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Theorem diophren 35727
 Description: Change variables in a Diophantine set, using class notation. This allows already proved Diophantine sets to be reused in contexts with more variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophren Dioph Dioph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem diophren
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10970 . . . . . 6
2 difexg 4545 . . . . . 6
31, 2ax-mp 5 . . . . 5
4 ominf 7802 . . . . . 6
5 nnuz 11218 . . . . . . . . . 10
6 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . 11
76fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10
85, 7eqtr4i 2496 . . . . . . . . 9
98difeq2i 3537 . . . . . . . 8
10 0z 10972 . . . . . . . . 9
11 lzenom 35683 . . . . . . . . 9
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8
139, 12eqbrtri 4415 . . . . . . 7
14 enfi 7806 . . . . . . 7
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6
164, 15mtbir 306 . . . . 5
17 incom 3616 . . . . . 6
18 disjdif 3830 . . . . . 6
1917, 18eqtri 2493 . . . . 5
203, 16, 19eldioph4b 35725 . . . 4 Dioph mzPoly
21 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
22 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
23 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
2423mapco2 35628 . . . . . . . . . . . 12
2521, 22, 24syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
26 uneq1 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
2827eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13
2928rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12
3029elrab3 3185 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 mzPoly
32 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 mzPoly
33 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 mzPoly
34 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 mzPoly
35 coundi 5343 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 coundir 5344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
38373ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
39 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41 fz1ssnn 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
42 ssdisj 3818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4341, 18, 42mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4440, 43eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46 coeq0i 35666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4738, 39, 45, 46syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4847uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4936, 48syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 un0 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5149, 50syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 coundir 5344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54533ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55 f1oi 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
56 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 coeq0i 35666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5957, 43, 58mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6054, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 coires1 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
62 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63 fnresdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6437, 62, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6561, 64syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66653ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6760, 66uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6852, 67syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70 un0 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7169, 70eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7268, 71syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7351, 72uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7435, 73syl5req 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15
7532, 33, 34, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 mzPoly
7675fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13 mzPoly
77 nn0ssz 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
78 mapss 7532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
791, 77, 78mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8043reseq2i 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
81 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8280, 81eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8343reseq2i 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
84 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8583, 84eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8682, 85eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 elmapresaun 35684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9087, 89syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9186, 90mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9279, 91sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 mzPoly
94 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
9895, 96, 97fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
9993, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 mzPoly
10076, 99eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
101100eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
102101rexbidva 2889 . . . . . . . . . 10 mzPoly
10331, 102bitrd 261 . . . . . . . . 9 mzPoly
104103rabbidva 3021 . . . . . . . 8 mzPoly
105 simplll 776 . . . . . . . . 9 mzPoly
106 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
1073, 106unex 6608 . . . . . . . . . . 11
108107a1i 11 . . . . . . . . . 10 mzPoly
109 simpr 468 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
11057a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
111 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
112 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15
113 fz1ssnn 11856 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114 ssdisj 3818 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115113, 18, 114mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15
116112, 115eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
118 fun 5758 . . . . . . . . . . . . 13
119110, 111, 117, 118syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . 12
120 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . 13
121120feq1i 5730 . . . . . . . . . . . 12
122119, 121sylib 201 . . . . . . . . . . 11
123122ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10 mzPoly
124 mzprename 35662 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
125108, 109, 123, 124syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 mzPoly mzPoly
1263, 16, 19eldioph4i 35726 . . . . . . . . 9 mzPoly Dioph
127105, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . . 8 mzPoly Dioph
128104, 127eqeltrd 2549 . . . . . . 7 mzPoly Dioph
129 eleq2 2538 . . . . . . . . 9
130129rabbidv 3022 . . . . . . . 8
131130eleq1d 2533 . . . . . . 7 Dioph Dioph
132128, 131syl5ibrcom 230 . . . . . 6 mzPoly Dioph
133132rexlimdva 2871 . . . . 5 mzPoly Dioph
134133expimpd 614 . . . 4 mzPoly Dioph
13520, 134syl5bi 225 . . 3 Dioph Dioph
136135impcom 437 . 2 Dioph Dioph
1371363impb 1227 1 Dioph Dioph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749   cres 4841   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cmap 7490   cen 7584  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  mzPolycmzp 35635  Diophcdioph 35668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-mzpcl 35636  df-mzp 35637  df-dioph 35669 This theorem is referenced by:  rabrenfdioph  35728
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