Theorem dihjatcclem4 36236

Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatcclem.b	|- B = ( Base ` K )
dihjatcclem.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihjatcclem.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihjatcclem.j	|- .\/ = ( join ` K )
dihjatcclem.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihjatcclem.a	|- A = ( Atoms ` K )
dihjatcclem.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjatcclem.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihjatcclem.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihjatcclem.v	|- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
dihjatcclem.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihjatcclem.p	|- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
dihjatcclem.q	|- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
dihjatcc.w	|- C = ( ( oc ` K ) ` W )
dihjatcc.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihjatcc.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihjatcc.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihjatcc.g	|- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
dihjatcc.dd	|- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
dihjatcc.n	|- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
dihjatcc.o	|- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
dihjatcc.d	|- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dihjatcclem4	|- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , d   A, d   B, d   C, d   a, b, E   H, d   P, d   a, d, K, b   Q, d   T, a, b, d   W, a, b, d

Allowed substitution hints:   ph( a, b, d)   A( a, b)   B( a, b)   C( a, b)   D( a, b, d)   P( a, b)   .(+) ( a, b, d)   Q( a, b)   R( a, b, d)   U( a, b, d)   E( d)   G( a, b, d)   H( a, b)   I( a, b, d)   J( a, b, d)   .\/ ( a, b, d)   .<_ ( a, b)   ./\ ( a, b, d)   N( a, b, d)   V( a, b, d)   .0. ( a, b, d)

