Theorem dihopellsm 34900

Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihopellsm.b	|- B = ( Base ` K )
dihopellsm.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihopellsm.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihopellsm.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihopellsm.a	|- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
dihopellsm.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihopellsm.l	|- L = ( LSubSp ` U )
dihopellsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihopellsm.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihopellsm.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihopellsm.x	|- ( ph -> X e. B )
dihopellsm.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dihopellsm	|- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, E   g, h, t, u, F   g, i, H, t   g, I, h, t, u   v, g, w, K, i, t   S, g, h, t, u   U, g, h, t, u   g, W, i, t, v, w   g, X, h, t, u   g, Y, h, t, u   ph, g, h, t, u

Allowed substitution hints:   ph( w, v, i)   A( w, v, u, t, g, h, i)   B( w, v, u, t, g, h, i)   .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)   S( w, v, i)   T( w, v, u, t, g, h, i)   U( w, v, i)   E( u, t, g, h, i)   F( w, v, i)   H( w, v, u, h)   I( w, v, i)   K( u, h)   L( w, v, u, t, g, h, i)   W( u, h)   X( w, v, i)   Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihopellsm.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihopellsm.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		dihopellsm.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
4		dihopellsm.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5		dihopellsm.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6		dihopellsm.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		eqid 2443	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
8	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 34895	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
9	1, 2, 8	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
10		dihopellsm.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
11	3, 4, 5, 6, 7	dihlss 34895	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
12	1, 10, 11	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
13		eqid 2443	. . . 4 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
14		dihopellsm.p	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
15	4, 6, 13, 7, 14	dvhopellsm 34762	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
16	1, 9, 12, 15	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) ) )
17		dihopellsm.t	. . . . . . 7 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
18		dihopellsm.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
19	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> X e. B )
21		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> <. g , t >. e. ( I ` X ) )
22	3, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21	dihopcl 34898	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. g , t >. e. ( I ` X ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
23	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
24	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> Y e. B )
25		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> <. h , u >. e. ( I ` Y ) )
26	3, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25	dihopcl 34898	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
27	22, 26	anim12dan 833	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) )
28	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( g e. T /\ t e. E ) )
30		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( h e. T /\ u e. E ) )
31		dihopellsm.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( v e. E , w e. E |-> ( i e. T |-> ( ( v ` i ) o. ( w ` i ) ) ) )
32	4, 17, 18, 31, 6, 13	dvhopvadd2 34739	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. )
34	33	eqeq2d 2454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. ) )
35		vex 2975	. . . . . . . 8 |- g e. _V
36		vex 2975	. . . . . . . 8 |- h e. _V
37	35, 36	coex 6529	. . . . . . 7 |- ( g o. h ) e. _V
38		ovex 6116	. . . . . . 7 |- ( t A u ) e. _V
39	37, 38	opth2 4570	. . . . . 6 |- ( <. F , S >. = <. ( g o. h ) , ( t A u ) >. <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) )
40	34, 39	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( g e. T /\ t e. E ) /\ ( h e. T /\ u e. E ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
41	27, 40	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) ) -> ( <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) <-> ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) )
42	41	pm5.32da 641	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
43	42	4exbidv 1684	. 2 |- ( ph -> ( E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ <. F , S >. = ( <. g , t >. ( +g ` U ) <. h , u >. ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )
44	16, 43	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( <. F , S >. e. ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` X ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Y ) ) /\ ( F = ( g o. h ) /\ S = ( t A u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   <.cop 3883   e. cmpt 4350   o. ccom 4844   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   e. cmpt2 6093   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   LSSumclsm 16133   LSubSpclss 17013   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LTrncltrn 33745   TEndoctendo 34396   DVecHcdvh 34723   DIsoHcdih 34873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874

This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  35066