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Theorem dihglblem5apreN 36381
Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem5a.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem5a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem5a.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglblem5a.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem5a.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihglblem5a.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglblem5a.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihglblem5a.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihglblem5a.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihglblem5a.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihglblem5a.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  q )
dihglblem5a.o  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
dihglblem5apreN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
Distinct variable groups:    ./\ , q    h, q,  .<_    A, h, q    B, h, q    h, H, q   
I, q    h, K, q    P, h    T, h   
h, W, q    X, q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( h, q)    T( q)    E( h, q)    G( h, q)    I( h)    .\/ ( h, q)    ./\ (
h)    X( h)    .0. ( h, q)

Proof of Theorem dihglblem5apreN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 34453 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
3 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
4 dihglblem5a.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 dihglblem5a.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
64, 5lhpbase 35087 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
76ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
8 dihglblem5a.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 dihglblem5a.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
104, 8, 9latmle1 15575 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  X )
112, 3, 7, 10syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  W
)  .<_  X )
12 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
134, 9latmcl 15551 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
142, 3, 7, 13syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  W
)  e.  B )
15 dihglblem5a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
164, 8, 5, 15dihord 36354 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  X )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  X ) )
1712, 14, 3, 16syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  X )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  X ) )
1811, 17mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) ) 
C_  ( I `  X ) )
194, 8, 9latmle2 15576 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  W )
202, 3, 7, 19syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  W
)  .<_  W )
214, 8, 5, 15dihord 36354 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  W )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  W ) )
2212, 14, 7, 21syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  W )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  W ) )
2320, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) ) 
C_  ( I `  W ) )
2418, 23ssind 3727 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) ) 
C_  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
255, 15dihvalrel 36369 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  X ) )
26 relin1 5125 . . . . 5  |-  ( Rel  ( I `  X
)  ->  Rel  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  W ) ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  Rel  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  W )
) )
29 elin 3692 . . . 4  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  W )
)  <->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  /\  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W ) ) )
30 dihglblem5a.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
31 dihglblem5a.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
324, 8, 30, 9, 31, 5lhpmcvr2 35113 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )
33 dihglblem5a.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
34 dihglblem5a.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
35 dihglblem5a.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
36 dihglblem5a.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
37 dihglblem5a.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  q )
38 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
39 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
404, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39dihopelvalc 36339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G ) ) ) 
.<_  X ) ) )
41 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
426adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  B )
434, 8latref 15552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B )  ->  W  .<_  W )
441, 6, 43syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  .<_  W )
45 dihglblem5a.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
464, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 36328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( W  e.  B  /\  W  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  W
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )
4741, 42, 44, 46syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W )  <->  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )
48473ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  W )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )
4940, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  <->  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) ) )
50 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G ) ) ) 
.<_  X )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  W )  /\  s  =  .0.  )
)  ->  f  e.  T )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  f  e.  T
)
52 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  s  =  .0.  )
5352fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( s `  G )  =  (  .0.  `  G )
)
54 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
558, 31, 5, 33lhpocnel2 35108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
57 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
588, 31, 5, 34, 37ltrniotacl 35668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  G  e.  T
)
6045, 4tendo02 35876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G  e.  T  ->  (  .0.  `  G )  =  (  _I  |`  B ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  (  .0.  `  G )  =  (  _I  |`  B )
)
6253, 61eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( s `  G )  =  (  _I  |`  B )
)
6362cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  `' ( s `
 G )  =  `' (  _I  |`  B ) )
64 cnvresid 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  B )
6563, 64syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  `' ( s `
 G )  =  (  _I  |`  B ) )
6665coeq2d 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  o.  `' ( s `  G ) )  =  ( f  o.  (  _I  |`  B ) ) )
674, 5, 34ltrn1o 35213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  f : B
-1-1-onto-> B )
6854, 51, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  f : B -1-1-onto-> B
)
69 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : B -1-1-onto-> B  ->  f : B
--> B )
70 fcoi1 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : B --> B  -> 
( f  o.  (  _I  |`  B ) )  =  f )
7168, 69, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  o.  (  _I  |`  B ) )  =  f )
7266, 71eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  o.  `' ( s `  G ) )  =  f )
7372fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G
) ) )  =  ( R `  f
) )
74 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G
) ) )  .<_  X )
7573, 74eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  .<_  X )
768, 5, 34, 35trlle 35273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  .<_  W )
7754, 51, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  .<_  W )
78 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  K  e.  HL )
7978, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  K  e.  Lat )
804, 5, 34, 35trlcl 35253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
8154, 51, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  e.  B
)
82 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  X  e.  B
)
83 simpl1r 1048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  W  e.  H
)
8483, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  W  e.  B
)
854, 8, 9latlem12 15577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  f )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( R `  f )  .<_  X  /\  ( R `  f ) 
.<_  W )  <->  ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W ) ) )
8679, 81, 82, 84, 85syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( ( ( R `  f ) 
.<_  X  /\  ( R `
 f )  .<_  W )  <->  ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W ) ) )
8775, 77, 86mpbi2and 919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W ) )
8851, 87jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  ( X  ./\  W ) ) )
8979, 82, 84, 13syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
9079, 82, 84, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  W )
914, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 36328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  W )  e.  B  /\  ( X 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) )  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
) )  /\  s  =  .0.  ) ) )
9254, 89, 90, 91syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X 
./\  W ) )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  .0.  ) ) )
9388, 52, 92mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G ) ) ) 
.<_  X )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  W )  /\  s  =  .0.  )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) )
9549, 94sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) )
96953expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  -> 
( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  /\  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) ) )
9796exp4c 608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  ( ( q 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  ->  ( ( <.
f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) ) ) ) )
9897imp4a 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) ) ) )
9998rexlimdv 2957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) ) )
10032, 99mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  /\  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
10129, 100syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X 
./\  W ) ) ) )
10228, 101relssdv 5100 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  X )  i^i  (
I `  W )
)  C_  ( I `  ( X  ./\  W
) ) )
10324, 102eqssd 3526 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   <.cop 4038   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510    _I cid 4795   `'ccnv 5003    |` cres 5006    o. ccom 5008   Rel wrel 5009   -->wf 5589   -1-1-onto->wf1o 5592   ` cfv 5593   iota_crio 6254  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   lecple 14574   occoc 14575   joincjn 15443   meetcmee 15444   Latclat 15544   Atomscatm 34353   HLchlt 34440   LHypclh 35073   LTrncltrn 35190   trLctrl 35247   TEndoctendo 35841   DIsoHcdih 36318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-riotaBAD 34049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-tpos 6965  df-undef 7012  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-0g 14709  df-poset 15445  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-lsm 16506  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-dvr 17181  df-drng 17246  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-lvec 17597  df-oposet 34266  df-ol 34268  df-oml 34269  df-covers 34356  df-ats 34357  df-atl 34388  df-cvlat 34412  df-hlat 34441  df-llines 34587  df-lplanes 34588  df-lvols 34589  df-lines 34590  df-psubsp 34592  df-pmap 34593  df-padd 34885  df-lhyp 35077  df-laut 35078  df-ldil 35193  df-ltrn 35194  df-trl 35248  df-tendo 35844  df-edring 35846  df-disoa 36119  df-dvech 36169  df-dib 36229  df-dic 36263  df-dih 36319
This theorem is referenced by:  dihglblem5aN  36382
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