Theorem dihopellsm 34823

Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihopellsm.b	|- B = ( Base ` K )
dihopellsm.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihopellsm.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihopellsm.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihopellsm.a	|- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
dihopellsm.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihopellsm.l	|- L = ( LSubSp ` U )
dihopellsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihopellsm.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihopellsm.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihopellsm.x	|- ( ph -> X e. B )
dihopellsm.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dihopellsm	|- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, E   g, h, t, u, F   g, i, H, t   g, I, h, t, u   v, g, w, K, i, t   S, g, h, t, u   U, g, h, t, u   g, W, i, t, v, w   g, X, h, t, u   g, Y, h, t, u   ph, g, h, t, u

Allowed substitution hints:   ph( w, v, i)   A( w, v, u, t, g, h, i)   B( w, v, u, t, g, h, i)   .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)   S( w, v, i)   T( w, v, u, t, g, h, i)   U( w, v, i)   E( u, t, g, h, i)   F( w, v, i)   H( w, v, u, h)   I( w, v, i)   K( u, h)   L( w, v, u, t, g, h, i)   W( u, h)   X( w, v, i)   Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihopellsm.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihopellsm.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		dihopellsm.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
4		dihopellsm.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5		dihopellsm.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6		dihopellsm.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2451	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
8	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 34818	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
9	1, 2, 8	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
10		dihopellsm.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
11	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 34818	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
12	1, 10, 11	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
13		eqid 2451	. . . 4 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
14		dihopellsm.p	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
15	4, 6, 13, 7, 14	dvhopellsm 34685	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
16	1, 9, 12, 15	syl3anc 1268	. 2 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
17		dihopellsm.t	. . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
18		dihopellsm.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
19	1	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20	2	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> X e. B )
21		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> <. g , t >. e. ( I ` X ) )
22	3, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21	dihopcl 34821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
23	1	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	10	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> Y e. B )
25		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> <. h , u >. e. ( I ` Y ) )
26	3, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25	dihopcl 34821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
27	22, 26	anim12dan 848	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) )
28	1	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
30		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
31		dihopellsm.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
32	4, 17, 18, 31, 6, 13	dvhopvadd2 34662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
34	33	eqeq2d 2461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. ) )
35		vex 3048	. . . . . . . 8 |- g e. _V
36		vex 3048	. . . . . . . 8 |- h e. _V
37	35, 36	coex 6745	. . . . . . 7 |- ( g o. h ) e. _V
38		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( t A u ) e. _V
39	37, 38	opth2 4680	. . . . . 6 |- ( <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) )
40	34, 39	syl6bb 265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
41	27, 40	syldan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
42	41	pm5.32da 647	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
43	42	4exbidv 1772	. 2 |- ( ph -> ( E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
44	16, 43	bitrd 257	1 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   <.cop 3974   |-> cmpt 4461   o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   LSSumclsm 17286   LSubSpclss 18155   HLchlt 32916   LHypclh 33549   LTrncltrn 33666   TEndoctendo 34319   DVecHcdvh 34646   DIsoHcdih 34796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797

This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  34989