Theorem dihglb2 34835

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	|- B = ( Base ` K )
dihglb.g	|- G = ( glb ` K )
dihglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglb.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihglb2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihglb2.v	|- V = ( Base ` U )

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, K   x, S, y   y, B   y, H   y, I   y, K   y, S   y, V   y, W

Allowed substitution hints:   U( x, y)   G( x, y)   H( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		ssrab2 3547	. . . 4 |- { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B )
4		hlop 32853	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OP )
5	4	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> K e. OP )
6		dihglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
7		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	6, 7	op1cl 32676	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 1. ` K ) e. B )
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. B )
10		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ V )
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 34779	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
16	15	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
17	10, 16	sseqtr4d 3502	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) )
18		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( I ` x ) = ( I ` ( 1. ` K ) ) )
19	18	sseq2d 3493	. . . . . 6 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
20	19	elrab 3230	. . . . 5 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( ( 1. ` K ) e. B /\ S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
21	9, 17, 20	sylanbrc 669	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } )
22		ne0i 3768	. . . 4 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
24		dihglb.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
25	6, 24, 11, 12	dihglb 34834	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B /\ { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
26	1, 3, 23, 25	syl12anc 1263	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
27		fvex 5889	. . . 4 |- ( I ` z ) e. _V
28	27	dfiin2 4332	. . 3 |- |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) }
29	6, 11, 12	dihfn 34761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> I Fn B )
30	29	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> I Fn B )
31		fvelrnb 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn B -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
33		eqcom 2432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` z ) = y <-> y = ( I ` z ) )
34	33	rexbii 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z e. B y = ( I ` z ) )
35		df-rex 2782	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
36	34, 35	bitri 253	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
37	32, 36	syl6bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) )
38	37	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( S C_ y -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) ) )
39	38	pm5.32rd 645	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( ( y e. ran I /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) ) )
40		df-rex 2782	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) )
41		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( I ` x ) = ( I ` z ) )
42	41	sseq2d 3493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` z ) ) )
43	42	elrab 3230	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) )
44	43	anbi1i 700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
45		sseq2 3487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( I ` z ) -> ( S C_ y <-> S C_ ( I ` z ) ) )
46	45	anbi2d 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( I ` z ) -> ( ( z e. B /\ S C_ y ) <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) ) )
47	46	pm5.32ri 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
48		an32 806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
49	44, 47, 48	3bitr2i 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
50	49	exbii 1713	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
51		19.41v 1820	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
52	40, 50, 51	3bitrri 276	. . . . . . 7 |- ( ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) )
53	39, 52	syl6rbb 266	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> ( y e. ran I /\ S C_ y ) ) )
54	53	abbidv 2559	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) } )
55		df-rab 2785	. . . . 5 |- { y e. ran I | S C_ y } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) }
56	54, 55	syl6eqr 2482	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y e. ran I | S C_ y } )
57	56	inteqd 4258	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
58	28, 57	syl5eq 2476	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
59	26, 58	eqtrd 2464	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   {cab 2408   =/= wne 2619   E.wrex 2777   {crab 2780   C_ wss 3437   (/)c0 3762   |^|cint 4253   |^|_ciin 4298   ran crn 4852   Fn wfn 5594   ` cfv 5599   Basecbs 15114   glbcglb 16181   1.cp1 16277   OPcops 32663   HLchlt 32841   LHypclh 33474   DVecHcdvh 34571   DIsoHcdih 34721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-riotaBAD 32450

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-tpos 6979  df-undef 7026  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-lsm 17281  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319  df-lsatoms 32467  df-oposet 32667  df-ol 32669  df-oml 32670  df-covers 32757  df-ats 32758  df-atl 32789  df-cvlat 32813  df-hlat 32842  df-llines 32988  df-lplanes 32989  df-lvols 32990  df-lines 32991  df-psubsp 32993  df-pmap 32994  df-padd 33286  df-lhyp 33478  df-laut 33479  df-ldil 33594  df-ltrn 33595  df-trl 33650  df-tendo 34247  df-edring 34249  df-disoa 34522  df-dvech 34572  df-dib 34632  df-dic 34666  df-dih 34722

This theorem is referenced by:  dochval2  34845