Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Unicode version

Theorem dihmeetlem2N 31782
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetlem2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihmeetlem2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihmeetlem2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihmeetlem2.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihmeetlem2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihmeetlem2.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
dihmeetlem2.o  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
3 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
4 dihmeetlem2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
6 dihmeetlem2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
74, 5, 6meetval 14407 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
81, 2, 3, 7syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
98fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) ) )
10 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
144, 11, 12, 13dibeldmN 31641 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( X  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  <->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
1514biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
16153adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) )
174, 11, 12, 13dibeldmN 31641 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  <->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
1817biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
19183adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) )
20 prssg 3913 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  e. 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
)  /\  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
)  <->  { X ,  Y }  C_  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) ) )
212, 3, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( X  e. 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
)  /\  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
)  <->  { X ,  Y }  C_  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) ) )
2216, 19, 21mpbi2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  { X ,  Y }  C_ 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
23 prnzg 3884 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
242, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
255, 12, 13dibglbN 31649 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { X ,  Y }  C_  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  /\  { X ,  Y }  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
2610, 22, 24, 25syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
279, 26eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  = 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
28 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
291, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
304, 6latmcl 14435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
3129, 2, 3, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  B )
32 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
334, 12lhpbase 30480 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
354, 11, 6latmle1 14460 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
3629, 2, 3, 35syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X )
37 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
384, 11, 29, 31, 2, 34, 36, 37lattrd 14442 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  W )
39 dihmeetlem2.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
404, 11, 12, 39, 13dihvalb 31720 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X  ./\  Y ) ) )
4110, 31, 38, 40syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X  ./\  Y ) ) )
42 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
43 vex 2919 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
4443elpr 3792 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  ( x  =  X  \/  x  =  Y ) )
45 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
46 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  B  <->  X  e.  B ) )
47 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  W  <->  X  .<_  W ) )
4846, 47anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
4948adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
5045, 49mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
51 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
52 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  B  <->  Y  e.  B ) )
53 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .<_  W  <->  Y  .<_  W ) )
5452, 53anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
5554adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
5651, 55mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
5750, 56jaodan 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( x  =  X  \/  x  =  Y ) )  -> 
( x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
5844, 57sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
594, 11, 12, 39, 13dihvalb 31720 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6042, 58, 59syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  (
I `  x )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6160iineq2dv 4075 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  = 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6227, 41, 613eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y } 
( I `  x
) )
63 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  x )  =  ( I `  X ) )
64 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  Y ) )
6563, 64iinxprg 4128 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
662, 3, 65syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
6762, 66eqtrd 2436 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   |^|_ciin 4054   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    _I cid 4453   dom cdm 4837    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   occoc 13492   glbcglb 14355   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640   TEndoctendo 31234   DIsoBcdib 31621   DIsoHcdih 31711
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  31786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-disoa 31512  df-dib 31622  df-dih 31712
  Copyright terms: Public domain W3C validator