Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord5b Structured version   Unicode version

Theorem dihord5b 36726
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving. TODO: eliminate 3ad2ant1; combine w/ other way to have one lhpmcvr2 (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord3.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihord5b  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)

Proof of Theorem dihord5b
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl3 1002 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
3 dihord3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dihord3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
8 dihord3.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 35488 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) )
101, 2, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K )
( -.  r  .<_  W  /\  ( r (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y ) )
11 simp1r 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y )
12 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  W )
13123ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  W )
14 simpl1l 1048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
15143ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  K  e.  HL )
16 hllat 34828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  K  e.  Lat )
18 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  B )
19183ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  X  e.  B )
20 simpl3l 1052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  B )
21203ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  Y  e.  B )
22 simpl1r 1049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  W  e.  H )
23223ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  W  e.  H )
243, 8lhpbase 35462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  W  e.  B )
263, 4, 6latlem12 15582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  X  .<_  W )  <->  X  .<_  ( Y ( meet `  K
) W ) ) )
2717, 19, 21, 25, 26syl13anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  X  .<_  W )  <->  X  .<_  ( Y ( meet `  K
) W ) ) )
2811, 13, 27mpbi2and 921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  ( Y ( meet `  K ) W ) )
29 simp1l1 1090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp1l2 1091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
313, 6latmcl 15556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y ( meet `  K ) W )  e.  B )
3217, 21, 25, 31syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  ( Y ( meet `  K
) W )  e.  B )
333, 4, 6latmle2 15581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y ( meet `  K ) W ) 
.<_  W )
3417, 21, 25, 33syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  ( Y ( meet `  K
) W )  .<_  W )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
363, 4, 8, 35dibord 36626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( ( Y ( meet `  K
) W )  e.  B  /\  ( Y ( meet `  K
) W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  X
)  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  <-> 
X  .<_  ( Y (
meet `  K ) W ) ) )
3729, 30, 32, 34, 36syl112anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  X )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y
( meet `  K ) W ) )  <->  X  .<_  ( Y ( meet `  K
) W ) ) )
3828, 37mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  X )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) )
39 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
408, 39, 29dvhlmod 36577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( DVecH `  K ) `  W )  e.  LMod )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
4241lsssssubg 17478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( DVecH `  K ) `  W )  e.  LMod  -> 
( LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  C_  (SubGrp `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  C_  (SubGrp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
44 simp2 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )
45 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
464, 7, 8, 39, 45, 41diclss 36660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
4729, 44, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  e.  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
4843, 47sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  e.  (SubGrp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
493, 4, 8, 39, 35, 41diblss 36637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Y ( meet `  K
) W )  e.  B  /\  ( Y ( meet `  K
) W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y
( meet `  K ) W ) )  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
5029, 32, 34, 49syl12anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) )  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
5143, 50sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) )  e.  (SubGrp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
52 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
5352lsmub2 16551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  (SubGrp `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y
( meet `  K ) W ) )  e.  (SubGrp `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) 
C_  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
) ( LSSum `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
5448, 51, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )
5538, 54sstrd 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  X )  C_  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
56 dihord3.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
573, 4, 8, 56, 35dihvalb 36704 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  X
) )
5829, 30, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
I `  X )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  X
) )
59 simp1l3 1092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
60 simp3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )
613, 4, 5, 6, 7, 8, 56, 35, 45, 39, 52dihvalcq 36703 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  (
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
6229, 59, 44, 60, 61syl112anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
) ( LSSum `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
6355, 58, 623sstr4d 3532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )
64633exp 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( (
r  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W )  -> 
( ( r (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y  -> 
( I `  X
)  C_  ( I `  Y ) ) ) )
6564expd 436 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( -.  r  .<_  W  ->  ( ( r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
) ) ) )
6665imp4a 589 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )  ->  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) ) ) )
6766rexlimdv 2933 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y )  -> 
( I `  X
)  C_  ( I `  Y ) ) )
6810, 67mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   lecple 14581   joincjn 15447   meetcmee 15448   Latclat 15549  SubGrpcsubg 16069   LSSumclsm 16528   LModclmod 17386   LSubSpclss 17452   Atomscatm 34728   HLchlt 34815   LHypclh 35448   DVecHcdvh 36545   DIsoBcdib 36605   DIsoCcdic 36639   DIsoHcdih 36695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34424
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-0g 14716  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-lsm 16530  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-lvec 17623  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-lplanes 34963  df-lvols 34964  df-lines 34965  df-psubsp 34967  df-pmap 34968  df-padd 35260  df-lhyp 35452  df-laut 35453  df-ldil 35568  df-ltrn 35569  df-trl 35624  df-tendo 36221  df-edring 36223  df-disoa 36496  df-dvech 36546  df-dib 36606  df-dic 36640  df-dih 36696
This theorem is referenced by:  dihord  36731
  Copyright terms: Public domain W3C validator