Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Structured version   Unicode version

Theorem dihglb2 37212
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglb2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglb2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dihglb2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, K    x, S, y    y, B    y, H    y, I    y, K   
y, S    y, V    y, W
Allowed substitution hints:    U( x, y)    G( x, y)    H( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 ssrab2 3581 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
)
4 hlop 35230 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
54ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  K  e.  OP )
6 dihglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
86, 7op1cl 35053 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  B )
95, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  B
)
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  V
)
11 dihglb.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 dihglb.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglb2.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
14 dihglb2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
157, 11, 12, 13, 14dih1 37156 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  ( 1. `  K ) )  =  V )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( 1. `  K
) )  =  V )
1710, 16sseqtr4d 3536 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) )
18 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  (
I `  x )  =  ( I `  ( 1. `  K ) ) )
1918sseq2d 3527 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) ) )
2019elrab 3257 . . . . 5  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( ( 1. `  K )  e.  B  /\  S  C_  ( I `  ( 1. `  K ) ) ) )
219, 17, 20sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } )
22 ne0i 3799 . . . 4  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
24 dihglb.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
256, 24, 11, 12dihglb 37211 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } ) )  =  |^|_ z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) }  (
I `  z )
)
261, 3, 23, 25syl12anc 1226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
) )
27 fvex 5882 . . . 4  |-  ( I `
 z )  e. 
_V
2827dfiin2 4367 . . 3  |-  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }
296, 11, 12dihfn 37138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  I  Fn  B )
31 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  Fn  B  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
33 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  z )  =  y  <->  y  =  ( I `  z
) )
3433rexbii 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z  e.  B  y  =  ( I `  z
) )
35 df-rex 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( I `  z )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3732, 36syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) ) ) )
3837ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( S  C_  y  ->  ( y  e.  ran  I  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) ) ) )
3938pm5.32rd 640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( (
y  e.  ran  I  /\  S  C_  y )  <-> 
( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) ) )
40 df-rex 2813 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  E. z ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
41 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
I `  x )  =  ( I `  z ) )
4241sseq2d 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4342elrab 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) ) )
4443anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z ) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
45 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  ( S  C_  y  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4645anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  (
( z  e.  B  /\  S  C_  y )  <-> 
( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `
 z ) ) ) )
4746pm5.32ri 638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
48 an32 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
4944, 47, 483bitr2i 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
5049exbii 1668 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
51 19.41v 1772 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) )  /\  S  C_  y ) )
5240, 50, 513bitrri 272 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) )
5339, 52syl6rbb 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  ( y  e. 
ran  I  /\  S  C_  y ) ) )
5453abbidv 2593 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) } )
55 df-rab 2816 . . . . 5  |-  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) }
5654, 55syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y } )
5756inteqd 4293 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5828, 57syl5eq 2510 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^|_ z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5926, 58eqtrd 2498 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   |^|cint 4288   |^|_ciin 4333   ran crn 5009    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   Basecbs 14644   glbcglb 15699   1.cp1 15795   OPcops 35040   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948   DIsoHcdih 37098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099
This theorem is referenced by:  dochval2  37222
  Copyright terms: Public domain W3C validator