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Theorem dihatlat 34872
Description: The isomorphism H of an atom is a 1-dim subspace. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatlat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihatlat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihatlat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihatlat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihatlat.l  |-  L  =  (LSAtoms `  U )
Assertion
Ref Expression
dihatlat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A
)  ->  ( I `  Q )  e.  L
)

Proof of Theorem dihatlat
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 dihatlat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 dihatlat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
7 dihatlat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 dihatlat.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dih1dimb2 34779 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q ( le `  K ) W ) )  ->  E. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  ( I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >. } ) ) )
1110anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W )  ->  E. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  ( I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >. } ) ) )
12 simp3rr 1062 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) )
13 simp1l 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
144, 7, 13dvhlmod 34648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  U  e.  LMod )
15 simp3l 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
16 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
171, 4, 5, 16, 6tendo0cl 34327 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  (
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
19 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
204, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 34626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  <. g ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.  e.  ( Base `  U
) )
2113, 15, 18, 20syl12anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  e.  ( Base `  U ) )
22 simp3rl 1061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
2322neneqd 2619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  -.  g  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )
2423intnanrd 908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  -.  ( g  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) )
25 vex 2970 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
26 fvex 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
2726mptex 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  _V
2825, 27opth 4561 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  <->  ( g  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) )
2928necon3abii 2633 . . . . . . . 8  |-  ( <.
g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  =/=  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.  <->  -.  ( g  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) )
3024, 29sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  =/=  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.
)
31 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
321, 4, 5, 7, 31, 6dvh0g 34649 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  U
)  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.
)
3313, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  ( 0g `  U )  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. )
3430, 33neeqtrrd 2627 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  =/=  ( 0g `  U ) )
35 dihatlat.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LSAtoms `  U )
3619, 9, 31, 35lsatlspsn2 32530 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  e.  ( Base `  U )  /\  <.
g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } )  e.  L )
3714, 21, 34, 36syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  (
( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >. } )  e.  L
)
3812, 37eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W  /\  (
g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  (
I `  Q )  e.  L )
39383expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W )  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( g  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (
I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. g ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } ) ) ) )  ->  (
I `  Q )  e.  L )
4011, 39rexlimddv 2840 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  Q
( le `  K
) W )  -> 
( I `  Q
)  e.  L )
41 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( ( oc `  K ) `
 W )  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
42 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( f `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )  =  ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( f `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )
432, 3, 4, 41, 5, 8, 7, 9, 42dih1dimc 34780 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q
( le `  K
) W ) )  ->  ( I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } ) )
4443anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( I `  Q )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } ) )
45 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
464, 7, 45dvhlmod 34648 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  U  e.  LMod )
47 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
482, 47, 3, 4lhpocnel 33555 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  A  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W ) ( le
`  K ) W ) )
4948ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  e.  A  /\  -.  (
( oc `  K
) `  W )
( le `  K
) W ) )
50 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  Q  e.  A
)
51 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  -.  Q ( le `  K ) W )
522, 3, 4, 5, 42ltrniotacl 34116 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  e.  A  /\  -.  (
( oc `  K
) `  W )
( le `  K
) W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q ( le
`  K ) W ) )  ->  ( iota_ f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( f `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
5345, 49, 50, 51, 52syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
544, 5, 16tendoidcl 34306 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
5554ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
564, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 34626 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( f `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  e.  ( Base `  U
) )
5745, 53, 55, 56syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  e.  ( Base `  U
) )
581, 4, 5, 16, 6tendo1ne0 34365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  =/=  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  =/=  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )
6059neneqd 2619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  -.  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )
6160intnand 907 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  -.  ( ( iota_ f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( f `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  (  _I  |`  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) )
62 riotaex 6051 . . . . . . . 8  |-  ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( f `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )  e.  _V
63 resiexg 6509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  e.  _V )
6426, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  e.  _V
6562, 64opth 4561 . . . . . . 7  |-  ( <.
( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  <->  ( ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( f `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q )  =  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )  =  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) )
6665necon3abii 2633 . . . . . 6  |-  ( <.
( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  =/=  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >.  <->  -.  ( ( iota_ f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( f `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  (  _I  |`  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) )
6761, 66sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  =/=  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. )
6832ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( 0g `  U )  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. )
6967, 68neeqtrrd 2627 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  =/=  ( 0g `  U
) )
7019, 9, 31, 35lsatlspsn2 32530 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. (
iota_ f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( f `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >.  e.  ( Base `  U
)  /\  <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( f `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  Q ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K
) `  W )
) >.  =/=  ( 0g `  U ) )  -> 
( ( LSpan `  U
) `  { <. ( iota_ f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( f `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  Q ) ,  (  _I  |`  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  e.  L
)
7146, 57, 69, 70syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( ( LSpan `  U ) `  { <. ( iota_ f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( f `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  Q ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >. } )  e.  L
)
7244, 71eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A )  /\  -.  Q ( le `  K ) W )  ->  ( I `  Q )  e.  L
)
7340, 72pm2.61dan 789 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  A
)  ->  ( I `  Q )  e.  L
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   {csn 3872   <.cop 3878   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    _I cid 4626    |` cres 4837   ` cfv 5413   iota_crio 6046   Basecbs 14166   lecple 14237   occoc 14238   0gc0g 14370   LModclmod 16928   LSpanclspn 17032  LSAtomsclsa 32512   Atomscatm 32801   HLchlt 32888   LHypclh 33521   LTrncltrn 33638   TEndoctendo 34289   DVecHcdvh 34616   DIsoHcdih 34766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-riotaBAD 32497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-undef 6784  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-cntz 15826  df-lsm 16126  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-lvec 17164  df-lsatoms 32514  df-oposet 32714  df-ol 32716  df-oml 32717  df-covers 32804  df-ats 32805  df-atl 32836  df-cvlat 32860  df-hlat 32889  df-llines 33035  df-lplanes 33036  df-lvols 33037  df-lines 33038  df-psubsp 33040  df-pmap 33041  df-padd 33333  df-lhyp 33525  df-laut 33526  df-ldil 33641  df-ltrn 33642  df-trl 33696  df-tendo 34292  df-edring 34294  df-disoa 34567  df-dvech 34617  df-dib 34677  df-dic 34711  df-dih 34767
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