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Theorem dihglbcpreN 37170
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane  W. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglbc.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglbc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglbc.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglbc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglbcpre.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihglbcpre.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglbcpre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglbcpre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihglbcpre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihglbcpre.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihglbcpre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihglbcpre.f  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Distinct variable groups:    x, q,  ./\    g, q, x,  .<_    x,  .\/    A, g, q, x    B, q, x    x, E    x, F    G, q, x    g, H, q, x    I, q   
g, K, q, x    P, g    x, R    S, q, x    T, g, x   
g, W, q, x
Allowed substitution hints:    B( g)    P( x, q)    R( g, q)    S( g)    T( q)    E( g, q)    F( g, q)    G( g)    I( x, g)    .\/ ( g, q)    ./\ ( g)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihglbc.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
31, 2dihvalrel 37149 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
433ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
5 simp2r 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  =/=  (/) )
6 n0 3803 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  x  e.  S )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
9 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 2dihvalrel 37149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  Rel  ( I `  x
) )
128, 11jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1312ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
1413eximdv 1711 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
157, 14mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
16 df-rex 2813 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1715, 16sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
18 reliin 5133 . . 3  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
20 id 22 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W ) )
21 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp1l 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
23 hlclat 35226 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
25 simp2l 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
26 dihglbc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
27 dihglbc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
2826, 27clatglbcl 15871 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
2924, 25, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  e.  B )
30 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  -.  ( G `  S
)  .<_  W )
31 dihglbc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 dihglbcpre.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 dihglbcpre.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 dihglbcpre.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 35891 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
3621, 29, 30, 35syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
37 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3829adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( G `  S )  e.  B )
39 simpl3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
40 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  q )
46 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
47 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 37119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
50 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
51 r19.28zv 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
( f  e.  T  /\  s  e.  E
)  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
53 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simp12l 1109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
55 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5654, 55sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
57 simp13 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
58 simp11l 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5958, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
6026, 31, 27clatglble 15882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
6159, 54, 55, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
62 hllat 35231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
6358, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
64293ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
65 simp11r 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
6626, 1lhpbase 35865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
6826, 31lattr 15813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  S )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
6963, 64, 56, 67, 68syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
7061, 69mpand 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .<_  W  ->  ( G `  S )  .<_  W ) )
7157, 70mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  .<_  W )
72 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
73 simp2ll 1063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  A )
7426, 34atbase 35157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  B )
7626, 33latmcl 15809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  S )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7763, 64, 67, 76syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7826, 31, 32latlej1 15817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  ( ( G `  S )  ./\  W
)  e.  B )  ->  q  .<_  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) ) )
7963, 75, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( q  .\/  (
( G `  S
)  ./\  W )
) )
80 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S
) )
8179, 80breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( G `  S
) )
8226, 31, 63, 75, 64, 56, 81, 61lattrd 15815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  x )
8326, 31, 32, 33, 34atmod3i1 35731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( q  e.  A  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  q  .<_  x )  ->  ( q  .\/  ( x  ./\  W
) )  =  ( x  ./\  ( q  .\/  W ) ) )
8458, 73, 56, 67, 82, 83syl131anc 1241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  ( x  ./\  (
q  .\/  W )
) )
85 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8631, 32, 85, 34, 1lhpjat2 35888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( q  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8753, 72, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
8887oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( q  .\/  W ) )  =  ( x  ./\  ( 1. `  K ) ) )
89 hlol 35229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
9058, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  OL )
9126, 33, 85olm11 35095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OL  /\  x  e.  B )  ->  ( x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9290, 56, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9384, 88, 923eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  x )
9426, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 37119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  x  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( x  ./\  W ) )  =  x ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9553, 56, 71, 72, 93, 94syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
96953expa 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9796ralbidva 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
98 simp11l 1107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  HL )
9998, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  CLat )
100 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
102 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
10331, 34, 1, 41lhpocnel2 35886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
105 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
10631, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 36448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
107100, 104, 105, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  F  e.  T )
1081, 42, 44tendocl 36636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( s `  F )  e.  T
)
109100, 102, 107, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( s `  F
)  e.  T )
1101, 42ltrncnv 36013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s `  F )  e.  T
)  ->  `' (
s `  F )  e.  T )
111100, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  `' ( s `  F )  e.  T
)
1121, 42ltrnco 36588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T  /\  `' ( s `  F )  e.  T
)  ->  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )
113100, 101, 111, 112syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( f  o.  `' ( s `  F
) )  e.  T
)
11426, 1, 42, 43trlcl 36032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B )
115100, 113, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B
)
116 simp12l 1109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  S  C_  B )
11726, 31, 27clatleglb 15883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  .<_  ( G `
 S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x ) )
11899, 115, 116, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
1191183expa 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  ->  ( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
)  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
120119pm5.32da 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
12152, 97, 1203bitr4rd 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
122 opex 4720 . . . . . . . . . 10  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
123 eliin 4338 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
125121, 124syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) ) )
12649, 125bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
127126exp44 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  ( ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) ) )
128127imp4a 589 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) )
129128rexlimdv 2947 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) )
13036, 129mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
131130eqrelrdv2 5111 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1324, 19, 20, 131syl21anc 1227 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   <.cop 4038   |^|_ciin 4333   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007    o. ccom 5012   Rel wrel 5013   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   lecple 14719   occoc 14720   glbcglb 15699   joincjn 15700   meetcmee 15701   1.cp1 15795   Latclat 15802   CLatccla 15864   OLcol 35042   Atomscatm 35131   HLchlt 35218   LHypclh 35851   LTrncltrn 35968   trLctrl 36026   TEndoctendo 36621   DIsoHcdih 37098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099
This theorem is referenced by:  dihglbcN  37171
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