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Theorem dihglblem6 34820
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem6.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem6.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem6.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem6.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglblem6.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem6.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglblem6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglblem6.s  |-  P  =  ( LSubSp `  U )
dihglblem6.d  |-  D  =  (LSAtoms `  U )
Assertion
Ref Expression
dihglblem6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Distinct variable groups:    x,  ./\    x,  .<_    x, B    x, D    x, G    x, H    x, I    x, K    x, P    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    A( x)    U( x)

Proof of Theorem dihglblem6
Dummy variables  v  u  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem6.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihglblem6.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 eqid 2428 . . . 4  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
4 dihglblem6.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
5 dihglblem6.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 eqid 2428 . . . 4  |-  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v (
meet `  K ) W ) }  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v
( meet `  K ) W ) }
7 eqid 2428 . . . 4  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
8 dihglblem6.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dihglblem4 34777 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
10 fal 1444 . . . . 5  |-  -. F.
11 dihglblem6.s . . . . . . . 8  |-  P  =  ( LSubSp `  U )
12 dihglblem6.d . . . . . . . 8  |-  D  =  (LSAtoms `  U )
13 dihglblem6.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
14 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
155, 13, 14dvhlmod 34590 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  ->  U  e.  LMod )
16 simplll 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  ->  K  e.  HL )
17 hlclat 32836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  ->  K  e.  CLat )
19 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  ->  S  C_  B )
201, 4clatglbcl 16303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
2118, 19, 20syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  -> 
( G `  S
)  e.  B )
221, 5, 8, 13, 11dihlss 34730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G `  S )  e.  B
)  ->  ( I `  ( G `  S
) )  e.  P
)
2314, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  e.  P )
241, 4, 5, 13, 8, 11dihglblem5 34778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  e.  P )
2524adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  ->  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  e.  P )
26 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
2711, 12, 15, 23, 25, 26lpssat 32491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )  ->  E. p  e.  D  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )
2827ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  ->  E. p  e.  D  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) ) )
29 simp1l 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
305, 13, 8, 12dih1dimat 34810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  D
)  ->  p  e.  ran  I )
3130adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  p  e.  ran  I
)
32313adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  p  e.  ran  I )
335, 8dihcnvid2 34753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  p )
)  =  p )
3429, 32, 33syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( I `  ( `' I `  p ) )  =  p )
35 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
36 ssiin 4292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p 
C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  p  C_  ( I `  x ) )
3735, 36sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  A. x  e.  S  p  C_  ( I `  x ) )
38 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
39 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
401, 5, 8, 13, 11dihf11 34747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> P
)
41 f1f1orn 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I : B -1-1-> P  ->  I : B -1-1-onto-> ran  I )
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  I : B -1-1-onto-> ran  I
)
43 f1ocnvdm 6142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I : B -1-1-onto-> ran  I  /\  p  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  p )  e.  B )
4442, 31, 43syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  ( `' I `  p )  e.  B
)
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  ( `' I `  p )  e.  B )
46 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  S  C_  B )
4746sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
481, 2, 5, 8dihord 34744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  p )  e.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
I `  ( `' I `  p )
)  C_  ( I `  x )  <->  ( `' I `  p )  .<_  x ) )
4938, 45, 47, 48syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (
I `  ( `' I `  p )
)  C_  ( I `  x )  <->  ( `' I `  p )  .<_  x ) )
5039, 31, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  ( I `  ( `' I `  p ) )  =  p )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  ( I `  ( `' I `  p ) )  =  p )
5251sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (
I `  ( `' I `  p )
)  C_  ( I `  x )  <->  p  C_  (
I `  x )
) )
5349, 52bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( `' I `  p ) 
.<_  x  <->  p  C_  ( I `
 x ) ) )
5453ralbidva 2801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D )  ->  ( A. x  e.  S  ( `' I `  p )  .<_  x  <->  A. x  e.  S  p  C_  (
