Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord5apre Structured version   Unicode version

Theorem dihord5apre 36059
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord5apre.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord5apre.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord5apre.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord5apre.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihord5apre.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihord5apre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihord5apre.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihord5apre.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord5apre.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihord5apre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )

Proof of Theorem dihord5apre
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
3 dihord5apre.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dihord5apre.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 dihord5apre.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 dihord5apre.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 dihord5apre.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 dihord5apre.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 34820 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )
101, 2, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  (
r  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y ) )
11 simp11l 1107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  K  e.  HL )
12 hllat 34160 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp12l 1109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  X  e.  B )
15 simp3ll 1067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  r  e.  A )
163, 7atbase 34086 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  r  e.  B )
183, 5latjcl 15534 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  r  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( r  .\/  X
)  e.  B )
1913, 17, 14, 18syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  X )  e.  B
)
20 simp13l 1111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Y  e.  B )
213, 4, 5latlej2 15544 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  r  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  ( r  .\/  X ) )
2213, 17, 14, 21syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  X  .<_  ( r  .\/  X ) )
23 simp11 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 simp3lr 1068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  r  .<_  W )
253, 4, 5latlej1 15543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  r  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  r  .<_  ( r  .\/  X ) )
2613, 17, 14, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  r  .<_  ( r  .\/  X ) )
27 simp11r 1108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  W  e.  H )
283, 8lhpbase 34794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  W  e.  B )
303, 4lattr 15539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  B  /\  ( r  .\/  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( (
r  .<_  ( r  .\/  X )  /\  ( r 
.\/  X )  .<_  W )  ->  r  .<_  W ) )
3113, 17, 19, 29, 30syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .<_  ( r  .\/  X )  /\  ( r 
.\/  X )  .<_  W )  ->  r  .<_  W ) )
3226, 31mpand 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  .<_  W  ->  r  .<_  W ) )
3324, 32mtod 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  (
r  .\/  X )  .<_  W )
34 simp3l 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )
35 simp12 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
363, 4, 5, 6, 7, 8lhple 34838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( ( r 
.\/  X )  ./\  W )  =  X )
3723, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  ./\  W )  =  X )
3837oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )
)  =  ( r 
.\/  X ) )
39 dihord5apre.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
40 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
42 dihord5apre.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
43 dihord5apre.s . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
443, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 43dihvalcq 36033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r 
.\/  X )  e.  B  /\  -.  (
r  .\/  X )  .<_  W )  /\  (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )
)  =  ( r 
.\/  X ) ) )  ->  ( I `  ( r  .\/  X
) )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) ) ) )
4523, 19, 33, 34, 38, 44syl122anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  ( r  .\/  X
) )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) ) ) )
468, 42, 23dvhlmod 35907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  U  e.  LMod )
47 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4847lsssssubg 17387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
504, 7, 8, 42, 41, 47diclss 35990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  ( LSubSp `  U )
)
5123, 34, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
5249, 51sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  e.  (SubGrp `  U ) )
533, 6latmcl 15535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
5413, 20, 29, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
553, 4, 6latmle2 15560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  .<_  W )
5613, 20, 29, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Y  ./\ 
W )  .<_  W )
573, 4, 8, 42, 40, 47diblss 35967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Y 
./\  W )  e.  B  /\  ( Y 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
5823, 54, 56, 57syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
5949, 58sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) )  e.  (SubGrp `  U
) )
6043lsmub1 16472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) )  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) ) ) )
6152, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) ) ) )
62 simp13 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
63 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
643, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 43dihvalcq 36033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) ) ) )
6523, 62, 34, 63, 64syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) ) ) )
6661, 65sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( I `  Y ) )
6737fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  X
) )
683, 4, 8, 39, 40dihvalb 36034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  X
) )
6923, 35, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  X ) )
7067, 69eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  =  ( I `
 X ) )
71 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
7270, 71eqsstrd 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  C_  ( I `  Y ) )
733, 6latmcl 15535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  .\/  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )  e.  B )
7413, 19, 29, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  ./\  W )  e.  B
)
753, 4, 6latmle2 15560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  .\/  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )  .<_  W )
7613, 19, 29, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  ./\  W )  .<_  W )
773, 4, 8, 42, 40, 47diblss 35967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( r  .\/  X ) 
./\  W )  e.  B  /\  ( ( r  .\/  X ) 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
7823, 74, 76, 77syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
7949, 78sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  e.  (SubGrp `  U ) )
803, 8, 39, 42, 47dihlss 36047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
8123, 20, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
8249, 81sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  e.  (SubGrp `  U ) )
8343lsmlub 16479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  (SubGrp `  U ) )  -> 
( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( I `  Y )  /\  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )
)  C_  ( I `  Y ) )  <->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
) )  C_  (
I `  Y )
) )
8452, 79, 82, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  C_  ( I `  Y ) )  <->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
) )  C_  (
I `  Y )
) )
8566, 72, 84mpbi2and 919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
) )  C_  (
I `  Y )
)
8645, 85eqsstrd 3538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  ( r  .\/  X
) )  C_  (
I `  Y )
)
873, 4, 8, 39dihord4 36055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r 
.\/  X )  e.  B  /\  -.  (
r  .\/  X )  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  ( r  .\/  X ) )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( r  .\/  X )  .<_  Y )
)
8823, 19, 33, 62, 87syl121anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
I `  ( r  .\/  X ) )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( r  .\/  X )  .<_  Y )
)
8986, 88mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  X )  .<_  Y )
903, 4, 13, 14, 19, 20, 22, 89lattrd 15541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
91903expia 1198 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  (
( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
9291exp4c 608 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( -.  r  .<_  W  ->  ( ( r 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  X  .<_  Y ) ) ) )
9392imp4a 589 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( ( -.  r  .<_  W  /\  ( r 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y ) ) )
9493rexlimdv 2953 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  ( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
9510, 94mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   meetcmee 15428   Latclat 15528  SubGrpcsubg 15990   LSSumclsm 16450   LModclmod 17295   LSubSpclss 17361   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875   DIsoBcdib 35935   DIsoCcdic 35969   DIsoHcdih 36025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-0g 14693  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-lsm 16452  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-lvec 17532  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026
This theorem is referenced by:  dihord5a  36060
  Copyright terms: Public domain W3C validator