Theorem dihglb2 34981

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	|- B = ( Base ` K )
dihglb.g	|- G = ( glb ` K )
dihglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglb.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihglb2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihglb2.v	|- V = ( Base ` U )

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, K   x, S, y   y, B   y, H   y, I   y, K   y, S   y, V   y, W

Allowed substitution hints:   U( x, y)   G( x, y)   H( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 464	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		ssrab2 3500	. . . 4 |- { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B )
4		hlop 32999	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OP )
5	4	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> K e. OP )
6		dihglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
7		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	6, 7	op1cl 32822	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 1. ` K ) e. B )
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. B )
10		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ V )
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 34925	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
16	15	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
17	10, 16	sseqtr4d 3455	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) )
18		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( I ` x ) = ( I ` ( 1. ` K ) ) )
19	18	sseq2d 3446	. . . . . 6 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
20	19	elrab 3184	. . . . 5 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( ( 1. ` K ) e. B /\ S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
21	9, 17, 20	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } )
22		ne0i 3728	. . . 4 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
24		dihglb.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
25	6, 24, 11, 12	dihglb 34980	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B /\ { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
26	1, 3, 23, 25	syl12anc 1290	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
27		fvex 5889	. . . 4 |- ( I ` z ) e. _V
28	27	dfiin2 4304	. . 3 |- |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) }
29	6, 11, 12	dihfn 34907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> I Fn B )
30	29	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> I Fn B )
31		fvelrnb 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn B -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
33		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` z ) = y <-> y = ( I ` z ) )
34	33	rexbii 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z e. B y = ( I ` z ) )
35		df-rex 2762	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
36	34, 35	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
37	32, 36	syl6bb 269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) )
38	37	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( S C_ y -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) ) )
39	38	pm5.32rd 652	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( ( y e. ran I /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) ) )
40		df-rex 2762	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) )
41		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( I ` x ) = ( I ` z ) )
42	41	sseq2d 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` z ) ) )
43	42	elrab 3184	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) )
44	43	anbi1i 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
45		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( I ` z ) -> ( S C_ y <-> S C_ ( I ` z ) ) )
46	45	anbi2d 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( I ` z ) -> ( ( z e. B /\ S C_ y ) <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) ) )
47	46	pm5.32ri 650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
48		an32 815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
49	44, 47, 48	3bitr2i 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
50	49	exbii 1726	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
51		19.41v 1838	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
52	40, 50, 51	3bitrri 280	. . . . . . 7 |- ( ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) )
53	39, 52	syl6rbb 270	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> ( y e. ran I /\ S C_ y ) ) )
54	53	abbidv 2589	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) } )
55		df-rab 2765	. . . . 5 |- { y e. ran I | S C_ y } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) }
56	54, 55	syl6eqr 2523	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y e. ran I | S C_ y } )
57	56	inteqd 4231	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
58	28, 57	syl5eq 2517	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
59	26, 58	eqtrd 2505	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   |^|cint 4226   |^|_ciin 4270   ran crn 4840   Fn wfn 5584   ` cfv 5589   Basecbs 15199   glbcglb 16266   1.cp1 16362   OPcops 32809   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717   DIsoHcdih 34867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868

This theorem is referenced by:  dochval2  34991