Theorem dihopellsm 36052

Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihopellsm.b	|- B = ( Base ` K )
dihopellsm.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihopellsm.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihopellsm.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihopellsm.a	|- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
dihopellsm.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihopellsm.l	|- L = ( LSubSp ` U )
dihopellsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihopellsm.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihopellsm.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihopellsm.x	|- ( ph -> X e. B )
dihopellsm.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dihopellsm	|- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, E   g, h, t, u, F   g, i, H, t   g, I, h, t, u   v, g, w, K, i, t   S, g, h, t, u   U, g, h, t, u   g, W, i, t, v, w   g, X, h, t, u   g, Y, h, t, u   ph, g, h, t, u

Allowed substitution hints:   ph( w, v, i)   A( w, v, u, t, g, h, i)   B( w, v, u, t, g, h, i)   .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)   S( w, v, i)   T( w, v, u, t, g, h, i)   U( w, v, i)   E( u, t, g, h, i)   F( w, v, i)   H( w, v, u, h)   I( w, v, i)   K( u, h)   L( w, v, u, t, g, h, i)   W( u, h)   X( w, v, i)   Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihopellsm.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihopellsm.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		dihopellsm.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
4		dihopellsm.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5		dihopellsm.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6		dihopellsm.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2467	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
8	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 36047	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
9	1, 2, 8	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
10		dihopellsm.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
11	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 36047	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
12	1, 10, 11	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
13		eqid 2467	. . . 4 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
14		dihopellsm.p	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
15	4, 6, 13, 7, 14	dvhopellsm 35914	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
16	1, 9, 12, 15	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
17		dihopellsm.t	. . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
18		dihopellsm.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
19	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> X e. B )
21		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> <. g , t >. e. ( I ` X ) )
22	3, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21	dihopcl 36050	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
23	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> Y e. B )
25		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> <. h , u >. e. ( I ` Y ) )
26	3, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25	dihopcl 36050	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
27	22, 26	anim12dan 835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) )
28	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
30		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
31		dihopellsm.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
32	4, 17, 18, 31, 6, 13	dvhopvadd2 35891	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
34	33	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. ) )
35		vex 3116	. . . . . . . 8 |- g e. _V
36		vex 3116	. . . . . . . 8 |- h e. _V
37	35, 36	coex 6733	. . . . . . 7 |- ( g o. h ) e. _V
38		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( t A u ) e. _V
39	37, 38	opth2 4725	. . . . . 6 |- ( <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) )
40	34, 39	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
41	27, 40	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
42	41	pm5.32da 641	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
43	42	4exbidv 1694	. 2 |- ( ph -> ( E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
44	16, 43	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   <.cop 4033   |-> cmpt 4505   o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   LSSumclsm 16447   LSubSpclss 17358   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   TEndoctendo 35548   DVecHcdvh 35875   DIsoHcdih 36025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026

This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  36218