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Theorem dihord5apre 35226
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord5apre.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord5apre.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord5apre.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord5apre.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihord5apre.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihord5apre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihord5apre.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihord5apre.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord5apre.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihord5apre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )

Proof of Theorem dihord5apre
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
3 dihord5apre.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dihord5apre.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 dihord5apre.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 dihord5apre.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 dihord5apre.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 dihord5apre.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 33987 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )
101, 2, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  (
r  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y ) )
11 simp11l 1099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  K  e.  HL )
12 hllat 33327 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp12l 1101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  X  e.  B )
15 simp3ll 1059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  r  e.  A )
163, 7atbase 33253 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  r  e.  B )
183, 5latjcl 15335 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  r  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( r  .\/  X
)  e.  B )
1913, 17, 14, 18syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  X )  e.  B
)
20 simp13l 1103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Y  e.  B )
213, 4, 5latlej2 15345 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  r  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  ( r  .\/  X ) )
2213, 17, 14, 21syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  X  .<_  ( r  .\/  X ) )
23 simp11 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 simp3lr 1060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  r  .<_  W )
253, 4, 5latlej1 15344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  r  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  r  .<_  ( r  .\/  X ) )
2613, 17, 14, 25syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  r  .<_  ( r  .\/  X ) )
27 simp11r 1100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  W  e.  H )
283, 8lhpbase 33961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  W  e.  B )
303, 4lattr 15340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  B  /\  ( r  .\/  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( (
r  .<_  ( r  .\/  X )  /\  ( r 
.\/  X )  .<_  W )  ->  r  .<_  W ) )
3113, 17, 19, 29, 30syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .<_  ( r  .\/  X )  /\  ( r 
.\/  X )  .<_  W )  ->  r  .<_  W ) )
3226, 31mpand 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  .<_  W  ->  r  .<_  W ) )
3324, 32mtod 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  (
r  .\/  X )  .<_  W )
34 simp3l 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )
35 simp12 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
363, 4, 5, 6, 7, 8lhple 34005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( ( r 
.\/  X )  ./\  W )  =  X )
3723, 34, 35, 36syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  ./\  W )  =  X )
3837oveq2d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )
)  =  ( r 
.\/  X ) )
39 dihord5apre.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
40 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
41 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
42 dihord5apre.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
43 dihord5apre.s . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
443, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 43dihvalcq 35200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r 
.\/  X )  e.  B  /\  -.  (
r  .\/  X )  .<_  W )  /\  (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )
)  =  ( r 
.\/  X ) ) )  ->  ( I `  ( r  .\/  X
) )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) ) ) )
4523, 19, 33, 34, 38, 44syl122anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  ( r  .\/  X
) )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) ) ) )
468, 42, 23dvhlmod 35074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  U  e.  LMod )
47 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4847lsssssubg 17157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
504, 7, 8, 42, 41, 47diclss 35157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  ( LSubSp `  U )
)
5123, 34, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
5249, 51sseldd 3460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  e.  (SubGrp `  U ) )
533, 6latmcl 15336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
5413, 20, 29, 53syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
553, 4, 6latmle2 15361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  .<_  W )
5613, 20, 29, 55syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Y  ./\ 
W )  .<_  W )
573, 4, 8, 42, 40, 47diblss 35134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Y 
./\  W )  e.  B  /\  ( Y 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
5823, 54, 56, 57syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
5949, 58sseldd 3460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) )  e.  (SubGrp `  U
) )
6043lsmub1 16271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) )  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) ) ) )
6152, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y  ./\  W ) ) ) )
62 simp13 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
63 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
643, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 43dihvalcq 35200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) ) ) )
6523, 62, 34, 63, 64syl112anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( Y  ./\ 
W ) ) ) )
6661, 65sseqtr4d 3496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( I `  Y ) )
6737fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  X
) )
683, 4, 8, 39, 40dihvalb 35201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  X
) )
6923, 35, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  X ) )
7067, 69eqtr4d 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  =  ( I `
 X ) )
71 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
7270, 71eqsstrd 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  C_  ( I `  Y ) )
733, 6latmcl 15336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  .\/  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )  e.  B )
7413, 19, 29, 73syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  ./\  W )  e.  B
)
753, 4, 6latmle2 15361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  .\/  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )  .<_  W )
7613, 19, 29, 75syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
r  .\/  X )  ./\  W )  .<_  W )
773, 4, 8, 42, 40, 47diblss 35134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( r  .\/  X ) 
./\  W )  e.  B  /\  ( ( r  .\/  X ) 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
7823, 74, 76, 77syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
7949, 78sseldd 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  e.  (SubGrp `  U ) )
803, 8, 39, 42, 47dihlss 35214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
8123, 20, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
8249, 81sseldd 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  e.  (SubGrp `  U ) )
8343lsmlub 16278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( (
r  .\/  X )  ./\  W ) )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  (SubGrp `  U ) )  -> 
( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  r
)  C_  ( I `  Y )  /\  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( ( r  .\/  X )  ./\  W )
)  C_  ( I `  Y ) )  <->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
) )  C_  (
I `  Y )
) )
8452, 79, 82, 83syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
)  C_  ( I `  Y ) )  <->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
) )  C_  (
I `  Y )
) )
8566, 72, 84mpbi2and 912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  (
( r  .\/  X
)  ./\  W )
) )  C_  (
I `  Y )
)
8645, 85eqsstrd 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  ( r  .\/  X
) )  C_  (
I `  Y )
)
873, 4, 8, 39dihord4 35222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r 
.\/  X )  e.  B  /\  -.  (
r  .\/  X )  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  ( r  .\/  X ) )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( r  .\/  X )  .<_  Y )
)
8823, 19, 33, 62, 87syl121anc 1224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( (
I `  ( r  .\/  X ) )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( r  .\/  X )  .<_  Y )
)
8986, 88mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( r  .\/  X )  .<_  Y )
903, 4, 13, 14, 19, 20, 22, 89lattrd 15342 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
91903expia 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  (
( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
r  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
9291exp4c 608 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( -.  r  .<_  W  ->  ( ( r 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  X  .<_  Y ) ) ) )
9392imp4a 589 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( ( -.  r  .<_  W  /\  ( r 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y ) ) )
9493rexlimdv 2940 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  ( E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
9510, 94mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2797    C_ wss 3431   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   lecple 14359   joincjn 15228   meetcmee 15229   Latclat 15329  SubGrpcsubg 15789   LSSumclsm 16249   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   LHypclh 33947   DVecHcdvh 35042   DIsoBcdib 35102   DIsoCcdic 35136   DIsoHcdih 35192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-0g 14494  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-lsm 16251  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tendo 34718  df-edring 34720  df-disoa 34993  df-dvech 35043  df-dib 35103  df-dic 35137  df-dih 35193
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