Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetcN Structured version   Unicode version

Theorem dihmeetcN 37426
Description: Isomorphism H of a lattice meet when the meet is not under the fiducial hyperplane  W. (Contributed by NM, 26-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetc.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetc.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihmeetcN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  (
I `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )

Proof of Theorem dihmeetcN
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
2 dihmeetc.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3 simp1l 1018 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  K  e.  HL )
4 simp2l 1020 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  X  e.  B )
5 simp2r 1021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  Y  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5meetval 15848 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( ( glb `  K
) `  { X ,  Y } ) )
76fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  (
I `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( I `  (
( glb `  K
) `  { X ,  Y } ) ) )
8 simp1 994 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 prssi 4172 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  C_  B )
1093ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  { X ,  Y }  C_  B
)
11 prnzg 4136 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
124, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
13 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )
146breq1d 4449 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .<_  W  <->  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
)  .<_  W ) )
1513, 14mtbid 298 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  -.  ( ( glb `  K
) `  { X ,  Y } )  .<_  W )
16 dihmeetc.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 dihmeetc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 dihmeetc.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
19 dihmeetc.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2016, 1, 17, 18, 19dihglbcN 37425 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { X ,  Y }  C_  B  /\  { X ,  Y }  =/=  (/) )  /\  -.  ( ( glb `  K
) `  { X ,  Y } )  .<_  W )  ->  (
I `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `  x ) )
218, 10, 12, 15, 20syl121anc 1231 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  (
I `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `  x ) )
22 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  x )  =  ( I `  X ) )
23 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  Y ) )
2422, 23iinxprg 4396 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
25243ad2ant2 1016 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `  x )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )
267, 21, 253eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W )  ->  (
I `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {cpr 4018   |^|_ciin 4316   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   glbcglb 15771   meetcmee 15773   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DIsoHcdih 37352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353
This theorem is referenced by:  dihmeetlem10N  37440  dihmeetALTN  37451
  Copyright terms: Public domain W3C validator