Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Structured version   Unicode version

Theorem dihglblem5 35970
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem5.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglblem5.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglblem5.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dihglblem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
Distinct variable groups:    x, B    x, H    x, K    x, S    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    G( x)    I( x)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5867 . . 3  |-  ( I `
 x )  e. 
_V
21dfiin2 4353 . 2  |-  |^|_ x  e.  T  ( I `  x )  =  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }
3 dihglblem5.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dihglblem5.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 35782 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  U  e.  LMod )
7 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  T  C_  B )
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
108, 9sseldd 3498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  B )
11 dihglblem5.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglblem5.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 35922 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  B
)  ->  ( I `  x )  e.  S
)
157, 10, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( I `  x
)  e.  S )
1615ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
17 uniiunlem 3581 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  T  (
I `  x )  e.  S  ->  ( A. x  e.  T  (
I `  x )  e.  S  <->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  C_  S ) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  T  ( I `  x )  e.  S  <->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  C_  S
) )
1916, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  C_  S )
20 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  T  =/=  (/) )
21 n0 3787 . . . . 5  |-  ( T  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  T )
2220, 21sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  T )
23 nfre1 2918 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  e.  T  y  =  ( I `  x )
2423nfab 2626 . . . . . 6  |-  F/_ x { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }
25 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ x (/)
2624, 25nfne 2791 . . . . 5  |-  F/ x { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/)
271elabrex 6134 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  (
I `  x )  e.  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) } )
28 ne0i 3784 . . . . . 6  |-  ( ( I `  x )  e.  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  T  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3026, 29exlimi 1854 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  T  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3122, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3213lssintcl 17386 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  {
y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  C_  S  /\  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  e.  S )
336, 19, 31, 32syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  e.  S )
342, 33syl5eqel 2552 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2445    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   (/)c0 3778   |^|cint 4275   |^|_ciin 4319   ` cfv 5579   Basecbs 14479   glbcglb 15419   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750   DIsoHcdih 35900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901
This theorem is referenced by:  dihglblem6  36012
  Copyright terms: Public domain W3C validator