Theorem dihjatcclem4 35060

Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatcclem.b	|- B = ( Base ` K )
dihjatcclem.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihjatcclem.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihjatcclem.j	|- .\/ = ( join ` K )
dihjatcclem.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihjatcclem.a	|- A = ( Atoms ` K )
dihjatcclem.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjatcclem.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihjatcclem.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihjatcclem.v	|- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
dihjatcclem.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihjatcclem.p	|- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
dihjatcclem.q	|- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
dihjatcc.w	|- C = ( ( oc ` K ) ` W )
dihjatcc.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihjatcc.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihjatcc.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihjatcc.g	|- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
dihjatcc.dd	|- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
dihjatcc.n	|- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
dihjatcc.o	|- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
dihjatcc.d	|- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dihjatcclem4	|- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , d   A, d   B, d   C, d   a, b, E   H, d   P, d   a, d, K, b   Q, d   T, a, b, d   W, a, b, d

Allowed substitution hints:   ph( a, b, d)   A( a, b)   B( a, b)   C( a, b)   D( a, b, d)   P( a, b)   .(+) ( a, b, d)   Q( a, b)   R( a, b, d)   U( a, b, d)   E( d)   G( a, b, d)   H( a, b)   I( a, b, d)   J( a, b, d)   .\/ ( a, b, d)   .<_ ( a, b)   ./\ ( a, b, d)   N( a, b, d)   V( a, b, d)   .0. ( a, b, d)

