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Theorem dihjatcclem4 35001
Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihjatcclem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihjatcclem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihjatcclem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihjatcclem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihjatcclem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihjatcclem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihjatcclem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihjatcclem.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihjatcclem.v  |-  V  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
dihjatcclem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihjatcclem.p  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
dihjatcclem.q  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
dihjatcc.w  |-  C  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihjatcc.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihjatcc.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihjatcc.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihjatcc.g  |-  G  =  ( iota_ d  e.  T  ( d `  C
)  =  P )
dihjatcc.dd  |-  D  =  ( iota_ d  e.  T  ( d `  C
)  =  Q )
dihjatcc.n  |-  N  =  ( a  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  `' ( a `  d ) ) )
dihjatcc.o  |-  .0.  =  ( d  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihjatcc.d  |-  J  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  ( ( a `  d )  o.  (
b `  d )
) ) )
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem4  |-  ( ph  ->  ( I `  V
)  C_  ( (
I `  P )  .(+)  ( I `  Q
) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , d    A, d    B, d    C, d   
a, b, E    H, d    P, d    a, d, K, b    Q, d    T, a, b, d    W, a, b, d
Allowed substitution hints:    ph( a, b, d)    A( a, b)    B( a, b)    C( a, b)    D( a, b, d)    P( a, b)    .(+) ( a, b,
d)    Q( a, b)    R( a, b, d)    U( a, b, d)    E( d)    G( a, b, d)    H( a, b)    I( a, b, d)    J( a, b, d)    .\/ ( a, b, d)    .<_ ( a, b)    ./\ ( a, b, d)    N( a, b, d)    V( a, b, d)    .0. ( a,
b, d)

Proof of Theorem dihjatcclem4
Dummy variables  t 
f  s  g  h  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihjatcclem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihjatcclem.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
42, 3dihvalrel 34859 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  V ) )
51, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Rel  ( I `  V ) )
61adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 dihjatcclem.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 dihjatcclem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 dihjatcc.w . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
107, 8, 2, 9lhpocnel2 33596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W ) )
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W ) )
12 dihjatcclem.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
13 dihjatcc.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dihjatcc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( iota_ d  e.  T  ( d `  C
)  =  P )
157, 8, 2, 13, 14ltrniotacl 34158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
161, 11, 12, 15syl3anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  T )
17 dihjatcclem.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
18 dihjatcc.dd . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( iota_ d  e.  T  ( d `  C
)  =  Q )
197, 8, 2, 13, 18ltrniotacl 34158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  D  e.  T )
201, 11, 17, 19syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  T )
212, 13ltrncnv 33723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  T
)  ->  `' D  e.  T )
221, 20, 21syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' D  e.  T
)
232, 13ltrnco 34298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' D  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' D )  e.  T
)
241, 16, 22, 23syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  o.  `' D )  e.  T
)
2524adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( G  o.  `' D )  e.  T
)
26 simprll 773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
f  e.  T )
27 simprlr 774 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  V )
28 dihjatcclem.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
29 dihjatcclem.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
30 dihjatcclem.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31 dihjatcclem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
32 dihjatcclem.s . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
33 dihjatcclem.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
34 dihjatcc.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
35 dihjatcc.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
3628, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18dihjatcclem3 35000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  ( G  o.  `' D
) )  =  V )
3736adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( R `  ( G  o.  `' D
) )  =  V )
3827, 37breqtrrd 4432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( R `  ( G  o.  `' D ) ) )
397, 2, 13, 34, 35tendoex 34554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' D )  e.  T  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f )  .<_  ( R `  ( G  o.  `' D
) ) )  ->  E. t  e.  E  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )
406, 25, 26, 38, 39syl121anc 1274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  ->  E. t  e.  E  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )
41 df-rex 2745 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  E  ( t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f  <->  E. t
( t  e.  E  /\  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f ) )
4240, 41sylib 200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  ->  E. t ( t  e.  E  /\  ( t `
 ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )
43 eqidd 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  G
)  =  ( t `
 G ) )
44 simprl 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
t  e.  E )
451ad2antrr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4612ad2antrr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
47 fvex 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t `
 G )  e. 
_V
48 vex 3050 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
497, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48dihopelvalcqat 34826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  <->  ( (
t `  G )  =  ( t `  G )  /\  t  e.  E ) ) )
5045, 46, 49syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  <->  ( (
t `  G )  =  ( t `  G )  /\  t  e.  E ) ) )
5143, 44, 50mpbir2and 934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
) )
52 eqidd 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( ( N `  t ) `  D
)  =  ( ( N `  t ) `
 D ) )
53 dihjatcc.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( a  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  `' ( a `  d ) ) )
542, 13, 35, 53tendoicl 34375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E
)  ->  ( N `  t )  e.  E
)
5545, 44, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( N `  t
)  e.  E )
5617ad2antrr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
57 fvex 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  t ) `
 D )  e. 
