Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Unicode version

Theorem dihopellsm 34900
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihopellsm.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihopellsm.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihopellsm.a  |-  A  =  ( v  e.  E ,  w  e.  E  |->  ( i  e.  T  |->  ( ( v `  i )  o.  (
w `  i )
) ) )
dihopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihopellsm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  U )
dihopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihopellsm.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihopellsm.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihopellsm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
dihopellsm.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dihopellsm  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, E    g, h, t, u, F    g, i, H, t    g, I, h, t, u    v, g, w, K, i, t    S, g, h, t, u    U, g, h, t, u   
g, W, i, t, v, w    g, X, h, t, u    g, Y, h, t, u    ph, g, h, t, u
Allowed substitution hints:    ph( w, v, i)    A( w, v, u, t, g, h, i)    B( w, v, u, t, g, h, i)    .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)    S( w, v, i)    T( w, v, u, t, g, h, i)    U( w, v, i)    E( u, t, g, h, i)    F( w, v, i)    H( w, v, u, h)    I( w, v, i)    K( u, h)    L( w, v, u, t, g, h, i)    W( u, h)    X( w, v, i)    Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihopellsm.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 dihopellsm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dihopellsm.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dihopellsm.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dihopellsm.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
83, 4, 5, 6, 7dihlss 34895 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U ) )
91, 2, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
10 dihopellsm.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
113, 4, 5, 6, 7dihlss 34895 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
121, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
14 dihopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 34762 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
161, 9, 12, 15syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
17 dihopellsm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
18 dihopellsm.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
191adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
202adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  X  e.  B )
21 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 34898 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( g  e.  T  /\  t  e.  E ) )
231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2410adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  Y  e.  B )
25 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 34898 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( h  e.  T  /\  u  e.  E ) )
2722, 26anim12dan 833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
) )
281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( g  e.  T  /\  t  e.  E
) )
30 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( h  e.  T  /\  u  e.  E
) )
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( v  e.  E ,  w  e.  E  |->  ( i  e.  T  |->  ( ( v `  i )  o.  (
w `  i )
) ) )
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 34739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
)  ->  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  =  <. ( g  o.  h ) ,  ( t A u )
>. )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. g ,  t
>. ( +g  `  U
) <. h ,  u >. )  =  <. (
g  o.  h ) ,  ( t A u ) >. )
3433eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <->  <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.
) )
35 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
36 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
3735, 36coex 6529 . . . . . . 7  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
38 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( t A u )  e. 
_V
3937, 38opth2 4570 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.  <->  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) )
4034, 39syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4127, 40syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4241pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
43424exbidv 1684 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
4416, 43bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   <.cop 3883    e. cmpt 4350    o. ccom 4844   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   LSSumclsm 16133   LSubSpclss 17013   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LTrncltrn 33745   TEndoctendo 34396   DVecHcdvh 34723   DIsoHcdih 34873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  35066
  Copyright terms: Public domain W3C validator