Theorem dihord6apre 35930

Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihord6apre.b	|- B = ( Base ` K )
dihord6apre.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihord6apre.a	|- A = ( Atoms ` K )
dihord6apre.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihord6apre.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
dihord6apre.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dihord6apre.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihord6apre.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihord6apre.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihord6apre.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihord6apre.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihord6apre.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = q )

Assertion

Ref	Expression
dihord6apre	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) -> X .<_ Y )

Distinct variable groups:   .<_ , q   A, q   h, q, B   H, q   I, q   h, K, q   O, q   T, h, q   h, W, q   X, q   Y, q

Allowed substitution hints:   A( h)   P( h, q)   .(+) ( h, q)   U( h, q)   E( h, q)   G( h, q)   H( h)   I( h)   .<_ ( h)   O( h)   X( h)   Y( h)

Proof of Theorem dihord6apre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihord6apre.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
2		dihord6apre.h	. . . . . . 7 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihord6apre.t	. . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4		dihord6apre.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
5		dihord6apre.o	. . . . . . 7 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tendo1ne0 35501	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) =/= O )
7	6	3ad2ant1 1012	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( _I |` T ) =/= O )
8	7	neneqd 2664	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> -. ( _I |` T ) = O )
9		dihord6apre.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
10		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
11		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
12		dihord6apre.a	. . . . . . 7 |- A = ( Atoms ` K )
13	1, 9, 10, 11, 12, 2	lhpmcvr2 34697	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. q e. A ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) )
14	13	3adant3 1011	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> E. q e. A ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) )
15		simpl1 994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
16		simpl2 995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
17		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) )
18		dihord6apre.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
19		eqid 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
20		eqid 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( DIsoC ` K ) ` W ) = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
21		dihord6apre.u	. . . . . . . . . . . 12 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
22		dihord6apre.s	. . . . . . . . . . . 12 |- .(+) = ( LSSum ` U )
23	1, 9, 10, 11, 12, 2, 18, 19, 20, 21, 22	dihvalcq 35910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) )
24	15, 16, 17, 23	syl3anc 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) )
25		simpl3 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( Y e. B /\ Y .<_ W ) )
26	1, 9, 2, 18, 19	dihvalb 35911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) )
27	15, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) )
28	24, 27	sseq12d 3528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) ) )
29	2, 21, 15	dvhlmod 35784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> U e. LMod )
30		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
31	30	lsssssubg 17382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ (SubGrp ` U ) )
32	29, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( LSubSp ` U ) C_ (SubGrp ` U ) )
33		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( q e. A /\ -. q .<_ W ) )
34	9, 12, 2, 21, 20, 30	diclss 35867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) e. ( LSubSp ` U ) )
35	15, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) e. ( LSubSp ` U ) )
36	32, 35	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) e. (SubGrp ` U ) )
37		simpl1l 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> K e. HL )
38		hllat 34037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> K e. Lat )
40		simpl2l 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> X e. B )
41		simpl1r 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> W e. H )
42	1, 2	lhpbase 34671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. H -> W e. B )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> W e. B )
44	1, 11	latmcl 15530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ( meet ` K ) W ) e. B )
45	39, 40, 43, 44	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( X ( meet ` K ) W ) e. B )
46	1, 9, 11	latmle2 15555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ( meet ` K ) W ) .<_ W )
47	39, 40, 43, 46	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( X ( meet ` K ) W ) .<_ W )
48	1, 9, 2, 21, 19, 30	diblss 35844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ( meet ` K ) W ) e. B /\ ( X ( meet ` K ) W ) .<_ W ) ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
49	15, 45, 47, 48	syl12anc 1221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
50	32, 49	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) e. (SubGrp ` U ) )
51	22	lsmub1 16467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) e. (SubGrp ` U ) /\ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) e. (SubGrp ` U ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) )
52	36, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) )
53		sstr 3507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) )
54		eqidd 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( _I |` T ) ` G ) = ( ( _I |` T ) ` G ) )
55	2, 3, 4	tendoidcl 35442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. E )
56	15, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( _I |` T ) e. E )
57		dihord6apre.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
58		dihord6apre.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = q )
59		fvex 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _I |` T ) ` G ) e. _V
60		fvex 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V
61	3, 60	eqeltri 2546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T e. _V
62		resiexg 6712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. _V -> ( _I |` T ) e. _V )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _I |` T ) e. _V
64	9, 12, 2, 57, 3, 4, 20, 58, 59, 63	dicopelval2 35855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) -> ( <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) <-> ( ( ( _I |` T ) ` G ) = ( ( _I |` T ) ` G ) /\ ( _I |` T ) e. E ) ) )
65	15, 33, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) <-> ( ( ( _I |` T ) ` G ) = ( ( _I |` T ) ` G ) /\ ( _I |` T ) e. E ) ) )
66	54, 56, 65	mpbir2and 915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) )
67		ssel2 3494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) /\ <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ) -> <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) )
68		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
69	1, 9, 2, 3, 5, 68, 19	dibopelval2 35819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) <-> ( ( ( _I |` T ) ` G ) e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ ( _I |` T ) = O ) ) )
70	15, 25, 69	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) <-> ( ( ( _I |` T ) ` G ) e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ ( _I |` T ) = O ) ) )
71		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( _I |` T ) ` G ) e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ ( _I |` T ) = O ) -> ( _I |` T ) = O )
72	70, 71	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) )
73	67, 72	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) /\ <. ( ( _I |` T ) ` G ) , ( _I |` T ) >. e. ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ) -> ( _I |` T ) = O ) )
74	66, 73	mpan2d 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) )
75	53, 74	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) ) -> ( _I |` T ) = O ) )
76	52, 75	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) .(+) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) )
77	28, 76	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) )
78	77	exp44 613	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( q e. A -> ( -. q .<_ W -> ( ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) ) ) ) )
79	78	imp4a 589	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( q e. A -> ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) ) ) )
80	79	rexlimdv 2948	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( E. q e. A ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) ) )
81	14, 80	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) -> ( _I |` T ) = O ) )
82	8, 81	mtod 177	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> -. ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) )
83	82	pm2.21d 106	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) -> X .<_ Y ) )
84	83	imp 429	1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) -> X .<_ Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   C_ wss 3471   <.cop 4028   class class class wbr 4442   |-> cmpt 4500   _I cid 4785   |` cres 4996   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   lecple 14553   occoc 14554   joincjn 15422   meetcmee 15423   Latclat 15523  SubGrpcsubg 15985   LSSumclsm 16445   LModclmod 17290   LSubSpclss 17356   Atomscatm 33937   HLchlt 34024   LHypclh 34657   LTrncltrn 34774   TEndoctendo 35425   DIsoAcdia 35702   DVecHcdvh 35752   DIsoBcdib 35812   DIsoCcdic 35846   DIsoHcdih 35902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-riotaBAD 33633

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-0g 14688  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-lsm 16447  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lvec 17527  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-llines 34171  df-lplanes 34172  df-lvols 34173  df-lines 34174  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-lhyp 34661  df-laut 34662  df-ldil 34777  df-ltrn 34778  df-trl 34832  df-tendo 35428  df-edring 35430  df-disoa 35703  df-dvech 35753  df-dib 35813  df-dic 35847  df-dih 35903

This theorem is referenced by:  dihord6a  35935