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Theorem dihord 34914
Description: The isomorphism H is order-preserving. Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 6. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihord  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )

Proof of Theorem dihord
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
3 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
4 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
5 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  .<_  W )
6 dihord.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 dihord.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 dihord.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 dihord.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9dihord3 34907 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  <->  X 
.<_  Y ) )
111, 2, 3, 4, 5, 10syl122anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  <->  X 
.<_  Y ) )
12 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B
)
14 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
15 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B
)
16 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
176, 7, 8, 9dihord5a 34913 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
186, 7, 8, 9dihord5b 34909 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
1917, 18impbida 828 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
2012, 13, 14, 15, 16, 19syl122anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
21 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B
)
23 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  X  .<_  W )
24 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B
)
25 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  .<_  W )
266, 7, 8, 9dihord6a 34911 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
276, 7, 8, 9dihord6b 34910 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )
2826, 27impbida 828 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
2921, 22, 23, 24, 25, 28syl122anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
30 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
32 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  -.  X  .<_  W )
33 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
34 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
356, 7, 8, 9dihord4 34908 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
3630, 31, 32, 33, 34, 35syl122anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
3711, 20, 29, 364casesdan 941 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   Basecbs 14179   lecple 14250   HLchlt 33000   LHypclh 33633   DIsoHcdih 34878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-riotaBAD 32609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-undef 6797  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-0g 14385  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-p1 15215  df-lat 15221  df-clat 15283  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-lsm 16140  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lvec 17189  df-oposet 32826  df-ol 32828  df-oml 32829  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001  df-llines 33147  df-lplanes 33148  df-lvols 33149  df-lines 33150  df-psubsp 33152  df-pmap 33153  df-padd 33445  df-lhyp 33637  df-laut 33638  df-ldil 33753  df-ltrn 33754  df-trl 33808  df-tendo 34404  df-edring 34406  df-disoa 34679  df-dvech 34729  df-dib 34789  df-dic 34823  df-dih 34879
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