Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dihopellsm 34823
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihopellsm.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihopellsm.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihopellsm.a  |-  A  =  ( v  e.  E ,  w  e.  E  |->  ( i  e.  T  |->  ( ( v `  i )  o.  (
w `  i )
) ) )
dihopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihopellsm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  U )
dihopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihopellsm.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihopellsm.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihopellsm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
dihopellsm.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dihopellsm  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, E    g, h, t, u, F    g, i, H, t    g, I, h, t, u    v, g, w, K, i, t    S, g, h, t, u    U, g, h, t, u   
g, W, i, t, v, w    g, X, h, t, u    g, Y, h, t, u    ph, g, h, t, u
Allowed substitution hints:    ph( w, v, i)    A( w, v, u, t, g, h, i)    B( w, v, u, t, g, h, i)    .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)    S( w, v, i)    T( w, v, u, t, g, h, i)    U( w, v, i)    E( u, t, g, h, i)    F( w, v, i)    H( w, v, u, h)    I( w, v, i)    K( u, h)    L( w, v, u, t, g, h, i)    W( u, h)    X( w, v, i)    Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihopellsm.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 dihopellsm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dihopellsm.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dihopellsm.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dihopellsm.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
83, 4, 5, 6, 7dihlss 34818 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U ) )
91, 2, 8syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
10 dihopellsm.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
113, 4, 5, 6, 7dihlss 34818 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
121, 10, 11syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
14 dihopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 34685 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
161, 9, 12, 15syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
17 dihopellsm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
18 dihopellsm.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
191adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
202adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  X  e.  B )
21 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 34821 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( g  e.  T  /\  t  e.  E ) )
231adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2410adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  Y  e.  B )
25 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 34821 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( h  e.  T  /\  u  e.  E ) )
2722, 26anim12dan 848 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
) )
281adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( g  e.  T  /\  t  e.  E
) )
30 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( h  e.  T  /\  u  e.  E
) )
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( v  e.  E ,  w  e.  E  |->  ( i  e.  T  |->  ( ( v `  i )  o.  (
w `  i )
) ) )
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 34662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
)  ->  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  =  <. ( g  o.  h ) ,  ( t A u )
>. )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. g ,  t
>. ( +g  `  U
) <. h ,  u >. )  =  <. (
g  o.  h ) ,  ( t A u ) >. )
3433eqeq2d 2461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <->  <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.
) )
35 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
36 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
3735, 36coex 6745 . . . . . . 7  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
38 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( t A u )  e. 
_V
3937, 38opth2 4680 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.  <->  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) )
4034, 39syl6bb 265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4127, 40syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4241pm5.32da 647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
43424exbidv 1772 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
4416, 43bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   <.cop 3974    |-> cmpt 4461    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   LSSumclsm 17286   LSubSpclss 18155   HLchlt 32916   LHypclh 33549   LTrncltrn 33666   TEndoctendo 34319   DVecHcdvh 34646   DIsoHcdih 34796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  34989
  Copyright terms: Public domain W3C validator