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Theorem dihord2pre 34762
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihjust.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihjust.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihjust.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihjust.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihjust.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihjust.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dihjust.J  |-  J  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
dihjust.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihjust.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord2c.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihord2c.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihord2c.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihord2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihord2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihord2.d  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dihord2.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  N )
Assertion
Ref Expression
dihord2pre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) )
Distinct variable groups:    A, h    P, h    B, h    h, H   
h, K    .<_ , h    h, N    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    .+ ( h)    .(+) ( h)    Q( h)    R( h)    U( h)    E( h)    G( h)    I( h)    J( h)    .\/ ( h)    ./\ ( h)    O( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem dihord2pre
Dummy variables  f 
g  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) ) )
2 simpl2l 1058 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  X  e.  B )
3 simpl2r 1059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  Y  e.  B )
4 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( J `  Q )  .(+)  ( I `
 ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `
 ( Y  ./\  W ) ) ) )
5 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
f  e.  T )
6 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )
7 dihjust.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 dihjust.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 dihjust.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 dihjust.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 dihjust.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 dihjust.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 dihjust.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
14 dihjust.J . . . . . . 7  |-  J  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
15 dihjust.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
16 dihjust.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
17 dihord2c.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
18 dihord2c.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
19 dihord2c.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
20 dihord2.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
21 dihord2.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
22 dihord2.d . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
23 dihord2.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  N )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23dihord11c 34761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( (
( J `  Q
)  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  (
( J `  N
)  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) )  /\  f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  E. y  e.  ( J `  N ) E. z  e.  (
I `  ( Y  ./\ 
W ) ) <.
f ,  O >.  =  ( y  .+  z
) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 24syl123anc 1281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  E. y  e.  ( J `  N ) E. z  e.  (
I `  ( Y  ./\ 
W ) ) <.
f ,  O >.  =  ( y  .+  z
) )
26 simpl11 1080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
27 simpl13 1082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )
288, 11, 12, 20, 17, 21, 14, 23dicelval3 34717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  -> 
( y  e.  ( J `  N )  <->  E. s  e.  E  y  =  <. ( s `
 G ) ,  s >. ) )
2926, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( y  e.  ( J `  N )  <->  E. s  e.  E  y  =  <. ( s `
 G ) ,  s >. ) )
30 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  K  e.  HL )
32 hllat 32898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  K  e.  Lat )
34 simp11r 1117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  W  e.  H )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  W  e.  H )
367, 12lhpbase 33532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  ->  W  e.  B )
387, 10latmcl 16297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
3933, 3, 37, 38syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( Y  ./\  W
)  e.  B )
407, 8, 10latmle2 16322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  .<_  W )
4133, 3, 37, 40syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( Y  ./\  W
)  .<_  W )
427, 8, 12, 17, 18, 19, 13dibelval3 34684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Y 
./\  W )  e.  B  /\  ( Y 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( z  e.  ( I `  ( Y 
./\  W ) )  <->  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
4326, 39, 41, 42syl12anc 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( z  e.  ( I `  ( Y 
./\  W ) )  <->  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
4429, 43anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( J `  N
)  /\  z  e.  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) )  <->  ( E. s  e.  E  y  =  <. ( s `  G
) ,  s >.  /\  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) ) )
45 reeanv 2993 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  E  E. g  e.  T  (
y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  <->  ( E. s  e.  E  y  =  <. ( s `  G ) ,  s
>.  /\  E. g  e.  T  ( z  = 
<. g ,  O >.  /\  ( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
46 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) ) )
47 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) ) )
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )
497, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23dihord10 34760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  (
( s  e.  E  /\  g  e.  T
)  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y 
./\  W )  /\  <.
f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G ) ,  s
>.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  /\  ( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  /\  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) )
51503exp2 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
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./\  W ) ) ) ) )
52 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( y  .+  z )  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. ) )
5352eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  <->  <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G ) ,  s
>.  .+  <. g ,  O >. ) ) )
5453imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) )  <-> 
( <. f ,  O >.  =  ( <. (
s `  G ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
5554imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  <->  ( ( R `
 g )  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) ) )
5655biimprd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) ) )
5756com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  z  =  <. g ,  O >. )  ->  ( ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
)  ->  ( (
( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) ) )
5857impr 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( ( ( R `
 g )  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( <. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) )
5958com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R `  g
)  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( <. f ,  O >.  =  (
<. ( s `  G
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )  ->  ( (
y  =  <. (
s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
6051, 59syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( s  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  (
( y  =  <. ( s `  G ) ,  s >.  /\  (
z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) ) )
6160rexlimdvv 2920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  E  E. g  e.  T  ( y  = 
<. ( s `  G
) ,  s >.  /\  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
6245, 61syl5bir 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( E. s  e.  E  y  =  <. ( s `  G
) ,  s >.  /\  E. g  e.  T  ( z  =  <. g ,  O >.  /\  ( R `  g )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) )  -> 
( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y  ./\  W
) ) ) )
6344, 62sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( J `  N
)  /\  z  e.  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) )  ->  ( <. f ,  O >.  =  ( y  .+  z )  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) )
6463rexlimdvv 2920 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( E. y  e.  ( J `  N
) E. z  e.  ( I `  ( Y  ./\  W ) )
<. f ,  O >.  =  ( y  .+  z
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )
6525, 64mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) )
6665exp32 608 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  (
f  e.  T  -> 
( ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
6766ralrimiv 2834 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) )
68 simp11 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6930, 32syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
70 simp2l 1031 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  X  e.  B )
7134, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  W  e.  B )
727, 10latmcl 16297 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
747, 8, 10latmle2 16322 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  W )
7569, 70, 71, 74syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  W )
76 simp2r 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
7769, 76, 71, 38syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( Y  ./\  W )  e.  B )
7869, 76, 71, 40syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( Y  ./\  W )  .<_  W )
797, 8, 11, 12, 17, 18trlord 34105 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  W )  e.  B  /\  ( X 
./\  W )  .<_  W )  /\  (
( Y  ./\  W
)  e.  B  /\  ( Y  ./\  W ) 
.<_  W ) )  -> 
( ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W )  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
)  ->  ( R `  f )  .<_  ( Y 
./\  W ) ) ) )
8068, 73, 75, 77, 78, 79syl122anc 1273 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  (
( X  ./\  W
)  .<_  ( Y  ./\  W )  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( Y  ./\  W ) ) ) )
8167, 80mpbird 235 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  N )  .(+)  ( I `  ( Y  ./\  W ) ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   <.cop 4004   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    _I cid 4763    |` cres 4855   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   +g cplusg 15189   lecple 15196   occoc 15197   joincjn 16188   meetcmee 16189   Latclat 16290   LSSumclsm 17285   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518   LTrncltrn 33635   trLctrl 33693   TEndoctendo 34288   DVecHcdvh 34615   DIsoBcdib 34675   DIsoCcdic 34709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-riotaBAD 32494
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-undef 7031  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-0g 15339  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-subg 16813  df-lsm 17287  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-dvr 17910  df-drng 17976  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lvec 18325  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-llines 33032  df-lplanes 33033  df-lvols 33034  df-lines 33035  df-psubsp 33037  df-pmap 33038  df-padd 33330  df-lhyp 33522  df-laut 33523  df-ldil 33638  df-ltrn 33639  df-trl 33694  df-tendo 34291  df-edring 34293  df-disoa 34566  df-dvech 34616  df-dib 34676  df-dic 34710
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