Theorem dihglb2 37212

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	|- B = ( Base ` K )
dihglb.g	|- G = ( glb ` K )
dihglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglb.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihglb2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihglb2.v	|- V = ( Base ` U )

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, K   x, S, y   y, B   y, H   y, I   y, K   y, S   y, V   y, W

Allowed substitution hints:   U( x, y)   G( x, y)   H( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		ssrab2 3581	. . . 4 |- { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B )
4		hlop 35230	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OP )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> K e. OP )
6		dihglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
7		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	6, 7	op1cl 35053	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 1. ` K ) e. B )
9	5, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. B )
10		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ V )
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 37156	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
17	10, 16	sseqtr4d 3536	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) )
18		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( I ` x ) = ( I ` ( 1. ` K ) ) )
19	18	sseq2d 3527	. . . . . 6 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
20	19	elrab 3257	. . . . 5 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( ( 1. ` K ) e. B /\ S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
21	9, 17, 20	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } )
22		ne0i 3799	. . . 4 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
23	21, 22	syl 16	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
24		dihglb.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
25	6, 24, 11, 12	dihglb 37211	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B /\ { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
26	1, 3, 23, 25	syl12anc 1226	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
27		fvex 5882	. . . 4 |- ( I ` z ) e. _V
28	27	dfiin2 4367	. . 3 |- |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) }
29	6, 11, 12	dihfn 37138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> I Fn B )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> I Fn B )
31		fvelrnb 5920	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn B -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
33		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` z ) = y <-> y = ( I ` z ) )
34	33	rexbii 2959	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z e. B y = ( I ` z ) )
35		df-rex 2813	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
36	34, 35	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
37	32, 36	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) )
38	37	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( S C_ y -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) ) )
39	38	pm5.32rd 640	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( ( y e. ran I /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) ) )
40		df-rex 2813	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) )
41		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( I ` x ) = ( I ` z ) )
42	41	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` z ) ) )
43	42	elrab 3257	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) )
44	43	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
45		sseq2 3521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( I ` z ) -> ( S C_ y <-> S C_ ( I ` z ) ) )
46	45	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( I ` z ) -> ( ( z e. B /\ S C_ y ) <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) ) )
47	46	pm5.32ri 638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
48		an32 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
49	44, 47, 48	3bitr2i 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
50	49	exbii 1668	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
51		19.41v 1772	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
52	40, 50, 51	3bitrri 272	. . . . . . 7 |- ( ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) )
53	39, 52	syl6rbb 262	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> ( y e. ran I /\ S C_ y ) ) )
54	53	abbidv 2593	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) } )
55		df-rab 2816	. . . . 5 |- { y e. ran I | S C_ y } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) }
56	54, 55	syl6eqr 2516	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y e. ran I | S C_ y } )
57	56	inteqd 4293	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
58	28, 57	syl5eq 2510	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
59	26, 58	eqtrd 2498	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3471   (/)c0 3793   |^|cint 4288   |^|_ciin 4333   ran crn 5009   Fn wfn 5589   ` cfv 5594   Basecbs 14644   glbcglb 15699   1.cp1 15795   OPcops 35040   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948   DIsoHcdih 37098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099

This theorem is referenced by:  dochval2  37222