Theorem dihglblem2N 36091

Description: The GLB of a set of lattice elements S is the same as that of the set T with elements of S cut down to be under W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	|- B = ( Base ` K )
dihglblem.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihglblem.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihglblem.g	|- G = ( glb ` K )
dihglblem.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglblem.t	|- T = { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) }

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` S ) = ( G ` T ) )

Distinct variable groups:   v, u, ./\   u, B   u, S, v   u, W, v

Allowed substitution hints:   B( v)   T( v, u)   G( v, u)   H( v, u)   K( v, u)   .<_ ( v, u)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		dihglblem.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		dihglblem.g	. 2 |- G = ( glb ` K )
4		simpl1l 1047	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. HL )
5		hllat 34160	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
7		simp1l 1020	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> K e. HL )
8		hlclat 34155	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
9	7, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> K e. CLat )
10		dihglblem.t	. . . . . 6 |- T = { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) }
11		ssrab2 3585	. . . . . 6 |- { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } C_ B
12	10, 11	eqsstri 3534	. . . . 5 |- T C_ B
13	1, 3	clatglbcl 15597	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ B ) -> ( G ` T ) e. B )
14	9, 12, 13	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` T ) e. B )
15	14	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) e. B )
16		simpl2 1000	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> S C_ B )
17		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> x e. S )
18	16, 17	sseldd 3505	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> x e. B )
19		simpl1r 1048	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> W e. H )
20		dihglblem.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
21	1, 20	lhpbase 34794	. . . . 5 |- ( W e. H -> W e. B )
22	19, 21	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> W e. B )
23		dihglblem.m	. . . . 5 |- ./\ = ( meet ` K )
24	1, 23	latmcl 15535	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ x e. B /\ W e. B ) -> ( x ./\ W ) e. B )
25	6, 18, 22, 24	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. B )
26	4, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
27		eqidd 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) )
28		oveq1 6289	. . . . . . . . 9 |- ( v = x -> ( v ./\ W ) = ( x ./\ W ) )
29	28	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) <-> ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) ) )
30	29	rspcev 3214	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) ) -> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) )
31	17, 27, 30	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) )
32		eqeq1 2471	. . . . . . . 8 |- ( u = ( x ./\ W ) -> ( u = ( v ./\ W ) <-> ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
33	32	rexbidv 2973	. . . . . . 7 |- ( u = ( x ./\ W ) -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
34	33	elrab 3261	. . . . . 6 |- ( ( x ./\ W ) e. { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } <-> ( ( x ./\ W ) e. B /\ E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
35	25, 31, 34	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } )
36	35, 10	syl6eleqr 2566	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. T )
37	1, 2, 3	clatglble 15608	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ ( x ./\ W ) e. T ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
38	12, 37	mp3an2 1312	. . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ ( x ./\ W ) e. T ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
39	26, 36, 38	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
40	1, 2, 23	latmle1 15559	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ x e. B /\ W e. B ) -> ( x ./\ W ) .<_ x )
41	6, 18, 22, 40	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) .<_ x )
42	1, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41	lattrd 15541	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) .<_ x )
43		eqeq1 2471	. . . . . . . 8 |- ( u = w -> ( u = ( v ./\ W ) <-> w = ( v ./\ W ) ) )
44	43	rexbidv 2973	. . . . . . 7 |- ( u = w -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. v e. S w = ( v ./\ W ) ) )
45		oveq1 6289	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( v ./\ W ) = ( y ./\ W ) )
46	45	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( w = ( v ./\ W ) <-> w = ( y ./\ W ) ) )
47	46	cbvrexv 3089	. . . . . . 7 |- ( E. v e. S w = ( v ./\ W ) <-> E. y e. S w = ( y ./\ W ) )
48	44, 47	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( u = w -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) )
49	48, 10	elrab2 3263	. . . . 5 |- ( w e. T <-> ( w e. B /\ E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) )
50		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> y e. S )
51		simp13 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> A. x e. S z .<_ x )
52		breq2 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( z .<_ x <-> z .<_ y ) )
53	52	rspcva 3212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z .<_ y )
54	50, 51, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ y )
55		simp11l 1107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> K e. HL )
56	55	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. HL )
57	56, 5	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. Lat )
58		simp12 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z e. B )
59	56, 8	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. CLat )
60		simp112 1126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> S C_ B )
61	1, 3	clatglbcl 15597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )
62	59, 60, 61	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) e. B )
63		simp11r 1108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> W e. H )
64	63	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> W e. H )
65	64, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> W e. B )
66	1, 2, 3	clatleglb 15609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B /\ S C_ B ) -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> A. x e. S z .<_ x ) )
67	59, 58, 60, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> A. x e. S z .<_ x ) )
68	51, 67	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ ( G ` S ) )
69		simp113 1127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) .<_ W )
70	1, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69	lattrd 15541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ W )
71	60, 50	sseldd 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> y e. B )
72	1, 2, 23	latlem12 15561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( z e. B /\ y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( z .<_ y /\ z .<_ W ) <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
73	57, 58, 71, 65, 72	syl13anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( ( z .<_ y /\ z .<_ W ) <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
74	54, 70, 73	mpbi2and 919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ ( y ./\ W ) )
75	74	3expia 1198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( y e. S -> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
76		breq2 4451	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( y ./\ W ) -> ( z .<_ w <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
77	76	biimprcd 225	. . . . . . . 8 |- ( z .<_ ( y ./\ W ) -> ( w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) )
78	75, 77	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( y e. S -> ( w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) ) )
79	78	rexlimdv 2953	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( E. y e. S w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) )
80	79	expimpd 603	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( ( w e. B /\ E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) -> z .<_ w ) )
81	49, 80	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( w e. T -> z .<_ w ) )
82	81	ralrimiv 2876	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> A. w e. T z .<_ w )
83	55, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> K e. CLat )
84		simp2 997	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z e. B )
85	1, 2, 3	clatleglb 15609	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B /\ T C_ B ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
86	12, 85	mp3an3 1313	. . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
87	83, 84, 86	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
88	82, 87	mpbird 232	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z .<_ ( G ` T ) )
89		simp2 997	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> S C_ B )
90	1, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14	isglbd 15600	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` S ) = ( G ` T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   glbcglb 15426   meetcmee 15428   Latclat 15528   CLatccla 15590   HLchlt 34147   LHypclh 34780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15429  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-lat 15529  df-clat 15591  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-lhyp 34784

This theorem is referenced by:  dihglblem3N  36092  dihglblem3aN  36093