Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopelvalcqat Structured version   Unicode version

Theorem dihopelvalcqat 35254
Description: Ordered pair member of the partial isomorphism H for atom argument not under  W. TODO: remove .t hypothesis. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihelval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihelval2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihelval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihelval2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihelval2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihelval2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihelval2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihelval2.g  |-  G  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  Q )
dihelval2.f  |-  F  e. 
_V
dihelval2.s  |-  S  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dihopelvalcqat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( I `  Q )  <->  ( F  =  ( S `  G )  /\  S  e.  E ) ) )
Distinct variable groups:    g, K    Q, g    T, g    g, W
Allowed substitution hints:    A( g)    P( g)    S( g)    E( g)    F( g)    G( g)    H( g)    I( g)    .<_ ( g)

Proof of Theorem dihopelvalcqat
StepHypRef Expression
1 dihelval2.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 dihelval2.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 dihelval2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
5 dihelval2.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5dihvalcqat 35247 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  =  ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  Q
) )
76eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( I `  Q )  <->  <. F ,  S >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  Q
) ) )
8 dihelval2.p . . 3  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
9 dihelval2.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 dihelval2.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
11 dihelval2.g . . 3  |-  G  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  Q )
12 dihelval2.f . . 3  |-  F  e. 
_V
13 dihelval2.s . . 3  |-  S  e. 
_V
141, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13dicopelval2 35189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  Q
)  <->  ( F  =  ( S `  G
)  /\  S  e.  E ) ) )
157, 14bitrd 253 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( I `  Q )  <->  ( F  =  ( S `  G )  /\  S  e.  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   iota_crio 6163   lecple 14368   occoc 14369   Atomscatm 33271   HLchlt 33358   LHypclh 33991   LTrncltrn 34108   TEndoctendo 34759   DIsoCcdic 35180   DIsoHcdih 35236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237
This theorem is referenced by:  dihmeetlem4preN  35314  dihmeetlem13N  35327  dihjatcclem4  35429
  Copyright terms: Public domain W3C validator