Theorem dihvalrel 36293

Description: The value of isomorphism H is a relation. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihvalrel.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihvalrel.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dihvalrel	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` X ) )

Proof of Theorem dihvalrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2		dihvalrel.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihvalrel.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	1, 2, 3	dihdm 36283	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = ( Base ` K ) )
5	4	eleq2d 2537	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. dom I <-> X e. ( Base ` K ) ) )
6		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8	1, 2, 3, 6, 7	dihss 36265	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
9		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
10		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W )
11	2, 9, 10, 6, 7	dvhvbase 36101	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
13	8, 12	sseqtrd 3540	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
14		xpss 5109	. . . . . 6 |- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) C_ ( _V X. _V )
15	13, 14	syl6ss 3516	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( _V X. _V ) )
16		df-rel 5006	. . . . 5 |- ( Rel ( I ` X ) <-> ( I ` X ) C_ ( _V X. _V ) )
17	15, 16	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> Rel ( I ` X ) )
18	17	ex 434	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. ( Base ` K ) -> Rel ( I ` X ) ) )
19	5, 18	sylbid 215	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. dom I -> Rel ( I ` X ) ) )
20		rel0 5127	. . 3 |- Rel (/)
21		ndmfv 5890	. . . 4 |- ( -. X e. dom I -> ( I ` X ) = (/) )
22	21	releqd 5087	. . 3 |- ( -. X e. dom I -> ( Rel ( I ` X ) <-> Rel (/) ) )
23	20, 22	mpbiri 233	. 2 |- ( -. X e. dom I -> Rel ( I ` X ) )
24	19, 23	pm2.61d1 159	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   X. cxp 4997   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   ` cfv 5588   Basecbs 14493   HLchlt 34364   LHypclh 34997   LTrncltrn 35114   TEndoctendo 35765   DVecHcdvh 36092   DIsoHcdih 36242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-riotaBAD 33973

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-undef 7003  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-0g 14700  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-p1 15530  df-lat 15536  df-clat 15598  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-lsm 16471  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-drng 17210  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-lvec 17561  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365  df-llines 34511  df-lplanes 34512  df-lvols 34513  df-lines 34514  df-psubsp 34516  df-pmap 34517  df-padd 34809  df-lhyp 35001  df-laut 35002  df-ldil 35117  df-ltrn 35118  df-trl 35172  df-tendo 35768  df-edring 35770  df-disoa 36043  df-dvech 36093  df-dib 36153  df-dic 36187  df-dih 36243

This theorem is referenced by:  dih1  36300  dihmeetlem1N  36304  dihglblem5apreN  36305  dihglbcpreN  36314  dihmeetlem4preN  36320  dihmeetlem13N  36333  dihjatcclem4  36435