ) )  =  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
41 fz1ssnn 29290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... M )  C_  NN
42 ssdisj 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1 ... M
)  C_  NN  /\  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )
4341, 18, 42mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
4440, 43eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M ) )  =  (/)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M
) )  =  (/) )
46 coeq0i 29232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d : ( ZZ 
\  NN ) --> NN0 
/\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M
)  /\  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M
) )  =  (/) )  ->  ( d  o.  F )  =  (/) )
4738, 39, 45, 46syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( d  o.  F )  =  (/) )
4847uneq2d 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  ( d  o.  F ) )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (/) ) )
4936, 48syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  F )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (/) ) )
50 un0 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  F )  u.  (/) )  =  ( a  o.  F )
5149, 50syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  F )  =  ( a  o.  F
) )
52 coundir 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  u.  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
53 elmapi 7337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  a : ( 1 ... M ) --> NN0 )
54533ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  a :
( 1 ... M
) --> NN0 )
55 f1oi 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) -1-1-onto-> ( ZZ  \  NN )
56 f1of 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN )
-1-1-onto-> ( ZZ  \  NN )  ->  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )
58 coeq0i 29232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )  /\  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
5957, 43, 58mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : ( 1 ... M ) --> NN0  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
6054, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
61 coires1 5456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )
62 ffn 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d : ( ZZ  \  NN ) --> NN0  ->  d  Fn  ( ZZ  \  NN ) )
63 fnresdm 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  Fn  ( ZZ  \  NN )  ->  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )  =  d )
6437, 62, 633syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )  =  d )
6561, 64syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
66653ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
6760, 66uneq12d 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  u.  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( (/)  u.  d
) )
6852, 67syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( (/)  u.  d ) )
69 uncom 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  u.  d )  =  ( d  u.  (/) )
70 un0 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  u.  (/) )  =  d
7169, 70eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u.  d )  =  d
7268, 71syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
7351, 72uneq12d 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
( a  u.  d
)  o.  F )  u.  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( ( a  o.  F
)  u.  d ) )
7435, 73syl5req 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  d )  =  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
7532, 33, 34, 74syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  d )  =  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
7675fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( b `  ( ( a  o.  F )  u.  d
) )  =  ( b `  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )
77 nn0ssz 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  C_  ZZ
78 mapss 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
791, 77, 78mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN0 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )
8043reseq2i 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( a  |`  (/) )
81 res0 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  |`  (/) )  =  (/)
8280, 81eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/)
8343reseq2i 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (/) )
84 res0 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  |`  (/) )  =  (/)
8583, 84eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/)
8682, 85eqtr4i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )
87 elmapresaun 29250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  /\  (
a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( NN0  ^m  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
88 uncom 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) )  =  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )
8988oveq2i 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN0 
^m  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( NN0  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )
9087, 89syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  /\  (
a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( NN0  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
9186, 90mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  -> 
( a  u.  d
)  e.  ( NN0 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) ) )
9279, 91sseldi 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  -> 
( a  u.  d
)  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) ) )
9392adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
94 coeq1 5098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  ( a  u.  d )  ->  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( ( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
9594fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( a  u.  d )  ->  (
b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )  =  ( b `
 ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
96 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )
97 fvex 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b `
 ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )  e.  _V
9895, 96, 97fvmpt 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  u.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
9993, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
10076, 99eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( b `  ( ( a  o.  F )  u.  d
) )  =  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) 
|->  ( b `  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) ) )
101100eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
b `  ( (
a  o.  F )  u.  d ) )  =  0  <->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 ) )
102101rexbidva 2852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( ( a  o.  F )  u.  d ) )  =  0  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) ) `  (
a  u.  d ) )  =  0 ) )
10331, 102bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 ) )
104103rabbidva 3062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 } )
105 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
106 ovex 6218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1073, 106unex 6481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )  e. 
_V
108107a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )  e.  _V )
109 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
11057a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
(  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN ) )
111 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  ->  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )
112 incom 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
113 fz1ssnn 29290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
114 ssdisj 3829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... N
)  C_  NN  /\  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )
115113, 18, 114mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
116112, 115eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( ( ZZ  \  NN )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/) )
118 fun 5676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/) )  ->  (
(  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
119110, 111, 117, 118syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
120 uncom 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F )  =  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )
121120feq1i 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) )  <-> 
( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
122119, 121sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
123122ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
124 mzprename 29227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) )  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  ->  ( e  e.  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) ) )
125108, 109, 123, 124syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
1263, 16, 19eldioph4i 29292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) 
|->  ( b `  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  M ) )
127105, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  M ) )
128104, 127eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  e.  (Dioph `  M ) )
129 eleq2 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  ( ( a  o.  F )  e.  S  <->  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } ) )
130129rabbidv 3063 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } } )
131130eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M )  <->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  e.  (Dioph `  M ) ) )
132128, 131syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
133132rexlimdva 2940 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
134133expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
13520, 134syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
136135impcom 430 . 2  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
1371363impb 1184 1  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    u. cun 3427    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    _I cid 4732    |` cres 4943    o. ccom 4945    Fn wfn 5514   -->wf 5515   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   omcom 6579    ^m cmap 7317    ~~ cen 7410   Fincfn 7413   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547  mzPolycmzp 29199  Diophcdioph 29234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-hash 12214  df-mzpcl 29200  df-mzp 29201  df-dioph 29235
This theorem is referenced by:  rabrenfdioph  29294
  Copyright terms: Public domain W3C validator