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Theorem dihglbcpreN 34837
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane  W. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglbc.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglbc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglbc.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglbc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglbcpre.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihglbcpre.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglbcpre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglbcpre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihglbcpre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihglbcpre.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihglbcpre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihglbcpre.f  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Distinct variable groups:    x, q,  ./\    g, q, x,  .<_    x,  .\/    A, g, q, x    B, q, x    x, E    x, F    G, q, x    g, H, q, x    I, q   
g, K, q, x    P, g    x, R    S, q, x    T, g, x   
g, W, q, x
Allowed substitution hints:    B( g)    P( x, q)    R( g, q)    S( g)    T( q)    E( g, q)    F( g, q)    G( g)    I( x, g)    .\/ ( g, q)    ./\ ( g)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihglbc.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
31, 2dihvalrel 34816 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
433ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
5 simp2r 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  =/=  (/) )
6 n0 3771 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
75, 6sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  x  e.  S )
8 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
9 simpl1 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 2dihvalrel 34816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  Rel  ( I `  x
) )
128, 11jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1312ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
1413eximdv 1758 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
157, 14mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
16 df-rex 2777 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1715, 16sylibr 215 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
18 reliin 4974 . . 3  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1917, 18syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
20 id 22 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W ) )
21 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp1l 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
23 hlclat 32893 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
25 simp2l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
26 dihglbc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
27 dihglbc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
2826, 27clatglbcl 16359 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
2924, 25, 28syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  e.  B )
30 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  -.  ( G `  S
)  .<_  W )
31 dihglbc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 dihglbcpre.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 dihglbcpre.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 dihglbcpre.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 33558 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
3621, 29, 30, 35syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
37 simpl1 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3829adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( G `  S )  e.  B )
39 simpl3 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
40 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T  ( g `  P
)  =  q )
46 vex 3083 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
47 vex 3083 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 34786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
50 simpl2r 1059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
51 r19.28zv 3894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
( f  e.  T  /\  s  e.  E
)  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
53 simp11 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simp12l 1118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
55 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5654, 55sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
57 simp13 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
58 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
6026, 31, 27clatglble 16370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
6159, 54, 55, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
62 hllat 32898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
64293ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
65 simp11r 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
6626, 1lhpbase 33532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
6826, 31lattr 16301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  S )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
6963, 64, 56, 67, 68syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
7061, 69mpand 679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .<_  W  ->  ( G `  S )  .<_  W ) )
7157, 70mtod 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  .<_  W )
72 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
73 simp2ll 1072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  A )
7426, 34atbase 32824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  B )
7626, 33latmcl 16297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  S )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7763, 64, 67, 76syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7826, 31, 32latlej1 16305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  ( ( G `  S )  ./\  W
)  e.  B )  ->  q  .<_  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) ) )
7963, 75, 77, 78syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( q  .\/  (
( G `  S
)  ./\  W )
) )
80 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S
) )
8179, 80breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( G `  S
) )
8226, 31, 63, 75, 64, 56, 81, 61lattrd 16303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  x )
8326, 31, 32, 33, 34atmod3i1 33398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( q  e.  A  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  q  .<_  x )  ->  ( q  .\/  ( x  ./\  W
) )  =  ( x  ./\  ( q  .\/  W ) ) )
8458, 73, 56, 67, 82, 83syl131anc 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  ( x  ./\  (
q  .\/  W )
) )
85 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8631, 32, 85, 34, 1lhpjat2 33555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( q  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8753, 72, 86syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
8887oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( q  .\/  W ) )  =  ( x  ./\  ( 1. `  K ) ) )
89 hlol 32896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
9058, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  OL )
9126, 33, 85olm11 32762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OL  /\  x  e.  B )  ->  ( x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9290, 56, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9384, 88, 923eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  x )
9426, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 34786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  x  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( x  ./\  W ) )  =  x ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9553, 56, 71, 72, 93, 94syl122anc 1273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
96953expa 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9796ralbidva 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
98 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  HL )
9998, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  CLat )
100 simp11 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
102 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
10331, 34, 1, 41lhpocnel2 33553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
104100, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
105 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
10631, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 34115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
107100, 104, 105, 106syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  F  e.  T )
1081, 42, 44tendocl 34303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( s `  F )  e.  T
)
109100, 102, 107, 108syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( s `  F
)  e.  T )
1101, 42ltrncnv 33680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s `  F )  e.  T
)  ->  `' (
s `  F )  e.  T )
111100, 109, 110syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  `' ( s `  F )  e.  T
)
1121, 42ltrnco 34255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T  /\  `' ( s `  F )  e.  T
)  ->  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )
113100, 101, 111, 112syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( f  o.  `' ( s `  F
) )  e.  T
)
11426, 1, 42, 43trlcl 33699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B )
115100, 113, 114syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B
)
116 simp12l 1118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  S  C_  B )
11726, 31, 27clatleglb 16371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  .<_  ( G `
 S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x ) )
11899, 115, 116, 117syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
1191183expa 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  ->  ( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
)  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
120119pm5.32da 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
12152, 97, 1203bitr4rd 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
122 opex 4685 . . . . . . . . . 10  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
123 eliin 4305 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
125121, 124syl6bbr 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) ) )
12649, 125bitrd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
127126exp44 616 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  ( ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) ) )
128127imp4a 592 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) )
129128rexlimdv 2912 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) )
13036, 129mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
131130eqrelrdv2 4953 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1324, 19, 20, 131syl21anc 1263 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   <.cop 4004   |^|_ciin 4300   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852    o. ccom 4857   Rel wrel 4858   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   occoc 15197   glbcglb 16187   joincjn 16188   meetcmee 16189   1.cp1 16283   Latclat 16290   CLatccla 16352   OLcol 32709   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518   LTrncltrn 33635   trLctrl 33693   TEndoctendo 34288   DIsoHcdih 34765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-riotaBAD 32494
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-undef 7031  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-0g 15339  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-lsm 17287  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-dvr 17910  df-drng 17976  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-lvec 18325  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-llines 33032  df-lplanes 33033  df-lvols 33034  df-lines 33035  df-psubsp 33037  df-pmap 33038  df-padd 33330  df-lhyp 33522  df-laut 33523  df-ldil 33638  df-ltrn 33639  df-trl 33694  df-tendo 34291  df-edring 34293  df-disoa 34566  df-dvech 34616  df-dib 34676  df-dic 34710  df-dih 34766
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