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Theorem dihmeetlem3N 35289
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem3N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )

Proof of Theorem dihmeetlem3N
StepHypRef Expression
1 simp2lr 1056 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2 oveq1 6208 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  ( R  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
3 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
42, 3sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
5 dihmeetlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 dihmeetlem3.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 simp11l 1099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  HL )
8 hllat 33347 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 simp2ll 1055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  A )
11 dihmeetlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
125, 11atbase 33273 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1310, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  B )
14 simp12l 1101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  e.  B )
15 simp12r 1102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Y  e.  B )
16 dihmeetlem3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
175, 16latmcl 15342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
189, 14, 15, 17syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
19 simp11r 1100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  H )
20 dihmeetlem3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
215, 20lhpbase 33981 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  B )
235, 16latmcl 15342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
249, 14, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
25 dihmeetlem3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
265, 6, 25latlej1 15350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
279, 13, 24, 26syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
28 simp2r 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  X )
2927, 28breqtrd 4425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  X )
305, 16latmcl 15342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
319, 15, 22, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
325, 6, 25latlej1 15350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
339, 13, 31, 32syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
34 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
3533, 34breqtrd 4425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  Y )
365, 6, 16latlem12 15368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
379, 13, 14, 15, 36syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( ( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3829, 35, 37mpbi2and 912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
)
39 simp13 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
405, 6, 9, 13, 18, 22, 38, 39lattrd 15348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  W )
41403exp 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  Q  .<_  W ) ) )
424, 41syl7 68 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  Q  .<_  W ) ) )
4342exp4a 606 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) ) ) )
44433imp 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) )
4544necon3bd 2664 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( -.  Q  .<_  W  ->  Q  =/=  R ) )
461, 45mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   lecple 14365   joincjn 15234   meetcmee 15235   Latclat 15335   Atomscatm 33247   HLchlt 33334   LHypclh 33967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-poset 15236  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-lat 15336  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-lhyp 33971
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