Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihcnvid1 Structured version   Unicode version

Theorem dihcnvid1 35223
Description: The converse isomorphism of an isomorphism. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihcnvid1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihcnvid1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihcnvid1.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihcnvid1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( `' I `  ( I `  X ) )  =  X )

Proof of Theorem dihcnvid1
StepHypRef Expression
1 dihcnvid1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihcnvid1.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihcnvid1.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
5 eqid 2451 . . . 4  |-  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
61, 2, 3, 4, 5dihf11 35218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
7 f1f1orn 5750 . . 3  |-  ( I : B -1-1-> ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  ->  I : B
-1-1-onto-> ran  I )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-onto-> ran  I
)
9 f1ocnvfv1 6082 . 2  |-  ( ( I : B -1-1-onto-> ran  I  /\  X  e.  B
)  ->  ( `' I `  ( I `  X ) )  =  X )
108, 9sylan 471 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( `' I `  ( I `  X ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   `'ccnv 4937   ran crn 4939   -1-1->wf1 5513   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516   Basecbs 14276   LSubSpclss 17119   HLchlt 33301   LHypclh 33934   DVecHcdvh 35029   DIsoHcdih 35179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-riotaBAD 32910
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-tpos 6845  df-undef 6892  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-0g 14482  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-p1 15312  df-lat 15318  df-clat 15380  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-subg 15780  df-cntz 15937  df-lsm 16239  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-dvr 16881  df-drng 16940  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lsp 17159  df-lvec 17290  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-llines 33448  df-lplanes 33449  df-lvols 33450  df-lines 33451  df-psubsp 33453  df-pmap 33454  df-padd 33746  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055  df-trl 34109  df-tendo 34705  df-edring 34707  df-disoa 34980  df-dvech 35030  df-dib 35090  df-dic 35124  df-dih 35180
This theorem is referenced by:  dih0cnv  35234  dih1cnv  35239  dihatexv  35289  dochval2  35303  dochvalr2  35313  dochoc  35318  djhj  35355  dihjat6  35385
  Copyright terms: Public domain W3C validator