I `  x )
) )
55543adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( `' I `  p )  .<_  x  <->  A. x  e.  S  p  C_  (
I `  x )
) )
5637, 55mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( `' I `  p ) 
.<_  x )
57 simp1ll 1068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
5857, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  K  e.  CLat )
59443adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( `' I `  p )  e.  B
)
60 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  S  C_  B )
611, 2, 4clatleglb 16315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( `' I `  p )  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
( `' I `  p )  .<_  ( G `
 S )  <->  A. x  e.  S  ( `' I `  p )  .<_  x ) )
6258, 59, 60, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( ( `' I `  p )  .<_  ( G `
 S )  <->  A. x  e.  S  ( `' I `  p )  .<_  x ) )
6356, 62mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( `' I `  p )  .<_  ( G `
 S ) )
6458, 60, 20syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( G `  S
)  e.  B )
651, 2, 5, 8dihord 34744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  p )  e.  B  /\  ( G `  S
)  e.  B )  ->  ( ( I `
 ( `' I `  p ) )  C_  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( `' I `  p )  .<_  ( G `
 S ) ) )
6629, 59, 64, 65syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  p ) )  C_  ( I `  ( G `  S
) )  <->  ( `' I `  p )  .<_  ( G `  S
) ) )
6763, 66mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> 
( I `  ( `' I `  p ) )  C_  ( I `  ( G `  S
) ) )
6834, 67eqsstr3d 3442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) )
69 simp3r 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  ->  -.  p  C_  ( I `
 ( G `  S ) ) )
7068, 69pm2.21fal 1458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  p  e.  D  /\  ( p  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )  -> F.  )
7170rexlimdv3a 2858 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( E. p  e.  D  ( p  C_ 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  /\  -.  p  C_  ( I `  ( G `  S )
) )  -> F.  ) )
7228, 71syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  -> F.  ) )
7310, 72mtoi 181 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  -.  ( I `  ( G `  S
) )  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
74 dfpss3 3494 . . . . . 6  |-  ( ( I `  ( G `
 S ) ) 
C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  C_  (
I `  ( G `  S ) ) ) )
7574notbii 297 . . . . 5  |-  ( -.  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  <->  -.  (
( I `  ( G `  S )
)  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) 
C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )
76 iman 425 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  ( G `  S )
)  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  ->  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  C_  (
I `  ( G `  S ) ) )  <->  -.  ( ( I `  ( G `  S ) )  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  -.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) 
C_  ( I `  ( G `  S ) ) ) )
77 anclb 549 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  ( G `  S )
)  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  ->  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  C_  (
I `  ( G `  S ) ) )  <-> 
( ( I `  ( G `  S ) )  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  ->  (
( I `  ( G `  S )
)  C_  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  /\  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  C_  ( I `  ( G `  S )
) ) ) )
7875, 76, 773bitr2i 276 . . . 4  |-  ( -.  ( I `  ( G `  S )
)  C.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  <->  ( (
I `  ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  ->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  /\  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  C_  ( I `  ( G `  S
) ) ) ) )
7973, 78sylib 199 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  ->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  /\  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  C_  ( I `  ( G `  S
) ) ) ) )
809, 79mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  /\  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  C_  ( I `  ( G `  S
) ) ) )
81 eqss 3422 . 2  |-  ( ( I `  ( G `
 S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  ( ( I `
 ( G `  S ) )  C_  |^|_
x  e.  S  ( I `  x )  /\  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  C_  ( I `  ( G `  S
) ) ) )
8280, 81sylibr 215 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F. wfal 1442    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3379    C. wpss 3380   (/)c0 3704   |^|_ciin 4243   class class class wbr 4366   `'ccnv 4795   ran crn 4797   -1-1->wf1 5541   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   lecple 15140   glbcglb 16131   meetcmee 16133   CLatccla 16296   LSubSpclss 18098  LSAtomsclsa 32452   Atomscatm 32741   HLchlt 32828   LHypclh 33461   DVecHcdvh 34558   DIsoBcdib 34618   DIsoHcdih 34708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-riotaBAD 32437
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-undef 6975  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-0g 15283  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-p1 16229  df-lat 16235  df-clat 16297  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-dvr 17854  df-drng 17920  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-lvec 18269  df-lsatoms 32454  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-lplanes 32976  df-lvols 32977  df-lines 32978  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637  df-tendo 34234  df-edring 34236  df-disoa 34509  df-dvech 34559  df-dib 34619  df-dic 34653  df-dih 34709
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