Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihsumssj Structured version   Unicode version

Theorem dihsumssj 36223
Description: The subspace sum of two isomorphisms of lattice elements is less than the isomorphism of their lattice join. (Contributed by NM, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihsumssj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihsumssj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihsumssj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihsumssj.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihsumssj.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihsumssj.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihsumssj.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihsumssj.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
dihsumssj.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dihsumssj  |-  ( ph  ->  ( ( I `  X )  .(+)  ( I `
 Y ) ) 
C_  ( I `  ( X  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem dihsumssj
StepHypRef Expression
1 dihsumssj.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihsumssj.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
4 dihsumssj.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( (joinH `  K ) `  W
)  =  ( (joinH `  K ) `  W
)
6 dihsumssj.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 dihsumssj.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 dihsumssj.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 dihsumssj.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
108, 1, 9, 2, 3dihss 36066 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( I `  X )  C_  ( Base `  U ) )
116, 7, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  C_  ( Base `  U ) )
12 dihsumssj.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
138, 1, 9, 2, 3dihss 36066 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  C_  ( Base `  U ) )
146, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  C_  ( Base `  U ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14djhsumss 36222 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  X )  .(+)  ( I `
 Y ) ) 
C_  ( ( I `
 X ) ( (joinH `  K ) `  W ) ( I `
 Y ) ) )
16 dihsumssj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
178, 16, 1, 9, 5djhlj 36216 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `
 X ) ( (joinH `  K ) `  W ) ( I `
 Y ) ) )
186, 7, 12, 17syl12anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `
 X ) ( (joinH `  K ) `  W ) ( I `
 Y ) ) )
1915, 18sseqtr4d 3541 1  |-  ( ph  ->  ( ( I `  X )  .(+)  ( I `
 Y ) ) 
C_  ( I `  ( X  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   joincjn 15431   LSSumclsm 16460   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893   DIsoHcdih 36043  joinHcdjh 36209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210
This theorem is referenced by:  dihjatb  36231
  Copyright terms: Public domain W3C validator