Proof of Theorem dihjatcclem4

Dummy variables t f s g h u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjatcclem.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihjatcclem.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihjatcclem.i	. . . 4 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	2, 3	dihvalrel 34918	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` V ) )
5	1, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> Rel ( I ` V ) )
6	1	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		dihjatcclem.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
8		dihjatcclem.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( Atoms ` K )
9		dihjatcc.w	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( ( oc ` K ) ` W )
10	7, 8, 2, 9	lhpocnel2 33655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
12		dihjatcclem.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
13		dihjatcc.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		dihjatcc.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
15	7, 8, 2, 13, 14	ltrniotacl 34217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. T )
17		dihjatcclem.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
18		dihjatcc.dd	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
19	7, 8, 2, 13, 18	ltrniotacl 34217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> D e. T )
20	1, 11, 17, 19	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. T )
21	2, 13	ltrncnv 33782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ D e. T ) -> `' D e. T )
22	1, 20, 21	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' D e. T )
23	2, 13	ltrnco 34357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' D e. T ) -> ( G o. `' D ) e. T )
24	1, 16, 22, 23	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. `' D ) e. T )
25	24	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( G o. `' D ) e. T )
26		simprll 780	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> f e. T )
27		simprlr 781	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ V )
28		dihjatcclem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
29		dihjatcclem.j	. . . . . . . . . 10 |- .\/ = ( join ` K )
30		dihjatcclem.m	. . . . . . . . . 10 |- ./\ = ( meet ` K )
31		dihjatcclem.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
32		dihjatcclem.s	. . . . . . . . . 10 |- .(+) = ( LSSum ` U )
33		dihjatcclem.v	. . . . . . . . . 10 |- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
34		dihjatcc.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
35		dihjatcc.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
36	28, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18	dihjatcclem3 35059	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
37	36	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
38	27, 37	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) )
39	7, 2, 13, 34, 35	tendoex 34613	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G o. `' D ) e. T /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
40	6, 25, 26, 38, 39	syl121anc 1297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
41		df-rex 2762	. . . . . 6 |- ( E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f <-> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
42	40, 41	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
43		eqidd 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` G ) = ( t ` G ) )
44		simprl 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> t e. E )
45	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
46	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
47		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t ` G ) e. _V
48		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
49	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48	dihopelvalcqat 34885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
50	45, 46, 49	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
51	43, 44, 50	mpbir2and 936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) )
52		eqidd 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
53		dihjatcc.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
54	2, 13, 35, 53	tendoicl 34434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( N ` t ) e. E )
55	45, 44, 54	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( N ` t ) e. E )
56	17	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
57		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` t ) ` D ) e. _V
58		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` t ) e. _V
59	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58	dihopelvalcqat 34885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
60	45, 56, 59	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
61	52, 55, 60	mpbir2and 936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) )
62	16	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> G e. T )
63	22	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' D e. T )
64	2, 13, 35	tendospdi1 34659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ G e. T /\ `' D e. T ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
65	45, 44, 62, 63, 64	syl13anc 1294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
66		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
67	20	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> D e. T )
68	53, 13	tendoi2 34433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. E /\ D e. T ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
69	44, 67, 68	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
70	2, 13, 35	tendocnv 34660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ D e. T ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
71	45, 44, 67, 70	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
72	69, 71	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` `' D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
73	72	coeq2d 5002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
74	65, 66, 73	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
75		simplrr 779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = .0. )
76		dihjatcc.d	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )
77		dihjatcc.o	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
78	2, 13, 35, 53, 28, 76, 77	tendoipl2 34436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
79	45, 44, 78	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
80	75, 79	eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = ( t J ( N ` t ) ) )
81		opeq1 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> <. g , t >. = <. ( t ` G ) , t >. )
82	81	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( <. g , t >. e. ( I ` P ) <-> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) ) )
83	82	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
84		coeq1 4997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> ( g o. h ) = ( ( t ` G ) o. h ) )
85	84	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( f = ( g o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. h ) ) )
86	85	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
87	83, 86	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
88		opeq1 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> <. h , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. )
89	88	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( <. h , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) )
90	89	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
91		coeq2 4998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( t ` G ) o. h ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
92	91	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) ) )
93	92	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
94	90, 93	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
95		opeq2 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. )
96	95	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) )
97	96	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) ) )
98		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> ( t J u ) = ( t J ( N ` t ) ) )
99	98	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( s = ( t J u ) <-> s = ( t J ( N ` t ) ) ) )
100	99	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) )
101	97, 100	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
102	87, 94, 101	syl3an9b 1363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = ( t ` G ) /\ h = ( ( N ` t ) ` D ) /\ u = ( N ` t ) ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
103	102	spc3egv 3124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t ` G ) e. _V /\ ( ( N ` t ) ` D ) e. _V /\ ( N ` t ) e. _V ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
104	47, 57, 58, 103	mp3an 1390	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
105	51, 61, 74, 80, 104	syl22anc 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
106	105	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
107	106	eximdv 1772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
108		excom 1944	. . . . . 6 |- ( E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
109	107, 108	syl6ib 234	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
110	42, 109	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
111	110	ex 441	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
112	1	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. HL )
113		hllat 33000	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Lat )
115	12	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. A )
116	17	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. A )
117	28, 29, 8	hlatjcl 33003	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
118	112, 115, 116, 117	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P .\/ Q ) e. B )
119	1	simprd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. H )
120	28, 2	lhpbase 33634	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. B )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. B )
122	28, 30	latmcl 16376	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
123	114, 118, 121, 122	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
124	33, 123	syl5eqel 2553	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. B )
125	28, 7, 30	latmle2 16401	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
126	114, 118, 121, 125	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
127	33, 126	syl5eqbr 4429	. . . . . 6 |- ( ph -> V .<_ W )
128		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
129	28, 7, 2, 3, 128	dihvalb 34876	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
130	1, 124, 127, 129	syl12anc 1290	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
131	130	eleq2d 2534	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) ) )
132	28, 7, 2, 13, 34, 77, 128	dibopelval3 34787	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
133	1, 124, 127, 132	syl12anc 1290	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
134	131, 133	bitrd 261	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
135		eqid 2471	. . . 4 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
136	28, 8	atbase 32926	. . . . 5 |- ( P e. A -> P e. B )
137	115, 136	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> P e. B )
138	28, 8	atbase 32926	. . . . 5 |- ( Q e. A -> Q e. B )
139	116, 138	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Q e. B )
140	28, 2, 13, 35, 76, 31, 135, 32, 3, 1, 137, 139	dihopellsm 34894	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
141	111, 134, 140	3imtr4d 276	. 2 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) -> <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) ) )
142	5, 141	relssdv 4932	1 |- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   `'ccnv 4838   |` cres 4841   o. ccom 4843   Rel wrel 4844   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   Basecbs 15199   lecple 15275   occoc 15276   joincjn 16267   meetcmee 16268   Latclat 16369   LSSumclsm 17364   LSubSpclss 18233   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   trLctrl 33795   TEndoctendo 34390   DVecHcdvh 34717   DIsoBcdib 34777   DIsoHcdih 34867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868

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