Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem2N Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dihglblem2N 34856
 Description: The GLB of a set of lattice elements is the same as that of the set with elements of cut down to be under . (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b
dihglblem.l
dihglblem.m
dihglblem.g
dihglblem.h
dihglblem.t
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2
2 dihglblem.l . 2
3 dihglblem.g . 2
4 simpl1l 1058 . . . 4
5 hllat 32923 . . . 4
64, 5syl 17 . . 3
7 simp1l 1031 . . . . . 6
8 hlclat 32918 . . . . . 6
97, 8syl 17 . . . . 5
10 dihglblem.t . . . . . 6
11 ssrab2 3513 . . . . . 6
1210, 11eqsstri 3461 . . . . 5
131, 3clatglbcl 16353 . . . . 5
149, 12, 13sylancl 667 . . . 4
16 simpl2 1011 . . . . 5
17 simpr 463 . . . . 5
1816, 17sseldd 3432 . . . 4
19 simpl1r 1059 . . . . 5
20 dihglblem.h . . . . . 6
211, 20lhpbase 33557 . . . . 5
2219, 21syl 17 . . . 4
23 dihglblem.m . . . . 5
241, 23latmcl 16291 . . . 4
256, 18, 22, 24syl3anc 1267 . . 3
264, 8syl 17 . . . 4
27 eqidd 2451 . . . . . . 7
28 oveq1 6295 . . . . . . . . 9
2928eqeq2d 2460 . . . . . . . 8
3029rspcev 3149 . . . . . . 7
3117, 27, 30syl2anc 666 . . . . . 6
32 eqeq1 2454 . . . . . . . 8
3332rexbidv 2900 . . . . . . 7
3433elrab 3195 . . . . . 6
3525, 31, 34sylanbrc 669 . . . . 5
3635, 10syl6eleqr 2539 . . . 4
371, 2, 3clatglble 16364 . . . . 5
3812, 37mp3an2 1351 . . . 4
3926, 36, 38syl2anc 666 . . 3
401, 2, 23latmle1 16315 . . . 4
416, 18, 22, 40syl3anc 1267 . . 3
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 16297 . 2
43 eqeq1 2454 . . . . . . . 8
4443rexbidv 2900 . . . . . . 7
45 oveq1 6295 . . . . . . . . 9
4645eqeq2d 2460 . . . . . . . 8
4746cbvrexv 3019 . . . . . . 7
4844, 47syl6bb 265 . . . . . 6
4948, 10elrab2 3197 . . . . 5
50 simp3 1009 . . . . . . . . . . 11
51 simp13 1039 . . . . . . . . . . 11
52 breq2 4405 . . . . . . . . . . . 12
5352rspcva 3147 . . . . . . . . . . 11
5450, 51, 53syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
55 simp11l 1118 . . . . . . . . . . . . 13
56553ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . 12
5756, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11
58 simp12 1038 . . . . . . . . . . 11
5956, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12
60 simp112 1137 . . . . . . . . . . . 12
611, 3clatglbcl 16353 . . . . . . . . . . . 12
6259, 60, 61syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
63 simp11r 1119 . . . . . . . . . . . . 13
64633ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . 12
6564, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11
661, 2, 3clatleglb 16365 . . . . . . . . . . . . 13
6759, 58, 60, 66syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12
6851, 67mpbird 236 . . . . . . . . . . 11
69 simp113 1138 . . . . . . . . . . 11
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 16297 . . . . . . . . . 10
7160, 50sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11
721, 2, 23latlem12 16317 . . . . . . . . . . 11
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1269 . . . . . . . . . 10
7454, 70, 73mpbi2and 931 . . . . . . . . 9
75743expia 1209 . . . . . . . 8
76 breq2 4405 . . . . . . . . 9
7776biimprcd 229 . . . . . . . 8
7875, 77syl6 34 . . . . . . 7
7978rexlimdv 2876 . . . . . 6
8079expimpd 607 . . . . 5
8149, 80syl5bi 221 . . . 4
8281ralrimiv 2799 . . 3
8355, 8syl 17 . . . 4
84 simp2 1008 . . . 4
851, 2, 3clatleglb 16365 . . . . 5
8612, 85mp3an3 1352 . . . 4
8783, 84, 86syl2anc 666 . . 3
8882, 87mpbird 236 . 2
89 simp2 1008 . 2
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 16356 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  crab 2740   wss 3403   class class class wbr 4401  cfv 5581  (class class class)co 6288  cbs 15114  cple 15190  cglb 16181  cmee 16183  clat 16284  ccla 16346  chlt 32910  clh 33543 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-poset 16184  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-lat 16285  df-clat 16347  df-atl 32858  df-cvlat 32882  df-hlat 32911  df-lhyp 33547 This theorem is referenced by:  dihglblem3N  34857  dihglblem3aN  34858
 Copyright terms: Public domain W3C validator