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Theorem dihmeetlem3N 37429
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem3N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )

Proof of Theorem dihmeetlem3N
StepHypRef Expression
1 simp2lr 1062 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  ( R  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
3 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
42, 3sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
5 dihmeetlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 dihmeetlem3.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 simp11l 1105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  HL )
8 hllat 35485 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 simp2ll 1061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  A )
11 dihmeetlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
125, 11atbase 35411 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1310, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  B )
14 simp12l 1107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  e.  B )
15 simp12r 1108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Y  e.  B )
16 dihmeetlem3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
175, 16latmcl 15881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
189, 14, 15, 17syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
19 simp11r 1106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  H )
20 dihmeetlem3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
215, 20lhpbase 36119 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  B )
235, 16latmcl 15881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
249, 14, 22, 23syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
25 dihmeetlem3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
265, 6, 25latlej1 15889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
279, 13, 24, 26syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
28 simp2r 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  X )
2927, 28breqtrd 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  X )
305, 16latmcl 15881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
319, 15, 22, 30syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
325, 6, 25latlej1 15889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
339, 13, 31, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
34 simp3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
3533, 34breqtrd 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  Y )
365, 6, 16latlem12 15907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
379, 13, 14, 15, 36syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( ( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3829, 35, 37mpbi2and 919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
)
39 simp13 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
405, 6, 9, 13, 18, 22, 38, 39lattrd 15887 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  W )
41403exp 1193 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  Q  .<_  W ) ) )
424, 41syl7 68 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  Q  .<_  W ) ) )
4342exp4a 604 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) ) ) )
44433imp 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) )
4544necon3bd 2666 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( -.  Q  .<_  W  ->  Q  =/=  R ) )
461, 45mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   joincjn 15772   meetcmee 15773   Latclat 15874   Atomscatm 35385   HLchlt 35472   LHypclh 36105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-poset 15774  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-lat 15875  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-lhyp 36109
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