Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dihglblem5 34937
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem5.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglblem5.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglblem5.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dihglblem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
Distinct variable groups:    x, B    x, H    x, K    x, S    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    G( x)    I( x)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5889 . . 3  |-  ( I `
 x )  e. 
_V
21dfiin2 4304 . 2  |-  |^|_ x  e.  T  ( I `  x )  =  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }
3 dihglblem5.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dihglblem5.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 34749 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  U  e.  LMod )
7 simpll 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  T  C_  B )
9 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
108, 9sseldd 3419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  B )
11 dihglblem5.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglblem5.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 34889 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  B
)  ->  ( I `  x )  e.  S
)
157, 10, 14syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( I `  x
)  e.  S )
1615ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
17 uniiunlem 3503 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  T  (
I `  x )  e.  S  ->  ( A. x  e.  T  (
I `  x )  e.  S  <->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  C_  S ) )
1816, 17syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  T  ( I `  x )  e.  S  <->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  C_  S
) )
1916, 18mpbid 215 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  C_  S )
20 simprr 774 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  T  =/=  (/) )
21 n0 3732 . . . . 5  |-  ( T  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  T )
2220, 21sylib 201 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  T )
23 nfre1 2846 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  e.  T  y  =  ( I `  x )
2423nfab 2616 . . . . . 6  |-  F/_ x { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }
25 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x (/)
2624, 25nfne 2742 . . . . 5  |-  F/ x { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/)
271elabrex 6166 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  (
I `  x )  e.  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) } )
28 ne0i 3728 . . . . . 6  |-  ( ( I `  x )  e.  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  T  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3026, 29exlimi 2015 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  T  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3122, 30syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3213lssintcl 18265 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  {
y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  C_  S  /\  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  e.  S )
336, 19, 31, 32syl3anc 1292 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  e.  S )
342, 33syl5eqel 2553 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   |^|cint 4226   |^|_ciin 4270   ` cfv 5589   Basecbs 15199   glbcglb 16266   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717   DIsoHcdih 34867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868
This theorem is referenced by:  dihglblem6  34979
  Copyright terms: Public domain W3C validator