Theorem dihopellsm 34256

Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihopellsm.b	|- B = ( Base ` K )
dihopellsm.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihopellsm.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihopellsm.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihopellsm.a	|- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
dihopellsm.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihopellsm.l	|- L = ( LSubSp ` U )
dihopellsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihopellsm.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihopellsm.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihopellsm.x	|- ( ph -> X e. B )
dihopellsm.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dihopellsm	|- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, E   g, h, t, u, F   g, i, H, t   g, I, h, t, u   v, g, w, K, i, t   S, g, h, t, u   U, g, h, t, u   g, W, i, t, v, w   g, X, h, t, u   g, Y, h, t, u   ph, g, h, t, u

Allowed substitution hints:   ph( w, v, i)   A( w, v, u, t, g, h, i)   B( w, v, u, t, g, h, i)   .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)   S( w, v, i)   T( w, v, u, t, g, h, i)   U( w, v, i)   E( u, t, g, h, i)   F( w, v, i)   H( w, v, u, h)   I( w, v, i)   K( u, h)   L( w, v, u, t, g, h, i)   W( u, h)   X( w, v, i)   Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihopellsm.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihopellsm.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		dihopellsm.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
4		dihopellsm.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5		dihopellsm.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6		dihopellsm.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2402	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
8	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 34251	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
9	1, 2, 8	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
10		dihopellsm.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
11	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 34251	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
12	1, 10, 11	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
13		eqid 2402	. . . 4 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
14		dihopellsm.p	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
15	4, 6, 13, 7, 14	dvhopellsm 34118	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
16	1, 9, 12, 15	syl3anc 1230	. 2 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
17		dihopellsm.t	. . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
18		dihopellsm.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
19	1	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20	2	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> X e. B )
21		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> <. g , t >. e. ( I ` X ) )
22	3, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21	dihopcl 34254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
23	1	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	10	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> Y e. B )
25		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> <. h , u >. e. ( I ` Y ) )
26	3, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25	dihopcl 34254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
27	22, 26	anim12dan 838	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) )
28	1	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
30		simprr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
31		dihopellsm.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
32	4, 17, 18, 31, 6, 13	dvhopvadd2 34095	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
34	33	eqeq2d 2416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. ) )
35		vex 3061	. . . . . . . 8 |- g e. _V
36		vex 3061	. . . . . . . 8 |- h e. _V
37	35, 36	coex 6690	. . . . . . 7 |- ( g o. h ) e. _V
38		ovex 6262	. . . . . . 7 |- ( t A u ) e. _V
39	37, 38	opth2 4668	. . . . . 6 |- ( <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) )
40	34, 39	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
41	27, 40	syldan 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
42	41	pm5.32da 639	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
43	42	4exbidv 1739	. 2 |- ( ph -> ( E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
44	16, 43	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   <.cop 3977   |-> cmpt 4452   o. ccom 4946   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   |-> cmpt2 6236   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   LSSumclsm 16870   LSubSpclss 17790   HLchlt 32349   LHypclh 32982   LTrncltrn 33099   TEndoctendo 33752   DVecHcdvh 34079   DIsoHcdih 34229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-riotaBAD 31958

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-undef 6959  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-0g 14948  df-preset 15773  df-poset 15791  df-plt 15804  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-p0 15885  df-p1 15886  df-lat 15892  df-clat 15954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-cntz 16571  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-drng 17610  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lvec 17961  df-oposet 32175  df-ol 32177  df-oml 32178  df-covers 32265  df-ats 32266  df-atl 32297  df-cvlat 32321  df-hlat 32350  df-llines 32496  df-lplanes 32497  df-lvols 32498  df-lines 32499  df-psubsp 32501  df-pmap 32502  df-padd 32794  df-lhyp 32986  df-laut 32987  df-ldil 33102  df-ltrn 33103  df-trl 33158  df-tendo 33755  df-edring 33757  df-disoa 34030  df-dvech 34080  df-dib 34140  df-dic 34174  df-dih 34230

This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  34422