Theorem dihjatcclem4 31904

Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatcclem.b	|- B = ( Base ` K )
dihjatcclem.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihjatcclem.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihjatcclem.j	|- .\/ = ( join ` K )
dihjatcclem.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihjatcclem.a	|- A = ( Atoms ` K )
dihjatcclem.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjatcclem.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihjatcclem.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihjatcclem.v	|- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
dihjatcclem.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihjatcclem.p	|- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
dihjatcclem.q	|- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
dihjatcc.w	|- C = ( ( oc ` K ) ` W )
dihjatcc.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihjatcc.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihjatcc.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihjatcc.g	|- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
dihjatcc.dd	|- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
dihjatcc.n	|- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
dihjatcc.o	|- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
dihjatcc.d	|- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dihjatcclem4	|- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , d   A, d   B, d   C, d   a, b, E   H, d   P, d   a, d, K, b   Q, d   T, a, b, d   W, a, b, d

Allowed substitution hints:   ph( a, b, d)   A( a, b)   B( a, b)   C( a, b)   D( a, b, d)   P( a, b)   .(+) ( a, b, d)   Q( a, b)   R( a, b, d)   U( a, b, d)   E( d)   G( a, b, d)   H( a, b)   I( a, b, d)   J( a, b, d)   .\/ ( a, b, d)   .<_ ( a, b)   ./\ ( a, b, d)   N( a, b, d)   V( a, b, d)   .0. ( a, b, d)

