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Theorem dihord4 36461
Description: The isomorphism H for a lattice  K is order-preserving in the region not under co-atom  W. TODO: reformat q e. A /\ -. q .<_ W to eliminate adant*. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord3.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihord4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )

Proof of Theorem dihord4
Dummy variables  r 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihord3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihord3.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
6 dihord3.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
71, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 35226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X ) )
873adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  ( Atoms `  K )
( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 35226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) )
1093adant2 1015 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K )
( -.  r  .<_  W  /\  ( r (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y ) )
11 reeanv 3034 . . 3  |-  ( E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) )  <-> 
( E. q  e.  ( Atoms `  K )
( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  E. r  e.  ( Atoms `  K )
( -.  r  .<_  W  /\  ( r (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y ) ) )
128, 10, 11sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y ) ) )
13 simp11 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
14 simp12 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
15 simp2l 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
16 simp3ll 1067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
1715, 16jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q  .<_  W ) )
18 simp3lr 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( q
( join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X )
19 dihord3.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
20 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
21 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
22 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
23 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 21, 22, 23dihvalcq 36439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( X ( meet `  K ) W ) ) ) )
2513, 14, 17, 18, 24syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( X ( meet `  K ) W ) ) ) )
26 simp13 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
27 simp2r 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  r  e.  ( Atoms `  K )
)
28 simp3rl 1069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  -.  r  .<_  W )
2927, 28jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )
30 simp3rr 1070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( r
( join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 21, 22, 23dihvalcq 36439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  (
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( r (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
3213, 26, 29, 30, 31syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
3325, 32sseq12d 3538 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
) ( LSSum `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( X ( meet `  K ) W ) ) )  C_  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
34 simpl11 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
35 simpl2l 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
3616adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
3735, 36jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q  .<_  W ) )
38 simpl2r 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  r  e.  ( Atoms `  K )
)
3928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  W )
4038, 39jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )
41 simp12l 1109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  X  e.  B )
4241adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  X  e.  B )
43 simp13l 1111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  Y  e.  B )
4443adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
4518adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  (
q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )
4630adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y )
47 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( X ( meet `  K ) W ) ) )  C_  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 21, 22, 23dihord2 36430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) ) )  ->  X  .<_  Y )
4934, 37, 40, 42, 44, 45, 46, 47, 48syl323anc 1258 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )  ->  X  .<_  Y )
50 simpl11 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
51 simpl2l 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
5216adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  q  .<_  W )
5351, 52jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q  .<_  W ) )
54 simpl2r 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  r  e.  ( Atoms `  K )
)
5528adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  r  .<_  W )
5654, 55jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )
5741adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  B )
5843adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  B )
5918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( q
( join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X )
6030adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( r
( join `  K )
( Y ( meet `  K ) W ) )  =  Y )
61 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y )
621, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 21, 22, 23dihord1 36421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  r  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X  /\  (
r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( X ( meet `  K ) W ) ) )  C_  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) ) )
6350, 53, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62syl323anc 1258 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  r ) ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) ) ) )
6449, 63impbida 830 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( X ( meet `  K ) W ) ) )  C_  (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  r )
( LSSum `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( Y ( meet `  K ) W ) ) )  <->  X  .<_  Y ) )
6533, 64bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
66653exp 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K
) ( Y (
meet `  K ) W ) )  =  Y ) )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  <->  X 
.<_  Y ) ) ) )
6766rexlimdvv 2965 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  ( r ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  Y ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) ) )
6812, 67mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   lecple 14578   joincjn 15447   meetcmee 15448   LSSumclsm 16525   Atomscatm 34466   HLchlt 34553   LHypclh 35186   DVecHcdvh 36281   DIsoBcdib 36341   DIsoCcdic 36375   DIsoHcdih 36431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34162
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-0g 14713  df-poset 15449  df-plt 15461  df-lub 15477  df-glb 15478  df-join 15479  df-meet 15480  df-p0 15542  df-p1 15543  df-lat 15549  df-clat 15611  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-lsm 16527  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-drng 17267  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-lvec 17618  df-oposet 34379  df-ol 34381  df-oml 34382  df-covers 34469  df-ats 34470  df-atl 34501  df-cvlat 34525  df-hlat 34554  df-llines 34700  df-lplanes 34701  df-lvols 34702  df-lines 34703  df-psubsp 34705  df-pmap 34706  df-padd 34998  df-lhyp 35190  df-laut 35191  df-ldil 35306  df-ltrn 35307  df-trl 35361  df-tendo 35957  df-edring 35959  df-disoa 36232  df-dvech 36282  df-dib 36342  df-dic 36376  df-dih 36432
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