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Theorem dihmeetlem3N 34785
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem3N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )

Proof of Theorem dihmeetlem3N
StepHypRef Expression
1 simp2lr 1073 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2 oveq1 6256 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  ( R  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
3 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
42, 3sylan9eqr 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
5 dihmeetlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 dihmeetlem3.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 simp11l 1116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  HL )
8 hllat 32841 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
97, 8syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 simp2ll 1072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  A )
11 dihmeetlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
125, 11atbase 32767 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  B )
14 simp12l 1118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  e.  B )
15 simp12r 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Y  e.  B )
16 dihmeetlem3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
175, 16latmcl 16241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
189, 14, 15, 17syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
19 simp11r 1117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  H )
20 dihmeetlem3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
215, 20lhpbase 33475 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  B )
235, 16latmcl 16241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
249, 14, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
25 dihmeetlem3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
265, 6, 25latlej1 16249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
279, 13, 24, 26syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
28 simp2r 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  X )
2927, 28breqtrd 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  X )
305, 16latmcl 16241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
319, 15, 22, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
325, 6, 25latlej1 16249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
339, 13, 31, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
34 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
3533, 34breqtrd 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  Y )
365, 6, 16latlem12 16267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
379, 13, 14, 15, 36syl13anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( ( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3829, 35, 37mpbi2and 929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
)
39 simp13 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
405, 6, 9, 13, 18, 22, 38, 39lattrd 16247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  W )
41403exp 1204 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  Q  .<_  W ) ) )
424, 41syl7 70 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  Q  .<_  W ) ) )
4342exp4a 609 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) ) ) )
44433imp 1199 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) )
4544necon3bd 2615 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( -.  Q  .<_  W  ->  Q  =/=  R ) )
461, 45mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   lecple 15140   joincjn 16132   meetcmee 16133   Latclat 16234   Atomscatm 32741   HLchlt 32828   LHypclh 33461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-poset 16134  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-lat 16235  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-lhyp 33465
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