Theorem dihglb2 34560

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	|- B = ( Base ` K )
dihglb.g	|- G = ( glb ` K )
dihglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglb.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihglb2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihglb2.v	|- V = ( Base ` U )

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, K   x, S, y   y, B   y, H   y, I   y, K   y, S   y, V   y, W

Allowed substitution hints:   U( x, y)   G( x, y)   H( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 454	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		ssrab2 3425	. . . 4 |- { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B )
4		hlop 32580	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OP )
5	4	ad2antrr 718	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> K e. OP )
6		dihglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
7		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	6, 7	op1cl 32403	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 1. ` K ) e. B )
9	5, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. B )
10		simpr 458	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ V )
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 34504	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
16	15	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
17	10, 16	sseqtr4d 3381	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) )
18		fveq2 5679	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( I ` x ) = ( I ` ( 1. ` K ) ) )
19	18	sseq2d 3372	. . . . . 6 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
20	19	elrab 3106	. . . . 5 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( ( 1. ` K ) e. B /\ S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
21	9, 17, 20	sylanbrc 657	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } )
22		ne0i 3631	. . . 4 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
23	21, 22	syl 16	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
24		dihglb.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
25	6, 24, 11, 12	dihglb 34559	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B /\ { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
26	1, 3, 23, 25	syl12anc 1209	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
27		fvex 5689	. . . 4 |- ( I ` z ) e. _V
28	27	dfiin2 4193	. . 3 |- |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) }
29	6, 11, 12	dihfn 34486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> I Fn B )
30	29	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> I Fn B )
31		fvelrnb 5727	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn B -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
33		eqcom 2435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` z ) = y <-> y = ( I ` z ) )
34	33	rexbii 2730	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z e. B y = ( I ` z ) )
35		df-rex 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
36	34, 35	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
37	32, 36	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) )
38	37	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( S C_ y -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) ) )
39	38	pm5.32rd 633	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( ( y e. ran I /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) ) )
40		df-rex 2711	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) )
41		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( I ` x ) = ( I ` z ) )
42	41	sseq2d 3372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` z ) ) )
43	42	elrab 3106	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) )
44	43	anbi1i 688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
45		sseq2 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( I ` z ) -> ( S C_ y <-> S C_ ( I ` z ) ) )
46	45	anbi2d 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( I ` z ) -> ( ( z e. B /\ S C_ y ) <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) ) )
47	46	pm5.32ri 631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
48		an32 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
49	44, 47, 48	3bitr2i 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
50	49	exbii 1634	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
51		19.41v 1918	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
52	40, 50, 51	3bitrri 272	. . . . . . 7 |- ( ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) )
53	39, 52	syl6rbb 262	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> ( y e. ran I /\ S C_ y ) ) )
54	53	abbidv 2547	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) } )
55		df-rab 2714	. . . . 5 |- { y e. ran I | S C_ y } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) }
56	54, 55	syl6eqr 2483	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y e. ran I | S C_ y } )
57	56	inteqd 4121	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
58	28, 57	syl5eq 2477	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
59	26, 58	eqtrd 2465	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   {cab 2419   =/= wne 2596   E.wrex 2706   {crab 2709   C_ wss 3316   (/)c0 3625   |^|cint 4116   |^|_ciin 4160   ran crn 4828   Fn wfn 5401   ` cfv 5406   Basecbs 14157   glbcglb 15096   1.cp1 15191   OPcops 32390   HLchlt 32568   LHypclh 33201   DVecHcdvh 34296   DIsoHcdih 34446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-riotaBAD 32177

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-undef 6778  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-0g 14363  df-poset 15099  df-plt 15111  df-lub 15127  df-glb 15128  df-join 15129  df-meet 15130  df-p0 15192  df-p1 15193  df-lat 15199  df-clat 15261  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-subg 15658  df-cntz 15815  df-lsm 16115  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-drng 16758  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-lvec 17106  df-lsatoms 32194  df-oposet 32394  df-ol 32396  df-oml 32397  df-covers 32484  df-ats 32485  df-atl 32516  df-cvlat 32540  df-hlat 32569  df-llines 32715  df-lplanes 32716  df-lvols 32717  df-lines 32718  df-psubsp 32720  df-pmap 32721  df-padd 33013  df-lhyp 33205  df-laut 33206  df-ldil 33321  df-ltrn 33322  df-trl 33376  df-tendo 33972  df-edring 33974  df-disoa 34247  df-dvech 34297  df-dib 34357  df-dic 34391  df-dih 34447

This theorem is referenced by:  dochval2  34570