Proof of Theorem dihjatcclem4

Dummy variables t f s g h u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjatcclem.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihjatcclem.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihjatcclem.i	. . . 4 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	2, 3	dihvalrel 31762	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` V ) )
5	1, 4	syl 16	. 2 |- ( ph -> Rel ( I ` V ) )
6	1	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		dihjatcclem.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
8		dihjatcclem.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( Atoms ` K )
9		dihjatcc.w	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( ( oc ` K ) ` W )
10	7, 8, 2, 9	lhpocnel2 30501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
12		dihjatcclem.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
13		dihjatcc.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		dihjatcc.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
15	7, 8, 2, 13, 14	ltrniotacl 31061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. T )
17		dihjatcclem.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
18		dihjatcc.dd	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
19	7, 8, 2, 13, 18	ltrniotacl 31061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> D e. T )
20	1, 11, 17, 19	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. T )
21	2, 13	ltrncnv 30628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ D e. T ) -> `' D e. T )
22	1, 20, 21	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' D e. T )
23	2, 13	ltrnco 31201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' D e. T ) -> ( G o. `' D ) e. T )
24	1, 16, 22, 23	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. `' D ) e. T )
25	24	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( G o. `' D ) e. T )
26		simprll 739	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> f e. T )
27		simprlr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ V )
28		dihjatcclem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
29		dihjatcclem.j	. . . . . . . . . 10 |- .\/ = ( join ` K )
30		dihjatcclem.m	. . . . . . . . . 10 |- ./\ = ( meet ` K )
31		dihjatcclem.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
32		dihjatcclem.s	. . . . . . . . . 10 |- .(+) = ( LSSum ` U )
33		dihjatcclem.v	. . . . . . . . . 10 |- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
34		dihjatcc.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
35		dihjatcc.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
36	28, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18	dihjatcclem3 31903	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
37	36	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
38	27, 37	breqtrrd 4198	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) )
39	7, 2, 13, 34, 35	tendoex 31457	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G o. `' D ) e. T /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
40	6, 25, 26, 38, 39	syl121anc 1189	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
41		df-rex 2672	. . . . . 6 |- ( E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f <-> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
42	40, 41	sylib 189	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
43		eqidd 2405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` G ) = ( t ` G ) )
44		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> t e. E )
45	1	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
46	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
47		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t ` G ) e. _V
48		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
49	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48	dihopelvalcqat 31729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
50	45, 46, 49	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
51	43, 44, 50	mpbir2and 889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) )
52		eqidd 2405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
53		dihjatcc.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
54	2, 13, 35, 53	tendoicl 31278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( N ` t ) e. E )
55	45, 44, 54	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( N ` t ) e. E )
56	17	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
57		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` t ) ` D ) e. _V
58		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` t ) e. _V
59	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58	dihopelvalcqat 31729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
60	45, 56, 59	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
61	52, 55, 60	mpbir2and 889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) )
62	16	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> G e. T )
63	22	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' D e. T )
64	2, 13, 35	tendospdi1 31503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ G e. T /\ `' D e. T ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
65	45, 44, 62, 63, 64	syl13anc 1186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
66		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
67	20	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> D e. T )
68	53, 13	tendoi2 31277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. E /\ D e. T ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
69	44, 67, 68	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
70	2, 13, 35	tendocnv 31504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ D e. T ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
71	45, 44, 67, 70	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
72	69, 71	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` `' D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
73	72	coeq2d 4994	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
74	65, 66, 73	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
75		simplrr 738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = .0. )
76		dihjatcc.d	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )
77		dihjatcc.o	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
78	2, 13, 35, 53, 28, 76, 77	tendoipl2 31280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
79	45, 44, 78	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
80	75, 79	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = ( t J ( N ` t ) ) )
81		opeq1 3944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> <. g , t >. = <. ( t ` G ) , t >. )
82	81	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( <. g , t >. e. ( I ` P ) <-> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) ) )
83	82	anbi1d 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
84		coeq1 4989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> ( g o. h ) = ( ( t ` G ) o. h ) )
85	84	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( f = ( g o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. h ) ) )
86	85	anbi1d 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
87	83, 86	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
88		opeq1 3944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> <. h , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. )
89	88	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( <. h , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) )
90	89	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
91		coeq2 4990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( t ` G ) o. h ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
92	91	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) ) )
93	92	anbi1d 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
94	90, 93	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
95		opeq2 3945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. )
96	95	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) )
97	96	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) ) )
98		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> ( t J u ) = ( t J ( N ` t ) ) )
99	98	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( s = ( t J u ) <-> s = ( t J ( N ` t ) ) ) )
100	99	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) )
101	97, 100	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
102	87, 94, 101	syl3an9b 1252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = ( t ` G ) /\ h = ( ( N ` t ) ` D ) /\ u = ( N ` t ) ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
103	102	spc3egv 3000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t ` G ) e. _V /\ ( ( N ` t ) ` D ) e. _V /\ ( N ` t ) e. _V ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
104	47, 57, 58, 103	mp3an 1279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
105	51, 61, 74, 80, 104	syl22anc 1185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
106	105	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
107	106	eximdv 1629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
108		excom 1752	. . . . . 6 |- ( E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
109	107, 108	syl6ib 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
110	42, 109	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
111	110	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
112	1	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. HL )
113		hllat 29846	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
114	112, 113	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Lat )
115	12	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. A )
116	17	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. A )
117	28, 29, 8	hlatjcl 29849	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
118	112, 115, 116, 117	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P .\/ Q ) e. B )
119	1	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. H )
120	28, 2	lhpbase 30480	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. B )
121	119, 120	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. B )
122	28, 30	latmcl 14435	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
123	114, 118, 121, 122	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
124	33, 123	syl5eqel 2488	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. B )
125	28, 7, 30	latmle2 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
126	114, 118, 121, 125	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
127	33, 126	syl5eqbr 4205	. . . . . 6 |- ( ph -> V .<_ W )
128		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
129	28, 7, 2, 3, 128	dihvalb 31720	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
130	1, 124, 127, 129	syl12anc 1182	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
131	130	eleq2d 2471	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) ) )
132	28, 7, 2, 13, 34, 77, 128	dibopelval3 31631	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
133	1, 124, 127, 132	syl12anc 1182	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
134	131, 133	bitrd 245	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
135		eqid 2404	. . . 4 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
136	28, 8	atbase 29772	. . . . 5 |- ( P e. A -> P e. B )
137	115, 136	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> P e. B )
138	28, 8	atbase 29772	. . . . 5 |- ( Q e. A -> Q e. B )
139	116, 138	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> Q e. B )
140	28, 2, 13, 35, 76, 31, 135, 32, 3, 1, 137, 139	dihopellsm 31738	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
141	111, 134, 140	3imtr4d 260	. 2 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) -> <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) ) )
142	5, 141	relssdv 4927	1 |- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   _I cid 4453   `'ccnv 4836   |` cres 4839   o. ccom 4841   Rel wrel 4842   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   occoc 13492   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   LSSumclsm 15223   LSubSpclss 15963   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640   TEndoctendo 31234   DVecHcdvh 31561   DIsoBcdib 31621   DIsoHcdih 31711

This theorem is referenced by:  dihjatcc  31905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712