Theorem dihmeetcN 37426

Description: Isomorphism H of a lattice meet when the meet is not under the fiducial hyperplane W. (Contributed by NM, 26-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeetc.b	|- B = ( Base ` K )
dihmeetc.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetc.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetc.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetc.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dihmeetcN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem dihmeetcN

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . 4 |- ( glb ` K ) = ( glb ` K )
2		dihmeetc.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
3		simp1l 1018	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> K e. HL )
4		simp2l 1020	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> X e. B )
5		simp2r 1021	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> Y e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 15848	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( X ./\ Y ) = ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) )
7	6	fveq2d 5852	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( I ` ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) ) )
8		simp1 994	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		prssi 4172	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { X , Y } C_ B )
10	9	3ad2ant2 1016	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> { X , Y } C_ B )
11		prnzg 4136	. . . 4 |- ( X e. B -> { X , Y } =/= (/) )
12	4, 11	syl 16	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> { X , Y } =/= (/) )
13		simp3 996	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> -. ( X ./\ Y ) .<_ W )
14	6	breq1d 4449	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ W <-> ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) .<_ W ) )
15	13, 14	mtbid 298	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> -. ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) .<_ W )
16		dihmeetc.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
17		dihmeetc.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
18		dihmeetc.i	. . . 4 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
19		dihmeetc.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
20	16, 1, 17, 18, 19	dihglbcN 37425	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { X , Y } C_ B /\ { X , Y } =/= (/) ) /\ -. ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) .<_ W ) -> ( I ` ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) ) = |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) )
21	8, 10, 12, 15, 20	syl121anc 1231	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) ) = |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) )
22		fveq2 5848	. . . 4 |- ( x = X -> ( I ` x ) = ( I ` X ) )
23		fveq2 5848	. . . 4 |- ( x = Y -> ( I ` x ) = ( I ` Y ) )
24	22, 23	iinxprg 4396	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
25	24	3ad2ant2 1016	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
26	7, 21, 25	3eqtrd 2499	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {cpr 4018   |^|_ciin 4316   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   glbcglb 15771   meetcmee 15773   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DIsoHcdih 37352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353

This theorem is referenced by:  dihmeetlem10N  37440  dihmeetALTN  37451