Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeet2 Structured version   Unicode version

Theorem dihmeet2 35300
Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeet2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeet2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeet2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihmeet2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihmeet2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
dihmeet2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dihmeet2  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )

Proof of Theorem dihmeet2
StepHypRef Expression
1 dihmeet2.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihmeet2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
3 dihmeet2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dihmeet2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
53, 4dihcnvid2 35227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  X ) )  =  X )
7 dihmeet2.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
83, 4dihcnvid2 35227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  Y )
)  =  Y )
91, 7, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  Y ) )  =  Y )
106, 9ineq12d 3654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  i^i  ( I `
 ( `' I `  Y ) ) )  =  ( X  i^i  Y ) )
11 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1211, 3, 4dihcnvcl 35225 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
131, 2, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
1411, 3, 4dihcnvcl 35225 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
151, 7, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  Y )  e.  (
Base `  K )
)
16 dihmeet2.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
1711, 16, 3, 4dihmeet 35297 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( I `  ( ( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) ) )  =  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  i^i  ( I `
 ( `' I `  Y ) ) ) )
181, 13, 15, 17syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  (
( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) ) )  =  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  i^i  ( I `
 ( `' I `  Y ) ) ) )
193, 4dihmeetcl 35299 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
ran  I  /\  Y  e.  ran  I ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  ran  I
)
201, 2, 7, 19syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  ran  I
)
213, 4dihcnvid2 35227 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  i^i  Y )  e.  ran  I
)  ->  ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( X  i^i  Y ) )
221, 20, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( X  i^i  Y ) )
2310, 18, 223eqtr4rd 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( I `
 ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) ) )
2411, 3, 4dihcnvcl 35225 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  i^i  Y )  e.  ran  I
)  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  e.  ( Base `  K
) )
251, 20, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )
261simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
27 hllat 33317 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Lat )
2911, 16latmcl 15333 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( `' I `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )
3028, 13, 15, 29syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )
3111, 3, 4dih11 35219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  ( X  i^i  Y
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( I `
 ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )  <-> 
( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) ) )
321, 25, 30, 31syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( I `
 ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )  <-> 
( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) ) )
3323, 32mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3428   `'ccnv 4940   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   meetcmee 15226   Latclat 15326   HLchlt 33304   LHypclh 33937   DIsoHcdih 35182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-riotaBAD 32913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-undef 6895  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-0g 14491  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-p1 15321  df-lat 15327  df-clat 15389  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-lsm 16248  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-drng 16949  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-lvec 17299  df-lsatoms 32930  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305  df-llines 33451  df-lplanes 33452  df-lvols 33453  df-lines 33454  df-psubsp 33456  df-pmap 33457  df-padd 33749  df-lhyp 33941  df-laut 33942  df-ldil 34057  df-ltrn 34058  df-trl 34112  df-tendo 34708  df-edring 34710  df-disoa 34983  df-dvech 35033  df-dib 35093  df-dic 35127  df-dih 35183
This theorem is referenced by:  dihoml4c  35330
  Copyright terms: Public domain W3C validator