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Theorem diophren 30989
Description: Change variables in a Diophantine set, using class notation. This allows already proved Diophantine sets to be reused in contexts with more variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophren  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
Distinct variable groups:    S, a    M, a    N, a    F, a

Proof of Theorem diophren
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10869 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4585 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  NN )  e. 
_V )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  NN )  e. 
_V
4 ominf 7725 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
5 nnuz 11117 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 0p1e1 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
76fveq2i 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
85, 7eqtr4i 2486 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
98difeq2i 3605 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
\  NN )  =  ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( 0  +  1 ) ) )
10 0z 10871 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
11 lzenom 30945 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  (
0  +  1 ) ) )  ~~  om )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  (
0  +  1 ) ) )  ~~  om
139, 12eqbrtri 4458 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
\  NN )  ~~  om
14 enfi 7729 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  \  NN ) 
~~  om  ->  ( ( ZZ  \  NN )  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  NN )  e.  Fin  <->  om  e.  Fin )
164, 15mtbir 297 . . . . 5  |-  -.  ( ZZ  \  NN )  e. 
Fin
17 incom 3677 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
18 disjdif 3888 . . . . . 6  |-  ( NN 
i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
1917, 18eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  NN )  =  (/)
203, 16, 19eldioph4b 30987 . . . 4  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } ) )
21 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
22 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
23 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
2423mapco2 30890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
2521, 22, 24syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
26 uneq1 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
c  u.  d )  =  ( ( a  o.  F )  u.  d ) )
2726fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
b `  ( c  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) ) )
2827eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
( b `  (
c  u.  d ) )  =  0  <->  (
b `  ( (
a  o.  F )  u.  d ) )  =  0 ) )
2928rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( c  u.  d ) )  =  0  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) )  =  0 ) )
3029elrab3 3255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  o.  F
)  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) )  =  0 ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( ( a  o.  F )  u.  d ) )  =  0 ) )
32 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
33 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
34 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )
35 coundi 5491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) )  =  ( ( ( a  u.  d )  o.  F
)  u.  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
36 coundir 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  u.  d )  o.  F )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (
d  o.  F ) )
37 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  d :
( ZZ  \  NN )
--> NN0 )
38373ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  d :
( ZZ  \  NN )
--> NN0 )
39 simp1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
40 incom 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M ) )  =  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
41 fz1ssnn 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... M )  C_  NN
42 ssdisj 3864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1 ... M
)  C_  NN  /\  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )
4341, 18, 42mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
4440, 43eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M ) )  =  (/)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M
) )  =  (/) )
46 coeq0i 30928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d : ( ZZ 
\  NN ) --> NN0 
/\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M
)  /\  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M
) )  =  (/) )  ->  ( d  o.  F )  =  (/) )
4738, 39, 45, 46syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( d  o.  F )  =  (/) )
4847uneq2d 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  ( d  o.  F ) )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (/) ) )
4936, 48syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  F )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (/) ) )
50 un0 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  F )  u.  (/) )  =  ( a  o.  F )
5149, 50syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  F )  =  ( a  o.  F
) )
52 coundir 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  u.  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
53 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  a : ( 1 ... M ) --> NN0 )
54533ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  a :
( 1 ... M
) --> NN0 )
55 f1oi 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) -1-1-onto-> ( ZZ  \  NN )
56 f1of 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN )
-1-1-onto-> ( ZZ  \  NN )  ->  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )
58 coeq0i 30928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )  /\  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
5957, 43, 58mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : ( 1 ... M ) --> NN0  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
6054, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
61 coires1 5508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )
62 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d : ( ZZ  \  NN ) --> NN0  ->  d  Fn  ( ZZ  \  NN ) )
63 fnresdm 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  Fn  ( ZZ  \  NN )  ->  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )  =  d )
6437, 62, 633syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )  =  d )
6561, 64syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
66653ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
6760, 66uneq12d 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  u.  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( (/)  u.  d
) )
6852, 67syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( (/)  u.  d ) )
69 uncom 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  u.  d )  =  ( d  u.  (/) )
70 un0 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  u.  (/) )  =  d
7169, 70eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u.  d )  =  d
7268, 71syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
7351, 72uneq12d 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
( a  u.  d
)  o.  F )  u.  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( ( a  o.  F
)  u.  d ) )
7435, 73syl5req 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  d )  =  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
7532, 33, 34, 74syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  d )  =  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
7675fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( b `  ( ( a  o.  F )  u.  d
) )  =  ( b `  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )
77 nn0ssz 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  C_  ZZ
78 mapss 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
791, 77, 78mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN0 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )
8043reseq2i 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( a  |`  (/) )
81 res0 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  |`  (/) )  =  (/)
8280, 81eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/)
8343reseq2i 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (/) )
84 res0 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  |`  (/) )  =  (/)
8583, 84eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/)
8682, 85eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )
87 elmapresaun 30946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  /\  (
a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( NN0  ^m  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
88 uncom 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) )  =  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )
8988oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN0 
^m  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( NN0  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )
9087, 89syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  /\  (
a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( NN0  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
9186, 90mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  -> 
( a  u.  d
)  e.  ( NN0 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) ) )
9279, 91sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  -> 
( a  u.  d
)  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) ) )
9392adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
94 coeq1 5149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  ( a  u.  d )  ->  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( ( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
9594fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( a  u.  d )  ->  (
b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )  =  ( b `
 ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
96 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )
97 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b `
 ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )  e.  _V
9895, 96, 97fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  u.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
9993, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
10076, 99eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( b `  ( ( a  o.  F )  u.  d
) )  =  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) 
|->  ( b `  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) ) )
101100eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
b `  ( (
a  o.  F )  u.  d ) )  =  0  <->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 ) )
102101rexbidva 2962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( ( a  o.  F )  u.  d ) )  =  0  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) ) `  (
a  u.  d ) )  =  0 ) )
10331, 102bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 ) )
104103rabbidva 3097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 } )
105 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
106 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1073, 106unex 6571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )  e. 
_V
108107a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )  e.  _V )
109 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
11057a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
(  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN ) )
111 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  ->  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )
112 incom 3677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
113 fz1ssnn 11719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
114 ssdisj 3864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... N
)  C_  NN  /\  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )
115113, 18, 114mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
116112, 115eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( ( ZZ  \  NN )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/) )
118 fun 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/) )  ->  (
(  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
119110, 111, 117, 118syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
120 uncom 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F )  =  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )
121120feq1i 5705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) )  <-> 
( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
122119, 121sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
123122ad3antlr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
124 mzprename 30924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) )  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  ->  ( e  e.  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) ) )
125108, 109, 123, 124syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
1263, 16, 19eldioph4i 30988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) 
|->  ( b `  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  M ) )
127105, 125, 126syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  M ) )
128104, 127eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  e.  (Dioph `  M ) )
129 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  ( ( a  o.  F )  e.  S  <->  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } ) )
130129rabbidv 3098 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } } )
131130eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M )  <->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  e.  (Dioph `  M ) ) )
132128, 131syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
133132rexlimdva 2946 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
134133expimpd 601 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
13520, 134syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
136135impcom 428 . 2  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
1371363impb 1190 1  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    _I cid 4779    |` cres 4990    o. ccom 4992    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ^m cmap 7412    ~~ cen 7506   Fincfn 7509   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  mzPolycmzp 30897  Diophcdioph 30930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12391  df-mzpcl 30898  df-mzp 30899  df-dioph 30931
This theorem is referenced by:  rabrenfdioph  30990
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