Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord6apre Structured version   Unicode version

Theorem dihord6apre 34544
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord6apre.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord6apre.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord6apre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihord6apre.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord6apre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihord6apre.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihord6apre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihord6apre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihord6apre.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihord6apre.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihord6apre.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord6apre.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihord6apre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Distinct variable groups:    .<_ , q    A, q    h, q, B    H, q    I, q    h, K, q    O, q    T, h, q    h, W, q    X, q    Y, q
Allowed substitution hints:    A( h)    P( h, q)    .(+) ( h, q)    U( h, q)    E( h, q)    G( h, q)    H( h)    I( h)    .<_ ( h)    O( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem dihord6apre
StepHypRef Expression
1 dihord6apre.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihord6apre.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihord6apre.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 dihord6apre.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 dihord6apre.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
61, 2, 3, 4, 5tendo1ne0 34115 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
763ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
87neneqd 2632 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  (  _I  |`  T )  =  O )
9 dihord6apre.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
11 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
12 dihord6apre.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 9, 10, 11, 12, 2lhpmcvr2 33309 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
14133adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
15 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
17 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
18 dihord6apre.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
19 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
20 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
21 dihord6apre.u . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
22 dihord6apre.s . . . . . . . . . . . 12  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
231, 9, 10, 11, 12, 2, 18, 19, 20, 21, 22dihvalcq 34524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) )
2415, 16, 17, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) )
25 simpl3 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
261, 9, 2, 18, 19dihvalb 34525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (
I `  Y )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )
2715, 25, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y ) )
2824, 27sseq12d 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) ) )
292, 21, 15dvhlmod 34398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  U  e.  LMod )
30 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
3130lsssssubg 18120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
33 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
349, 12, 2, 21, 20, 30diclss 34481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3515, 33, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
3632, 35sseldd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  e.  (SubGrp `  U ) )
37 simpl1l 1056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  HL )
38 hllat 32649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2l 1058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  X  e.  B )
41 simpl1r 1057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  H )
421, 2lhpbase 33283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  B )
441, 11latmcl 16253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) W )  e.  B )
4539, 40, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X
( meet `  K ) W )  e.  B
)
461, 9, 11latmle2 16278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) W ) 
.<_  W )
4739, 40, 43, 46syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X
( meet `  K ) W )  .<_  W )
481, 9, 2, 21, 19, 30diblss 34458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X ( meet `  K
) W )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
4915, 45, 47, 48syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
5032, 49sseldd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  e.  (SubGrp `  U
) )
5122lsmub1 17247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) ) )
5236, 50, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) ) )
53 sstr 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )  ->  (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y ) )
54 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (  _I  |`  T ) `  G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G ) )
552, 3, 4tendoidcl 34056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
5615, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
57 dihord6apre.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
58 dihord6apre.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  q )
59 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  _V
60 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
613, 60eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  e. 
_V
62 resiexg 6743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  _V  ->  (  _I  |`  T )  e. 
_V )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  _I  |`  T )  e.  _V
649, 12, 2, 57, 3, 4, 20, 58, 59, 63dicopelval2 34469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  <->  ( (
(  _I  |`  T ) `
 G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G )  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) ) )
6515, 33, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G )  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) ) )
6654, 56, 65mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  <. ( (  _I  |`  T ) `  G ) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
) )
67 ssel2 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  Y )  /\  <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) )  ->  <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )
68 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
691, 9, 2, 3, 5, 68, 19dibopelval2 34433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
7015, 25, 69syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
71 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  T ) `
 G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O )  -> 
(  _I  |`  T )  =  O )
7270, 71syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7367, 72syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  Y )  /\  <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) )  -> 
(  _I  |`  T )  =  O ) )
7466, 73mpan2d 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7553, 74syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7652, 75mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) 
C_  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7728, 76sylbid 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7877exp44 616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  (
( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X  ->  (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) ) ) )
7978imp4a 592 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) ) )
8079rexlimdv 2922 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  (
q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  ->  (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
8114, 80mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
828, 81mtod 180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
8382pm2.21d 109 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  ->  X  .<_  Y ) )
8483imp 430 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    _I cid 4764    |` cres 4856   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15160   occoc 15161   joincjn 16144   meetcmee 16145   Latclat 16246  SubGrpcsubg 16766   LSSumclsm 17225   LModclmod 18030   LSubSpclss 18094   Atomscatm 32549   HLchlt 32636   LHypclh 33269   LTrncltrn 33386   TEndoctendo 34039   DIsoAcdia 34316   DVecHcdvh 34366   DIsoBcdib 34426   DIsoCcdic 34460   DIsoHcdih 34516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32245
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-0g 15303  df-preset 16128  df-poset 16146  df-plt 16159  df-lub 16175  df-glb 16176  df-join 16177  df-meet 16178  df-p0 16240  df-p1 16241  df-lat 16247  df-clat 16309  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-submnd 16538  df-grp 16628  df-minusg 16629  df-sbg 16630  df-subg 16769  df-cntz 16926  df-lsm 17227  df-cmn 17371  df-abl 17372  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-ring 17721  df-oppr 17790  df-dvdsr 17808  df-unit 17809  df-invr 17839  df-dvr 17850  df-drng 17916  df-lmod 18032  df-lss 18095  df-lsp 18134  df-lvec 18265  df-oposet 32462  df-ol 32464  df-oml 32465  df-covers 32552  df-ats 32553  df-atl 32584  df-cvlat 32608  df-hlat 32637  df-llines 32783  df-lplanes 32784  df-lvols 32785  df-lines 32786  df-psubsp 32788  df-pmap 32789  df-padd 33081  df-lhyp 33273  df-laut 33274  df-ldil 33389  df-ltrn 33390  df-trl 33445  df-tendo 34042  df-edring 34044  df-disoa 34317  df-dvech 34367  df-dib 34427  df-dic 34461  df-dih 34517
This theorem is referenced by:  dihord6a  34549
  Copyright terms: Public domain W3C validator