Proof of Theorem dihjatcclem4

Dummy variables t f s g h u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjatcclem.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihjatcclem.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihjatcclem.i	. . . 4 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	2, 3	dihvalrel 36094	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` V ) )
5	1, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> Rel ( I ` V ) )
6	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		dihjatcclem.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
8		dihjatcclem.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( Atoms ` K )
9		dihjatcc.w	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( ( oc ` K ) ` W )
10	7, 8, 2, 9	lhpocnel2 34833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
12		dihjatcclem.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
13		dihjatcc.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		dihjatcc.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
15	7, 8, 2, 13, 14	ltrniotacl 35393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. T )
17		dihjatcclem.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
18		dihjatcc.dd	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
19	7, 8, 2, 13, 18	ltrniotacl 35393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> D e. T )
20	1, 11, 17, 19	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. T )
21	2, 13	ltrncnv 34960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ D e. T ) -> `' D e. T )
22	1, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' D e. T )
23	2, 13	ltrnco 35533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' D e. T ) -> ( G o. `' D ) e. T )
24	1, 16, 22, 23	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. `' D ) e. T )
25	24	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( G o. `' D ) e. T )
26		simprll 761	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> f e. T )
27		simprlr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ V )
28		dihjatcclem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
29		dihjatcclem.j	. . . . . . . . . 10 |- .\/ = ( join ` K )
30		dihjatcclem.m	. . . . . . . . . 10 |- ./\ = ( meet ` K )
31		dihjatcclem.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
32		dihjatcclem.s	. . . . . . . . . 10 |- .(+) = ( LSSum ` U )
33		dihjatcclem.v	. . . . . . . . . 10 |- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
34		dihjatcc.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
35		dihjatcc.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
36	28, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18	dihjatcclem3 36235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
37	36	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
38	27, 37	breqtrrd 4473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) )
39	7, 2, 13, 34, 35	tendoex 35789	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G o. `' D ) e. T /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
40	6, 25, 26, 38, 39	syl121anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
41		df-rex 2820	. . . . . 6 |- ( E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f <-> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
42	40, 41	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
43		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` G ) = ( t ` G ) )
44		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> t e. E )
45	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
46	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
47		fvex 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t ` G ) e. _V
48		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
49	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48	dihopelvalcqat 36061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
50	45, 46, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
51	43, 44, 50	mpbir2and 920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) )
52		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
53		dihjatcc.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
54	2, 13, 35, 53	tendoicl 35610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( N ` t ) e. E )
55	45, 44, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( N ` t ) e. E )
56	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
57		fvex 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` t ) ` D ) e. _V
58		fvex 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` t ) e. _V
59	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58	dihopelvalcqat 36061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
60	45, 56, 59	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
61	52, 55, 60	mpbir2and 920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) )
62	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> G e. T )
63	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' D e. T )
64	2, 13, 35	tendospdi1 35835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ G e. T /\ `' D e. T ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
65	45, 44, 62, 63, 64	syl13anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
66		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
67	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> D e. T )
68	53, 13	tendoi2 35609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. E /\ D e. T ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
69	44, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
70	2, 13, 35	tendocnv 35836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ D e. T ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
71	45, 44, 67, 70	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
72	69, 71	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` `' D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
73	72	coeq2d 5165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
74	65, 66, 73	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
75		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = .0. )
76		dihjatcc.d	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )
77		dihjatcc.o	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
78	2, 13, 35, 53, 28, 76, 77	tendoipl2 35612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
79	45, 44, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
80	75, 79	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = ( t J ( N ` t ) ) )
81		opeq1 4213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> <. g , t >. = <. ( t ` G ) , t >. )
82	81	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( <. g , t >. e. ( I ` P ) <-> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) ) )
83	82	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
84		coeq1 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> ( g o. h ) = ( ( t ` G ) o. h ) )
85	84	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( f = ( g o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. h ) ) )
86	85	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
87	83, 86	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
88		opeq1 4213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> <. h , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. )
89	88	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( <. h , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) )
90	89	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
91		coeq2 5161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( t ` G ) o. h ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
92	91	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) ) )
93	92	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
94	90, 93	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
95		opeq2 4214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. )
96	95	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) )
97	96	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) ) )
98		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> ( t J u ) = ( t J ( N ` t ) ) )
99	98	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( s = ( t J u ) <-> s = ( t J ( N ` t ) ) ) )
100	99	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) )
101	97, 100	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
102	87, 94, 101	syl3an9b 1297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = ( t ` G ) /\ h = ( ( N ` t ) ` D ) /\ u = ( N ` t ) ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
103	102	spc3egv 3202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t ` G ) e. _V /\ ( ( N ` t ) ` D ) e. _V /\ ( N ` t ) e. _V ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
104	47, 57, 58, 103	mp3an 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
105	51, 61, 74, 80, 104	syl22anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
106	105	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
107	106	eximdv 1686	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
108		excom 1798	. . . . . 6 |- ( E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
109	107, 108	syl6ib 226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
110	42, 109	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
111	110	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
112	1	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. HL )
113		hllat 34178	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
114	112, 113	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Lat )
115	12	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. A )
116	17	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. A )
117	28, 29, 8	hlatjcl 34181	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
118	112, 115, 116, 117	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P .\/ Q ) e. B )
119	1	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. H )
120	28, 2	lhpbase 34812	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. B )
121	119, 120	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. B )
122	28, 30	latmcl 15539	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
123	114, 118, 121, 122	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
124	33, 123	syl5eqel 2559	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. B )
125	28, 7, 30	latmle2 15564	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
126	114, 118, 121, 125	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
127	33, 126	syl5eqbr 4480	. . . . . 6 |- ( ph -> V .<_ W )
128		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
129	28, 7, 2, 3, 128	dihvalb 36052	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
130	1, 124, 127, 129	syl12anc 1226	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
131	130	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) ) )
132	28, 7, 2, 13, 34, 77, 128	dibopelval3 35963	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
133	1, 124, 127, 132	syl12anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
134	131, 133	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
135		eqid 2467	. . . 4 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
136	28, 8	atbase 34104	. . . . 5 |- ( P e. A -> P e. B )
137	115, 136	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> P e. B )
138	28, 8	atbase 34104	. . . . 5 |- ( Q e. A -> Q e. B )
139	116, 138	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> Q e. B )
140	28, 2, 13, 35, 76, 31, 135, 32, 3, 1, 137, 139	dihopellsm 36070	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
141	111, 134, 140	3imtr4d 268	. 2 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) -> <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) ) )
142	5, 141	relssdv 5095	1 |- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   <.cop 4033   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   _I cid 4790   `'ccnv 4998   |` cres 5001   o. ccom 5003   Rel wrel 5004   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   |-> cmpt2 6286   Basecbs 14490   lecple 14562   occoc 14563   joincjn 15431   meetcmee 15432   Latclat 15532   LSSumclsm 16460   LSubSpclss 17378   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LHypclh 34798   LTrncltrn 34915   trLctrl 34972   TEndoctendo 35566   DVecHcdvh 35893   DIsoBcdib 35953   DIsoHcdih 36043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044

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