Theorem dihglblem2N 31777

Description: The GLB of a set of lattice elements S is the same as that of the set T with elements of S cut down to be under W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	|- B = ( Base ` K )
dihglblem.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihglblem.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihglblem.g	|- G = ( glb ` K )
dihglblem.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglblem.t	|- T = { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) }

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` S ) = ( G ` T ) )

Distinct variable groups:   v, u, ./\   u, B   u, S, v   u, W, v

Allowed substitution hints:   B( v)   T( v, u)   G( v, u)   H( v, u)   K( v, u)   .<_ ( v, u)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		dihglblem.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		dihglblem.g	. 2 |- G = ( glb ` K )
4		simpl1l 1008	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. HL )
5		hllat 29846	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
7		simp1l 981	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> K e. HL )
8		hlclat 29841	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
9	7, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> K e. CLat )
10		dihglblem.t	. . . . . 6 |- T = { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) }
11		ssrab2 3388	. . . . . 6 |- { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } C_ B
12	10, 11	eqsstri 3338	. . . . 5 |- T C_ B
13	1, 3	clatglbcl 14496	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ B ) -> ( G ` T ) e. B )
14	9, 12, 13	sylancl 644	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` T ) e. B )
15	14	adantr 452	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) e. B )
16		simpl2 961	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> S C_ B )
17		simpr 448	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> x e. S )
18	16, 17	sseldd 3309	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> x e. B )
19		simpl1r 1009	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> W e. H )
20		dihglblem.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
21	1, 20	lhpbase 30480	. . . . 5 |- ( W e. H -> W e. B )
22	19, 21	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> W e. B )
23		dihglblem.m	. . . . 5 |- ./\ = ( meet ` K )
24	1, 23	latmcl 14435	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ x e. B /\ W e. B ) -> ( x ./\ W ) e. B )
25	6, 18, 22, 24	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. B )
26	4, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
27		eqidd 2405	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) )
28		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( v = x -> ( v ./\ W ) = ( x ./\ W ) )
29	28	eqeq2d 2415	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) <-> ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) ) )
30	29	rspcev 3012	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) ) -> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) )
31	17, 27, 30	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) )
32		eqeq1 2410	. . . . . . . 8 |- ( u = ( x ./\ W ) -> ( u = ( v ./\ W ) <-> ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
33	32	rexbidv 2687	. . . . . . 7 |- ( u = ( x ./\ W ) -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
34	33	elrab 3052	. . . . . 6 |- ( ( x ./\ W ) e. { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } <-> ( ( x ./\ W ) e. B /\ E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
35	25, 31, 34	sylanbrc 646	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } )
36	35, 10	syl6eleqr 2495	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. T )
37	1, 2, 3	clatglble 14507	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ ( x ./\ W ) e. T ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
38	12, 37	mp3an2 1267	. . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ ( x ./\ W ) e. T ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
39	26, 36, 38	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
40	1, 2, 23	latmle1 14460	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ x e. B /\ W e. B ) -> ( x ./\ W ) .<_ x )
41	6, 18, 22, 40	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) .<_ x )
42	1, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41	lattrd 14442	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) .<_ x )
43		eqeq1 2410	. . . . . . . 8 |- ( u = w -> ( u = ( v ./\ W ) <-> w = ( v ./\ W ) ) )
44	43	rexbidv 2687	. . . . . . 7 |- ( u = w -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. v e. S w = ( v ./\ W ) ) )
45		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( v ./\ W ) = ( y ./\ W ) )
46	45	eqeq2d 2415	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( w = ( v ./\ W ) <-> w = ( y ./\ W ) ) )
47	46	cbvrexv 2893	. . . . . . 7 |- ( E. v e. S w = ( v ./\ W ) <-> E. y e. S w = ( y ./\ W ) )
48	44, 47	syl6bb 253	. . . . . 6 |- ( u = w -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) )
49	48, 10	elrab2 3054	. . . . 5 |- ( w e. T <-> ( w e. B /\ E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) )
50		simp3 959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> y e. S )
51		simp13 989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> A. x e. S z .<_ x )
52		breq2 4176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( z .<_ x <-> z .<_ y ) )
53	52	rspcva 3010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z .<_ y )
54	50, 51, 53	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ y )
55		simp11l 1068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> K e. HL )
56	55	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. HL )
57	56, 5	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. Lat )
58		simp12 988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z e. B )
59	56, 8	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. CLat )
60		simp112 1087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> S C_ B )
61	1, 3	clatglbcl 14496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )
62	59, 60, 61	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) e. B )
63		simp11r 1069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> W e. H )
64	63	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> W e. H )
65	64, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> W e. B )
66	1, 2, 3	clatleglb 14508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B /\ S C_ B ) -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> A. x e. S z .<_ x ) )
67	59, 58, 60, 66	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> A. x e. S z .<_ x ) )
68	51, 67	mpbird 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ ( G ` S ) )
69		simp113 1088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) .<_ W )
70	1, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69	lattrd 14442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ W )
71	60, 50	sseldd 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> y e. B )
72	1, 2, 23	latlem12 14462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( z e. B /\ y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( z .<_ y /\ z .<_ W ) <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
73	57, 58, 71, 65, 72	syl13anc 1186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( ( z .<_ y /\ z .<_ W ) <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
74	54, 70, 73	mpbi2and 888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ ( y ./\ W ) )
75	74	3expia 1155	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( y e. S -> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
76		breq2 4176	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( y ./\ W ) -> ( z .<_ w <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
77	76	biimprcd 217	. . . . . . . 8 |- ( z .<_ ( y ./\ W ) -> ( w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) )
78	75, 77	syl6 31	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( y e. S -> ( w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) ) )
79	78	rexlimdv 2789	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( E. y e. S w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) )
80	79	expimpd 587	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( ( w e. B /\ E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) -> z .<_ w ) )
81	49, 80	syl5bi 209	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( w e. T -> z .<_ w ) )
82	81	ralrimiv 2748	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> A. w e. T z .<_ w )
83	55, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> K e. CLat )
84		simp2 958	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z e. B )
85	1, 2, 3	clatleglb 14508	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B /\ T C_ B ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
86	12, 85	mp3an3 1268	. . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
87	83, 84, 86	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
88	82, 87	mpbird 224	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z .<_ ( G ` T ) )
89		simp2 958	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> S C_ B )
90	1, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14	isglbd 14499	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` S ) = ( G ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   glbcglb 14355   meetcmee 14357   Latclat 14429   CLatccla 14491   HLchlt 29833   LHypclh 30466

This theorem is referenced by:  dihglblem3N  31778  dihglblem3aN  31779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-lat 14430  df-clat 14492  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lhyp 30470