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Theorem dihglblem2N 34327
Description: The GLB of a set of lattice elements  S is the same as that of the set  T with elements of  S cut down to be under  W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem.t  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Distinct variable groups:    v, u,  ./\    u, B    u, S, v   
u, W, v
Allowed substitution hints:    B( v)    T( v, u)    G( v, u)    H( v, u)    K( v, u)   
.<_ ( v, u)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihglblem.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dihglblem.g . 2  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 simpl1l 1050 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5 hllat 32394 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
7 simp1l 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
8 hlclat 32389 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
10 dihglblem.t . . . . . 6  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
11 ssrab2 3526 . . . . . 6  |-  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  C_  B
1210, 11eqsstri 3474 . . . . 5  |-  T  C_  B
131, 3clatglbcl 16070 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( G `  T )  e.  B )
149, 12, 13sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  T
)  e.  B )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  e.  B )
16 simpl2 1003 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1816, 17sseldd 3445 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
19 simpl1r 1051 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
20 dihglblem.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
211, 20lhpbase 33028 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
23 dihglblem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
241, 23latmcl 16008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  e.  B )
256, 18, 22, 24syl3anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  B )
264, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
27 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
28 oveq1 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
2928eqeq2d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  W
)  =  ( v 
./\  W )  <->  ( x  ./\ 
W )  =  ( x  ./\  W )
) )
3029rspcev 3162 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  ( x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
3117, 27, 30syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
32 eqeq1 2408 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( u  =  ( v  ./\  W )  <->  ( x  ./\  W )  =  ( v 
./\  W ) ) )
3332rexbidv 2920 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  ( x  ./\  W )  =  ( v  ./\  W ) ) )
3433elrab 3209 . . . . . 6  |-  ( ( x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  <->  ( (
x  ./\  W )  e.  B  /\  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
) )
3525, 31, 34sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) } )
3635, 10syl6eleqr 2503 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  T )
371, 2, 3clatglble 16081 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  ( x 
./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3812, 37mp3an2 1316 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
x  ./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3926, 36, 38syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
401, 2, 23latmle1 16032 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  .<_  x )
416, 18, 22, 40syl3anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  .<_  x )
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 16014 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  x )
43 eqeq1 2408 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
4443rexbidv 2920 . . . . . . 7  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
45 oveq1 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
v  ./\  W )  =  ( y  ./\  W ) )
4645eqeq2d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
w  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4746cbvrexv 3037 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )
4844, 47syl6bb 263 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4948, 10elrab2 3211 . . . . 5  |-  ( w  e.  T  <->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
50 simp3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
51 simp13 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  A. x  e.  S  z  .<_  x )
52 breq2 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  y ) )
5352rspcva 3160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  A. x  e.  S  z 
.<_  x )  ->  z  .<_  y )
5450, 51, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  y )
55 simp11l 1110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  HL )
56553ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5756, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
58 simp12 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  e.  B )
5956, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
60 simp112 1129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
611, 3clatglbcl 16070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
6259, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
63 simp11r 1111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  W  e.  H )
64633ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  H )
6564, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  B )
661, 2, 3clatleglb 16082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6759, 58, 60, 66syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6851, 67mpbird 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( G `  S
) )
69 simp113 1130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  W )
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 16014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  W )
7160, 50sseldd 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
721, 2, 23latlem12 16034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  B  /\  y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7454, 70, 73mpbi2and 924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( y  ./\  W
) )
75743expia 1201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
z  .<_  ( y  ./\  W ) ) )
76 breq2 4401 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  ( z  .<_  w  <->  z  .<_  ( y 
./\  W ) ) )
7776biimprcd 227 . . . . . . . 8  |-  ( z 
.<_  ( y  ./\  W
)  ->  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
7875, 77syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w )
) )
7978rexlimdv 2896 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  ( E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
8079expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( (
w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )  ->  z  .<_  w ) )
8149, 80syl5bi 219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( w  e.  T  ->  z  .<_  w ) )
8281ralrimiv 2818 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  A. w  e.  T  z  .<_  w )
8355, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  CLat )
84 simp2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  e.  B )
851, 2, 3clatleglb 16082 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  T  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8612, 85mp3an3 1317 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8783, 84, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( z  .<_  ( G `  T
)  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8882, 87mpbird 234 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  .<_  ( G `  T ) )
89 simp2 1000 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 16073 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3416   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   lecple 14918   glbcglb 15898   meetcmee 15900   Latclat 16001   CLatccla 16063   HLchlt 32381   LHypclh 33014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-poset 15901  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-lat 16002  df-clat 16064  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382  df-lhyp 33018
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  34328  dihglblem3aN  34329
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