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Theorem dihglblem5apreN 34930
Description: A conjunction property of isomorphism H. TODO: reduce antecedent size; general review for shorter proof. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem5a.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem5a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem5a.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglblem5a.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem5a.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihglblem5a.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglblem5a.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihglblem5a.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihglblem5a.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihglblem5a.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihglblem5a.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  q )
dihglblem5a.o  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
dihglblem5apreN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
Distinct variable groups:    ./\ , q    h, q,  .<_    A, h, q    B, h, q    h, H, q   
I, q    h, K, q    P, h    T, h   
h, W, q    X, q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( h, q)    T( q)    E( h, q)    G( h, q)    I( h)    .\/ ( h, q)    ./\ (
h)    X( h)    .0. ( h, q)

Proof of Theorem dihglblem5apreN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 33000 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
3 simprl 772 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
4 dihglblem5a.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 dihglblem5a.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
64, 5lhpbase 33634 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
76ad2antlr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
8 dihglblem5a.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 dihglblem5a.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
104, 8, 9latmle1 16400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  X )
112, 3, 7, 10syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  W
)  .<_  X )
12 simpl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
134, 9latmcl 16376 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
142, 3, 7, 13syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  W
)  e.  B )
15 dihglblem5a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
164, 8, 5, 15dihord 34903 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  X )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  X ) )
1712, 14, 3, 16syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  X )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  X ) )
1811, 17mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) ) 
C_  ( I `  X ) )
194, 8, 9latmle2 16401 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  W )
202, 3, 7, 19syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  W
)  .<_  W )
214, 8, 5, 15dihord 34903 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  W )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  W ) )
2212, 14, 7, 21syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  ( X  ./\  W ) )  C_  ( I `  W )  <->  ( X  ./\ 
W )  .<_  W ) )
2320, 22mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) ) 
C_  ( I `  W ) )
2418, 23ssind 3647 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) ) 
C_  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
255, 15dihvalrel 34918 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  X ) )
26 relin1 4956 . . . . 5  |-  ( Rel  ( I `  X
)  ->  Rel  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  W ) ) )
2725, 26syl 17 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
2827adantr 472 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  Rel  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  W )
) )
29 elin 3608 . . . 4  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  W )
)  <->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  /\  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W ) ) )
30 dihglblem5a.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
31 dihglblem5a.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
324, 8, 30, 9, 31, 5lhpmcvr2 33660 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )
33 dihglblem5a.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
34 dihglblem5a.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
35 dihglblem5a.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
36 dihglblem5a.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
37 dihglblem5a.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  q )
38 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
39 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
404, 8, 30, 9, 31, 5, 33, 34, 35, 36, 15, 37, 38, 39dihopelvalc 34888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G ) ) ) 
.<_  X ) ) )
41 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
426adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  B )
434, 8latref 16377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B )  ->  W  .<_  W )
441, 6, 43syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  .<_  W )
45 dihglblem5a.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
464, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 34877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( W  e.  B  /\  W  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  W
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )
4741, 42, 44, 46syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W )  <->  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )
48473ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  W )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )
4940, 48anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  <->  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) ) )
50 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G ) ) ) 
.<_  X )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  W )  /\  s  =  .0.  )
)  ->  f  e.  T )
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  f  e.  T
)
52 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  s  =  .0.  )
5352fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( s `  G )  =  (  .0.  `  G )
)
54 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
558, 31, 5, 33lhpocnel2 33655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
57 simpl3l 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
588, 31, 5, 34, 37ltrniotacl 34217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  G  e.  T
)
6045, 4tendo02 34425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G  e.  T  ->  (  .0.  `  G )  =  (  _I  |`  B ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  (  .0.  `  G )  =  (  _I  |`  B )
)
6253, 61eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( s `  G )  =  (  _I  |`  B )
)
6362cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  `' ( s `
 G )  =  `' (  _I  |`  B ) )
64 cnvresid 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  B )
6563, 64syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  `' ( s `
 G )  =  (  _I  |`  B ) )
6665coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  o.  `' ( s `  G ) )  =  ( f  o.  (  _I  |`  B ) ) )
674, 5, 34ltrn1o 33760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  f : B
-1-1-onto-> B )
6854, 51, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  f : B -1-1-onto-> B
)
69 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : B -1-1-onto-> B  ->  f : B
--> B )
70 fcoi1 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : B --> B  -> 
( f  o.  (  _I  |`  B ) )  =  f )
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  o.  (  _I  |`  B ) )  =  f )
7266, 71eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  o.  `' ( s `  G ) )  =  f )
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G
) ) )  =  ( R `  f
) )
74 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G
) ) )  .<_  X )
7573, 74eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  .<_  X )
768, 5, 34, 35trlle 33821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  .<_  W )
7754, 51, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  .<_  W )
78 simpl1l 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  K  e.  HL )
7978, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  K  e.  Lat )
804, 5, 34, 35trlcl 33801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
8154, 51, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  e.  B
)
82 simpl2l 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  X  e.  B
)
83 simpl1r 1082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  W  e.  H
)
8483, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  W  e.  B
)
854, 8, 9latlem12 16402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  f )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( R `  f )  .<_  X  /\  ( R `  f ) 
.<_  W )  <->  ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W ) ) )
8679, 81, 82, 84, 85syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( ( ( R `  f ) 
.<_  X  /\  ( R `
 f )  .<_  W )  <->  ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W ) ) )
8775, 77, 86mpbi2and 935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( R `  f )  .<_  ( X 
./\  W ) )
8851, 87jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  ( X  ./\  W ) ) )
8979, 82, 84, 13syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
9079, 82, 84, 19syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  W )
914, 8, 5, 34, 35, 45, 15dihopelvalbN 34877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  W )  e.  B  /\  ( X 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) )  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
) )  /\  s  =  .0.  ) ) )
9254, 89, 90, 91syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X 
./\  W ) )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  .0.  ) ) )
9388, 52, 92mpbir2and 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  /\  ( ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  (
f  o.  `' ( s `  G ) ) )  .<_  X )  /\  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  W )  /\  s  =  .0.  ) ) )  ->  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )
9493ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  G ) ) ) 
.<_  X )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  W )  /\  s  =  .0.  )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) )
9549, 94sylbid 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) )
96953expia 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  -> 
( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  /\  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) ) )
9796exp4c 619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  ( ( q 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  ->  ( ( <.
f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) ) ) ) )
9897imp4a 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) ) ) )
9998rexlimdv 2870 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  W )
)  ->  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) ) ) )
10032, 99mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  X )  /\  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  W ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
10129, 100syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X 
./\  W ) ) ) )
10228, 101relssdv 4932 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( ( I `  X )  i^i  (
I `  W )
)  C_  ( I `  ( X  ./\  W
) ) )
10324, 102eqssd 3435 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  W
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   `'ccnv 4838    |` cres 4841    o. ccom 4843   Rel wrel 4844   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   occoc 15276   joincjn 16267   meetcmee 16268   Latclat 16369   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   trLctrl 33795   TEndoctendo 34390   DIsoHcdih 34867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868
This theorem is referenced by:  dihglblem5aN  34931
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