Theorem dihvalrel 34841

Description: The value of isomorphism H is a relation. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihvalrel.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihvalrel.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dihvalrel	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` X ) )

Proof of Theorem dihvalrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2		dihvalrel.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihvalrel.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	1, 2, 3	dihdm 34831	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = ( Base ` K ) )
5	4	eleq2d 2513	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. dom I <-> X e. ( Base ` K ) ) )
6		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8	1, 2, 3, 6, 7	dihss 34813	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
9		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
10		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W )
11	2, 9, 10, 6, 7	dvhvbase 34649	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
12	11	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
13	8, 12	sseqtrd 3467	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) )
14		xpss 4940	. . . . . 6 |- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) X. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) C_ ( _V X. _V )
15	13, 14	syl6ss 3443	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` X ) C_ ( _V X. _V ) )
16		df-rel 4840	. . . . 5 |- ( Rel ( I ` X ) <-> ( I ` X ) C_ ( _V X. _V ) )
17	15, 16	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ( Base ` K ) ) -> Rel ( I ` X ) )
18	17	ex 436	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. ( Base ` K ) -> Rel ( I ` X ) ) )
19	5, 18	sylbid 219	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( X e. dom I -> Rel ( I ` X ) ) )
20		rel0 4957	. . 3 |- Rel (/)
21		ndmfv 5887	. . . 4 |- ( -. X e. dom I -> ( I ` X ) = (/) )
22	21	releqd 4918	. . 3 |- ( -. X e. dom I -> ( Rel ( I ` X ) <-> Rel (/) ) )
23	20, 22	mpbiri 237	. 2 |- ( -. X e. dom I -> Rel ( I ` X ) )
24	19, 23	pm2.61d1 163	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   (/)c0 3730   X. cxp 4831   dom cdm 4833   Rel wrel 4838   ` cfv 5581   Basecbs 15114   HLchlt 32910   LHypclh 33543   LTrncltrn 33660   TEndoctendo 34313   DVecHcdvh 34640   DIsoHcdih 34790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-riotaBAD 32519

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-undef 7017  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-lsm 17281  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319  df-oposet 32736  df-ol 32738  df-oml 32739  df-covers 32826  df-ats 32827  df-atl 32858  df-cvlat 32882  df-hlat 32911  df-llines 33057  df-lplanes 33058  df-lvols 33059  df-lines 33060  df-psubsp 33062  df-pmap 33063  df-padd 33355  df-lhyp 33547  df-laut 33548  df-ldil 33663  df-ltrn 33664  df-trl 33719  df-tendo 34316  df-edring 34318  df-disoa 34591  df-dvech 34641  df-dib 34701  df-dic 34735  df-dih 34791

This theorem is referenced by:  dih1  34848  dihmeetlem1N  34852  dihglblem5apreN  34853  dihglbcpreN  34862  dihmeetlem4preN  34868  dihmeetlem13N  34881  dihjatcclem4  34983