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Theorem dihglbcpreN 34300
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane  W. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglbc.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglbc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglbc.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglbc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglbcpre.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihglbcpre.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglbcpre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglbcpre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihglbcpre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihglbcpre.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihglbcpre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihglbcpre.f  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Distinct variable groups:    x, q,  ./\    g, q, x,  .<_    x,  .\/    A, g, q, x    B, q, x    x, E    x, F    G, q, x    g, H, q, x    I, q   
g, K, q, x    P, g    x, R    S, q, x    T, g, x   
g, W, q, x
Allowed substitution hints:    B( g)    P( x, q)    R( g, q)    S( g)    T( q)    E( g, q)    F( g, q)    G( g)    I( x, g)    .\/ ( g, q)    ./\ ( g)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihglbc.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
31, 2dihvalrel 34279 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
433ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
5 simp2r 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  =/=  (/) )
6 n0 3747 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  x  e.  S )
8 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
9 simpl1 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 2dihvalrel 34279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  Rel  ( I `  x
) )
128, 11jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1312ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
1413eximdv 1731 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
157, 14mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
16 df-rex 2759 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1715, 16sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
18 reliin 4943 . . 3  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1917, 18syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
20 id 22 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W ) )
21 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp1l 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
23 hlclat 32356 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
25 simp2l 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
26 dihglbc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
27 dihglbc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
2826, 27clatglbcl 16066 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
2924, 25, 28syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  e.  B )
30 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  -.  ( G `  S
)  .<_  W )
31 dihglbc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 dihglbcpre.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 dihglbcpre.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 dihglbcpre.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 33021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
3621, 29, 30, 35syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
37 simpl1 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3829adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( G `  S )  e.  B )
39 simpl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
40 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  q )
46 vex 3061 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
47 vex 3061 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 34249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
50 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
51 r19.28zv 3867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
( f  e.  T  /\  s  e.  E
)  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
53 simp11 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simp12l 1110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
55 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5654, 55sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
57 simp13 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
58 simp11l 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
6026, 31, 27clatglble 16077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
6159, 54, 55, 60syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
62 hllat 32361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
64293ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
65 simp11r 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
6626, 1lhpbase 32995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
6826, 31lattr 16008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  S )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
6963, 64, 56, 67, 68syl13anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
7061, 69mpand 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .<_  W  ->  ( G `  S )  .<_  W ) )
7157, 70mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  .<_  W )
72 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
73 simp2ll 1064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  A )
7426, 34atbase 32287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  B )
7626, 33latmcl 16004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  S )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7763, 64, 67, 76syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7826, 31, 32latlej1 16012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  ( ( G `  S )  ./\  W
)  e.  B )  ->  q  .<_  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) ) )
7963, 75, 77, 78syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( q  .\/  (
( G `  S
)  ./\  W )
) )
80 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S
) )
8179, 80breqtrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( G `  S
) )
8226, 31, 63, 75, 64, 56, 81, 61lattrd 16010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  x )
8326, 31, 32, 33, 34atmod3i1 32861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( q  e.  A  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  q  .<_  x )  ->  ( q  .\/  ( x  ./\  W
) )  =  ( x  ./\  ( q  .\/  W ) ) )
8458, 73, 56, 67, 82, 83syl131anc 1243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  ( x  ./\  (
q  .\/  W )
) )
85 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8631, 32, 85, 34, 1lhpjat2 33018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( q  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8753, 72, 86syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
8887oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( q  .\/  W ) )  =  ( x  ./\  ( 1. `  K ) ) )
89 hlol 32359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
9058, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  OL )
9126, 33, 85olm11 32225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OL  /\  x  e.  B )  ->  ( x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9290, 56, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9384, 88, 923eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  x )
9426, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 34249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  x  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( x  ./\  W ) )  =  x ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9553, 56, 71, 72, 93, 94syl122anc 1239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
96953expa 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9796ralbidva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
98 simp11l 1108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  HL )
9998, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  CLat )
100 simp11 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
102 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
10331, 34, 1, 41lhpocnel2 33016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
104100, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
105 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
10631, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 33578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
107100, 104, 105, 106syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  F  e.  T )
1081, 42, 44tendocl 33766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( s `  F )  e.  T
)
109100, 102, 107, 108syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( s `  F
)  e.  T )
1101, 42ltrncnv 33143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s `  F )  e.  T
)  ->  `' (
s `  F )  e.  T )
111100, 109, 110syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  `' ( s `  F )  e.  T
)
1121, 42ltrnco 33718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T  /\  `' ( s `  F )  e.  T
)  ->  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )
113100, 101, 111, 112syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( f  o.  `' ( s `  F
) )  e.  T
)
11426, 1, 42, 43trlcl 33162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B )
115100, 113, 114syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B
)
116 simp12l 1110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  S  C_  B )
11726, 31, 27clatleglb 16078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  .<_  ( G `
 S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x ) )
11899, 115, 116, 117syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
1191183expa 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  ->  ( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
)  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
120119pm5.32da 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
12152, 97, 1203bitr4rd 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
122 opex 4654 . . . . . . . . . 10  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
123 eliin 4276 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
125121, 124syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) ) )
12649, 125bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
127126exp44 611 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  ( ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) ) )
128127imp4a 587 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) )
129128rexlimdv 2893 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) )
13036, 129mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
131130eqrelrdv2 4922 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1324, 19, 20, 131syl21anc 1229 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   (/)c0 3737   <.cop 3977   |^|_ciin 4271   class class class wbr 4394   `'ccnv 4821    o. ccom 4826   Rel wrel 4827   ` cfv 5568   iota_crio 6238  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   lecple 14914   occoc 14915   glbcglb 15894   joincjn 15895   meetcmee 15896   1.cp1 15990   Latclat 15997   CLatccla 16059   OLcol 32172   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LTrncltrn 33098   trLctrl 33156   TEndoctendo 33751   DIsoHcdih 34228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229
This theorem is referenced by:  dihglbcN  34301
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