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Theorem dihord2pre 34875
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihjust.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihjust.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihjust.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihjust.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihjust.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihjust.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dihjust.J  |-  J  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
dihjust.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihjust.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord2c.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihord2c.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihord2c.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihord2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihord2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihord2.d  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dihord2.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  N )
Assertion
Ref Expression
dihord2pre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) )
Distinct variable groups:    A, h    P, h    B, h    h, H   
h, K    .<_ , h    h, N    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    .+ ( h)    .(+) ( h)    Q( h)    R( h)    U( h)    E( h)    G( h)    I( h)    J( h)    .\/ ( h)    ./\ ( h)    O( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem dihord2pre
Dummy variables  f 
g  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) ) )
2 simpl2l 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  X  e.  B )
3 simpl2r 1042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  Y  e.  B )
4 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( J `  Q )  .(+)  ( I `
 ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `
 ( Y  ./\  W ) ) ) )
5 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
f  e.  T )
6 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )
7 dihjust.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 dihjust.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 dihjust.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 dihjust.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 dihjust.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 dihjust.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 dihjust.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
14 dihjust.J . . . . . . 7  |-  J  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
15 dihjust.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
16 dihjust.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
17 dihord2c.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
18 dihord2c.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
19 dihord2c.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
20 dihord2.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
21 dihord2.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
22 dihord2.d . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
23 dihord2.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  N )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23dihord11c 34874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( (
( J `  Q
)  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  (
( J `  N
)  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) )  /\  f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  E. y  e.  ( J `  N ) E. z  e.  (
I `  ( Y  ./\ 
W ) ) <.
f ,  O >.  =  ( y  .+  z
) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 24syl123anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  E. y  e.  ( J `  N ) E. z  e.  (
I `  ( Y  ./\ 
W ) ) <.
f ,  O >.  =  ( y  .+  z
) )
26 simpl11 1063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
27 simpl13 1065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )
288, 11, 12, 20, 17, 21, 14, 23dicelval3 34830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  -> 
( y  e.  ( J `  N )  <->  E. s  e.  E  y  =  <. ( s `
 G ) ,  s >. ) )
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( y  e.  ( J `  N )  <->  E. s  e.  E  y  =  <. ( s `
 G ) ,  s >. ) )
30 simp11l 1099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  K  e.  HL )
32 hllat 33013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  K  e.  Lat )
34 simp11r 1100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  W  e.  H )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  W  e.  H )
367, 12lhpbase 33647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  W  e.  B )
387, 10latmcl 15227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
3933, 3, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( Y  ./\  W
)  e.  B )
407, 8, 10latmle2 15252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  .<_  W )
4133, 3, 37, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( Y  ./\  W
)  .<_  W )
427, 8, 12, 17, 18, 19, 13dibelval3 34797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Y 
./\  W )  e.  B  /\  ( Y 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( z  e.  ( I `  ( Y 
./\  W ) )  <->  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
4326, 39, 41, 42syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( z  e.  ( I `  ( Y 
./\  W ) )  <->  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
4429, 43anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( J `  N
)  /\  z  e.  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) )  <->  ( E. s  e.  E  y  =  <. ( s `  G
) ,  s >.  /\  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) ) )
45 reeanv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  E  E. g  e.  T  (
y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  <->  ( E. s  e.  E  y  =  <. ( s `  G ) ,  s
>.  /\  E. g  e.  T  ( z  = 
<. g ,  O >.  /\  ( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
46 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) ) )
47 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )
497, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23dihord10 34873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  (
( s  e.  E  /\  g  e.  T
)  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y 
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f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G ) ,  s
>.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
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f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) )
51503exp2 1205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
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./\  W ) ) ) ) )
52 oveq12 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( y  .+  z )  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) )
5352eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  <->  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G ) ,  s
>.  .+  <. g ,  O >. ) ) )
5453imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) )  <-> 
( <. f ,  O >.  =  ( <. (
s `  G ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
5554imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  <->  ( ( R `
 g )  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) ) )
5655biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) ) )
5756com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  ->  ( (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) ) )
5857impr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( ( ( R `
 g )  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) )
5958com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( (
y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
6051, 59syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  (
( y  =  <. ( s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) ) )
6160rexlimdvv 2852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  E  E. g  e.  T  ( y  = 
<. ( s `  G
) ,  s >.  /\  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
6245, 61syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( E. s  e.  E  y  =  <. ( s `  G
) ,  s >.  /\  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
6344, 62sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( J `  N
)  /\  z  e.  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) )
6463rexlimdvv 2852 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( E. y  e.  ( J `  N
) E. z  e.  ( I `  ( Y  ./\  W ) )
<. f ,  O >.  =  ( y  .+  z
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )
6525, 64mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) )
6665exp32 605 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  (
f  e.  T  -> 
( ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
6766ralrimiv 2803 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )
68 simp11 1018 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6930, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
70 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  X  e.  B )
7134, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  W  e.  B )
727, 10latmcl 15227 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
747, 8, 10latmle2 15252 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  W )
7569, 70, 71, 74syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  W )
76 simp2r 1015 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
7769, 76, 71, 38syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( Y  ./\  W )  e.  B )
7869, 76, 71, 40syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( Y  ./\  W )  .<_  W )
797, 8, 11, 12, 17, 18trlord 34218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  W )  e.  B  /\  ( X 
./\  W )  .<_  W )  /\  (
( Y  ./\  W
)  e.  B  /\  ( Y  ./\  W ) 
.<_  W ) )  -> 
( ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W )  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) )
8068, 73, 75, 77, 78, 79syl122anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  (
( X  ./\  W
)  .<_  ( Y  ./\  W )  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
8167, 80mpbird 232 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   <.cop 3888   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    _I cid 4636    |` cres 4847   ` cfv 5423   iota_crio 6056  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   lecple 14250   occoc 14251   joincjn 15119   meetcmee 15120   Latclat 15220   LSSumclsm 16138   Atomscatm 32913   HLchlt 33000   LHypclh 33633   LTrncltrn 33750   trLctrl 33807   TEndoctendo 34401   DVecHcdvh 34728   DIsoBcdib 34788   DIsoCcdic 34822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-riotaBAD 32609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-undef 6797  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-0g 14385  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-p1 15215  df-lat 15221  df-clat 15283  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-lsm 16140  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lvec 17189  df-oposet 32826  df-ol 32828  df-oml 32829  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001  df-llines 33147  df-lplanes 33148  df-lvols 33149  df-lines 33150  df-psubsp 33152  df-pmap 33153  df-padd 33445  df-lhyp 33637  df-laut 33638  df-ldil 33753  df-ltrn 33754  df-trl 33808  df-tendo 34404  df-edring 34406  df-disoa 34679  df-dvech 34729  df-dib 34789  df-dic 34823
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