_V
58 fvex 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 t )  e. 
_V
597, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58dihopelvalcqat 34826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q )  <->  ( (
( N `  t
) `  D )  =  ( ( N `
 t ) `  D )  /\  ( N `  t )  e.  E ) ) )
6045, 56, 59syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q )  <->  ( (
( N `  t
) `  D )  =  ( ( N `
 t ) `  D )  /\  ( N `  t )  e.  E ) ) )
6152, 55, 60mpbir2and 934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  <. ( ( N `  t ) `  D
) ,  ( N `
 t ) >.  e.  ( I `  Q
) )
6216ad2antrr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  G  e.  T )
6322ad2antrr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  `' D  e.  T
)
642, 13, 35tendospdi1 34600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  G  e.  T  /\  `' D  e.  T ) )  -> 
( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  ( ( t `  G
)  o.  ( t `
 `' D ) ) )
6545, 44, 62, 63, 64syl13anc 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  ( ( t `  G
)  o.  ( t `
 `' D ) ) )
66 simprr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )
6720ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  D  e.  T )
6853, 13tendoi2 34374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  E  /\  D  e.  T )  ->  ( ( N `  t ) `  D
)  =  `' ( t `  D ) )
6944, 67, 68syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( ( N `  t ) `  D
)  =  `' ( t `  D ) )
702, 13, 35tendocnv 34601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  D  e.  T
)  ->  `' (
t `  D )  =  ( t `  `' D ) )
7145, 44, 67, 70syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  `' ( t `  D )  =  ( t `  `' D
) )
7269, 71eqtr2d 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  `' D )  =  ( ( N `  t
) `  D )
)
7372coeq2d 5000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( ( t `  G )  o.  (
t `  `' D
) )  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) ) )
7465, 66, 733eqtr3d 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
f  =  ( ( t `  G )  o.  ( ( N `
 t ) `  D ) ) )
75 simplrr 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
s  =  .0.  )
76 dihjatcc.d . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  ( ( a `  d )  o.  (
b `  d )
) ) )
77 dihjatcc.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( d  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
782, 13, 35, 53, 28, 76, 77tendoipl2 34377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E
)  ->  ( t J ( N `  t ) )  =  .0.  )
7945, 44, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t J ( N `  t ) )  =  .0.  )
8075, 79eqtr4d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
s  =  ( t J ( N `  t ) ) )
81 opeq1 4169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  <. g ,  t >.  =  <. ( t `  G ) ,  t >. )
8281eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  <->  <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P ) ) )
8382anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  <->  ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) ) ) )
84 coeq1 4995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
g  o.  h )  =  ( ( t `
 G )  o.  h ) )
8584eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
f  =  ( g  o.  h )  <->  f  =  ( ( t `  G )  o.  h
) ) )
8685anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) )  <->  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  h
)  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
8783, 86anbi12d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
( ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  ( ( <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( ( t `
 G )  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
88 opeq1 4169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  <. h ,  u >.  =  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  u >. )
8988eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  ( <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q
)  <->  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  u >.  e.  ( I `  Q ) ) )
9089anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  <->  ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  u >.  e.  ( I `  Q ) ) ) )
91 coeq2 4996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( t `  G
)  o.  h )  =  ( ( t `
 G )  o.  ( ( N `  t ) `  D
) ) )
9291eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
f  =  ( ( t `  G )  o.  h )  <->  f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
) ) )
9392anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( f  =  ( ( t `  G
)  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) )  <->  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
9490, 93anbi12d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G
)  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  ( ( <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. ( ( N `  t ) `
 D ) ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( ( t `
 G )  o.  ( ( N `  t ) `  D
) )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
95 opeq2 4170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  <. (
( N `  t
) `  D ) ,  u >.  =  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  ( N `  t ) >. )
9695eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  ( <. ( ( N `  t ) `  D
) ,  u >.  e.  ( I `  Q
)  <->  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q ) ) )
9796anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  <->  ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q ) ) ) )
98 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
t J u )  =  ( t J ( N `  t
) ) )
9998eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
s  =  ( t J u )  <->  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) )
10099anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
( f  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) )  /\  s  =  ( t J u ) )  <->  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) ) )
10197, 100anbi12d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
( ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  ( ( <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. ( ( N `  t ) `
 D ) ,  ( N `  t
) >.  e.  ( I `
 Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) ) ) )
10287, 94, 101syl3an9b 1339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  ( t `
 G )  /\  h  =  ( ( N `  t ) `  D )  /\  u  =  ( N `  t ) )  -> 
( ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <-> 
( ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) )  /\  s  =  ( t J ( N `
 t ) ) ) ) ) )
103102spc3egv 3140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t `  G
)  e.  _V  /\  ( ( N `  t ) `  D
)  e.  _V  /\  ( N `  t )  e.  _V )  -> 
( ( ( <.
( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. ( ( N `  t ) `
 D ) ,  ( N `  t
) >.  e.  ( I `
 Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) )  ->  E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
10447, 57, 58, 103mp3an 1366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  ( N `  t ) >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `
 G )  o.  ( ( N `  t ) `  D
) )  /\  s  =  ( t J ( N `  t
) ) ) )  ->  E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
10551, 61, 74, 80, 104syl22anc 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
106105ex 436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( ( t  e.  E  /\  ( t `
 ( G  o.  `' D ) )  =  f )  ->  E. g E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
107106eximdv 1766 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( E. t ( t  e.  E  /\  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )  ->  E. t E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
108 excom 1929 . . . . . 6  |-  ( E. t E. g E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
109107, 108syl6ib 230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( E. t ( t  e.  E  /\  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )  ->  E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
11042, 109mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  ->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
111110ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )  ->  E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
1121simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
113 hllat 32941 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
114112, 113syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Lat )
11512simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
11617simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
11728, 29, 8hlatjcl 32944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
118112, 115, 116, 117syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
1191simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  H )
12028, 2lhpbase 33575 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
121119, 120syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  B )
12228, 30latmcl 16310 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  e.  B )
123114, 118, 121, 122syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  B )
12433, 123syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  B )
12528, 7, 30latmle2 16335 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  .<_  W )
126114, 118, 121, 125syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
12733, 126syl5eqbr 4439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  .<_  W )
128 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
12928, 7, 2, 3, 128dihvalb 34817 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  B  /\  V  .<_  W ) )  ->  (
I `  V )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  V
) )
1301, 124, 127, 129syl12anc 1267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  V
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  V
) )
131130eleq2d 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  V )  <->  <. f ,  s >.  e.  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  V ) ) )
13228, 7, 2, 13, 34, 77, 128dibopelval3 34728 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  B  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  V )  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
) )
1331, 124, 127, 132syl12anc 1267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  V
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  V )  /\  s  =  .0.  ) ) )
134131, 133bitrd 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  V )  <->  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) ) )
135 eqid 2453 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
13628, 8atbase 32867 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
137115, 136syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
13828, 8atbase 32867 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
139116, 138syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
14028, 2, 13, 35, 76, 31, 135, 32, 3, 1, 137, 139dihopellsm 34835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( ( I `
 P )  .(+)  ( I `  Q ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
141111, 134, 1403imtr4d 272 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  V )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( ( I `  P
)  .(+)  ( I `  Q ) ) ) )
1425, 141relssdv 4930 1  |-  ( ph  ->  ( I `  V
)  C_  ( (
I `  P )  .(+)  ( I `  Q
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   <.cop 3976   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    _I cid 4747   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   ` cfv 5585   iota_crio 6256  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 15133   lecple 15209   occoc 15210   joincjn 16201   meetcmee 16202   Latclat 16303   LSSumclsm 17298   LSubSpclss 18167   Atomscatm 32841   HLchlt 32928   LHypclh 33561   LTrncltrn 33678   trLctrl 33736   TEndoctendo 34331   DVecHcdvh 34658   DIsoBcdib 34718   DIsoHcdih 34808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-riotaBAD 32537
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-undef 7025  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-0g 15352  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-lub 16232  df-glb 16233  df-join 16234  df-meet 16235  df-p0 16297  df-p1 16298  df-lat 16304  df-clat 16366  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-oposet 32754  df-ol 32756  df-oml 32757  df-covers 32844  df-ats 32845  df-atl 32876  df-cvlat 32900  df-hlat 32929  df-llines 33075  df-lplanes 33076  df-lvols 33077  df-lines 33078  df-psubsp 33080  df-pmap 33081  df-padd 33373  df-lhyp 33565  df-laut 33566  df-ldil 33681  df-ltrn 33682  df-trl 33737  df-tendo 34334  df-edring 34336  df-disoa 34609  df-dvech 34659  df-dib 34719  df-dic 34753  df-dih 34809
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