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Theorem dihmeetALTN 34648
Description: Isomorphism H of a lattice meet. This version does not depend on the atomisticity of the constructed vector space. TODO: Delete? (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetALT.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetALT.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetALT.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetALT.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihmeetALTN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem dihmeetALTN
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1056 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 32682 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl2 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  ->  X  e.  B )
5 simpl3 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  ->  Y  e.  B )
6 dihmeetALT.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 dihmeetALT.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
86, 7latmcom 16273 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )
93, 4, 5, 8syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )
109fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( I `  ( Y  ./\  X ) ) )
11 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  ->  X ( le `  K ) W )
13 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
14 dihmeetALT.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 dihmeetALT.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
166, 13, 7, 14, 15dihmeetbN 34624 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B  /\  ( X  e.  B  /\  X ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  ( Y  ./\  X
) )  =  ( ( I `  Y
)  i^i  ( I `  X ) ) )
1711, 5, 4, 12, 16syl112anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  -> 
( I `  ( Y  ./\  X ) )  =  ( ( I `
 Y )  i^i  ( I `  X
) ) )
18 incom 3652 . . . 4  |-  ( ( I `  Y )  i^i  ( I `  X ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
)
1917, 18syl6eq 2477 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  -> 
( I `  ( Y  ./\  X ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )
2010, 19eqtrd 2461 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X
( le `  K
) W )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )
21 simpll1 1044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  Y ( le
`  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpll2 1045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  Y ( le
`  K ) W )  ->  X  e.  B )
23 simpll3 1046 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  Y ( le
`  K ) W )  ->  Y  e.  B )
24 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  Y ( le
`  K ) W )  ->  Y ( le `  K ) W )
256, 13, 7, 14, 15dihmeetbN 34624 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  ( Y  e.  B  /\  Y ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )
2621, 22, 23, 24, 25syl112anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  Y ( le
`  K ) W )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )
2726adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  -.  X
( le `  K
) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) W )  /\  Y ( le `  K ) W )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
28 simp1l1 1098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simp1l2 1099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  X  e.  B
)
30 simp1r 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  -.  X ( le `  K ) W )
31 simp1l3 1100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  Y  e.  B
)
32 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  -.  Y ( le `  K ) W )
3331, 32jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y
( le `  K
) W ) )
34 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W )
35 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
36 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
37 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
38 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSSum `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
396, 13, 14, 35, 7, 36, 37, 38, 15dihmeetlem20N 34647 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X
( le `  K
) W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y
( le `  K
) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) W ) )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
4028, 29, 30, 33, 34, 39syl122anc 1273 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
41403expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  -.  X
( le `  K
) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) W )  /\  -.  Y ( le `  K ) W )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
4227, 41pm2.61dan 798 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) W )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
43 simpll1 1044 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  -.  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
44 simpll2 1045 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  -.  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) W )  ->  X  e.  B )
45 simpll3 1046 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  -.  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) W )  ->  Y  e.  B )
46 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  -.  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) W )  ->  -.  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) W )
476, 13, 7, 14, 15dihmeetcN 34623 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) W )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1269 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  /\  -.  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) W )  ->  (
I `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
4942, 48pm2.61dan 798 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  X ( le `  K ) W )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
5020, 49pm2.61dan 798 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    i^i cin 3432   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15081   lecple 15157   joincjn 16141   meetcmee 16142   Latclat 16243   LSSumclsm 17227   Atomscatm 32582   HLchlt 32669   LHypclh 33302   DVecHcdvh 34399   DIsoHcdih 34549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-riotaBAD 32278
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-undef 7019  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-0g 15300  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-preset 16125  df-poset 16143  df-plt 16156  df-lub 16172  df-glb 16173  df-join 16174  df-meet 16175  df-p0 16237  df-p1 16238  df-lat 16244  df-clat 16306  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-cntz 16923  df-lsm 17229  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-dvr 17852  df-drng 17918  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lvec 18267  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-atl 32617  df-cvlat 32641  df-hlat 32670  df-llines 32816  df-lplanes 32817  df-lvols 32818  df-lines 32819  df-psubsp 32821  df-pmap 32822  df-padd 33114  df-lhyp 33306  df-laut 33307  df-ldil 33422  df-ltrn 33423  df-trl 33478  df-tendo 34075  df-edring 34077  df-disoa 34350  df-dvech 34400  df-dib 34460  df-dic 34494  df-dih 34550
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