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Theorem dihord 36079
Description: The isomorphism H is order-preserving. Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 6. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihord  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )

Proof of Theorem dihord
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
3 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
4 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
5 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  .<_  W )
6 dihord.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 dihord.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 dihord.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 dihord.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9dihord3 36072 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  <->  X 
.<_  Y ) )
111, 2, 3, 4, 5, 10syl122anc 1237 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  <->  X 
.<_  Y ) )
12 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B
)
14 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
15 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B
)
16 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
176, 7, 8, 9dihord5a 36078 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
186, 7, 8, 9dihord5b 36074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
1917, 18impbida 830 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
2012, 13, 14, 15, 16, 19syl122anc 1237 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
21 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B
)
23 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  X  .<_  W )
24 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B
)
25 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  .<_  W )
266, 7, 8, 9dihord6a 36076 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
276, 7, 8, 9dihord6b 36075 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )
2826, 27impbida 830 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
2921, 22, 23, 24, 25, 28syl122anc 1237 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
30 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
32 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  -.  X  .<_  W )
33 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
34 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
356, 7, 8, 9dihord4 36073 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
3630, 31, 32, 33, 34, 35syl122anc 1237 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( -.  X  .<_  W  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
3711, 20, 29, 364casesdan 948 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   Basecbs 14490   lecple 14562   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DIsoHcdih 36043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044
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