Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihcnvord Structured version   Unicode version

Theorem dihcnvord 37102
Description: Ordering property for converse of isomorphism H. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihcnvord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihcnvord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihcnvord.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihcnvord.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihcnvord.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
dihcnvord.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dihcnvord  |-  ( ph  ->  ( ( `' I `  X )  .<_  ( `' I `  Y )  <-> 
X  C_  Y )
)

Proof of Theorem dihcnvord
StepHypRef Expression
1 dihcnvord.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihcnvord.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 dihcnvord.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dihcnvord.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
63, 4, 5dihcnvcl 37099 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
71, 2, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
8 dihcnvord.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
93, 4, 5dihcnvcl 37099 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
101, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  Y )  e.  (
Base `  K )
)
11 dihcnvord.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
123, 11, 4, 5dihord 37092 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
I `  ( `' I `  X )
)  C_  ( I `  ( `' I `  Y ) )  <->  ( `' I `  X )  .<_  ( `' I `  Y ) ) )
131, 7, 10, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  ( `' I `  Y ) )  <->  ( `' I `  X )  .<_  ( `' I `  Y ) ) )
144, 5dihcnvid2 37101 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
151, 2, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  X ) )  =  X )
164, 5dihcnvid2 37101 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  Y )
)  =  Y )
171, 8, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  Y ) )  =  Y )
1815, 17sseq12d 3528 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  C_  ( I `  ( `' I `  Y ) )  <->  X  C_  Y
) )
1913, 18bitr3d 255 1  |-  ( ph  ->  ( ( `' I `  X )  .<_  ( `' I `  Y )  <-> 
X  C_  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ran crn 5009   ` cfv 5594   Basecbs 14643   lecple 14718   HLchlt 35176   LHypclh 35809   DIsoHcdih 37056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-tendo 36582  df-edring 36584  df-disoa 36857  df-dvech 36907  df-dib 36967  df-dic 37001  df-dih 37057
This theorem is referenced by:  dihoml4c  37204  djhcvat42  37243
  Copyright terms: Public domain W3C validator