Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjust Structured version   Unicode version

Theorem dihjust 34201
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 4, "the definition of phi(x) is independent of the atom q." (Contributed by NM, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihjust.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihjust.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihjust.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihjust.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihjust.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihjust.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dihjust.J  |-  J  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
dihjust.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihjust.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
dihjust  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  =  ( ( J `  R ) 
.(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )

Proof of Theorem dihjust
StepHypRef Expression
1 dihjust.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihjust.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dihjust.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 dihjust.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 dihjust.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 dihjust.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 dihjust.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
8 dihjust.J . . 3  |-  J  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
9 dihjust.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihjust.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dihjustlem 34200 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  R )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
12 simp1 995 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp22 1029 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
14 simp21 1028 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
15 simp23 1030 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  X  e.  B )
16 simp3 997 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
1716eqcomd 2408 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( R  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dihjustlem 34200 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( R  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( ( J `  R )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
1912, 13, 14, 15, 17, 18syl131anc 1241 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( ( J `  R )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  C_  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
2011, 19eqssd 3456 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  X  e.  B
)  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  ( R  .\/  ( X 
./\  W ) ) )  ->  ( ( J `  Q )  .(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  =  ( ( J `  R ) 
.(+)  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    C_ wss 3411   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   lecple 14806   joincjn 15787   meetcmee 15788   LSSumclsm 16868   Atomscatm 32245   HLchlt 32332   LHypclh 32965   DVecHcdvh 34062   DIsoBcdib 34122   DIsoCcdic 34156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-riotaBAD 31941
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-undef 6957  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-0g 14946  df-preset 15771  df-poset 15789  df-plt 15802  df-lub 15818  df-glb 15819  df-join 15820  df-meet 15821  df-p0 15883  df-p1 15884  df-lat 15890  df-clat 15952  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-lsm 16870  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-drng 17608  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lsp 17828  df-lvec 17959  df-oposet 32158  df-ol 32160  df-oml 32161  df-covers 32248  df-ats 32249  df-atl 32280  df-cvlat 32304  df-hlat 32333  df-llines 32479  df-lplanes 32480  df-lvols 32481  df-lines 32482  df-psubsp 32484  df-pmap 32485  df-padd 32777  df-lhyp 32969  df-laut 32970  df-ldil 33085  df-ltrn 33086  df-trl 33141  df-tendo 33738  df-edring 33740  df-disoa 34013  df-dvech 34063  df-dib 34123  df-dic 34157
This theorem is referenced by:  dihlsscpre  34218  dihvalcqpre  34219
  Copyright terms: Public domain W3C validator