Theorem dihvalrel 34918

Description: The value of isomorphism H is a relation. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihvalrel.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihvalrel.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dihvalrel	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` X ) )

Proof of Theorem dihvalrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2		dihvalrel.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihvalrel.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	1, 2, 3	dihdm 34908	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = ( Base ` K ) )
5	4	eleq2d 2534	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. dom I <-> X e. ( Base ` K ) ) )
6		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8	1, 2, 3, 6, 7	dihss 34890	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
9		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
10		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W )
11	2, 9, 10, 6, 7	dvhvbase 34726	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
12	11	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
13	8, 12	sseqtrd 3454	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
14		xpss 4946	. . . . . 6 |- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) C_ ( _V X. _V )
15	13, 14	syl6ss 3430	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( _V X. _V ) )
16		df-rel 4846	. . . . 5 |- ( Rel ( I ` X ) <-> ( I ` X ) C_ ( _V X. _V ) )
17	15, 16	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> Rel ( I ` X ) )
18	17	ex 441	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. ( Base ` K ) -> Rel ( I ` X ) ) )
19	5, 18	sylbid 223	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. dom I -> Rel ( I ` X ) ) )
20		rel0 4963	. . 3 |- Rel (/)
21		ndmfv 5903	. . . 4 |- ( -. X e. dom I -> ( I ` X ) = (/) )
22	21	releqd 4924	. . 3 |- ( -. X e. dom I -> ( Rel ( I ` X ) <-> Rel (/) ) )
23	20, 22	mpbiri 241	. 2 |- ( -. X e. dom I -> Rel ( I ` X ) )
24	19, 23	pm2.61d1 164	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   ` cfv 5589   Basecbs 15199   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   TEndoctendo 34390   DVecHcdvh 34717   DIsoHcdih 34867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868

This theorem is referenced by:  dih1  34925  dihmeetlem1N  34929  dihglblem5apreN  34930  dihglbcpreN  34939  dihmeetlem4preN  34945  dihmeetlem13N  34958  dihjatcclem4  35060