Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatexv2 Structured version   Unicode version

Theorem dihatexv2 34984
Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihatexv2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihatexv2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihatexv2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dihatexv2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dihatexv2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dihatexv2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihatexv2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dihatexv2  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  <->  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, I    x, K    x, N    x, Q    x, V    x, W    ph, x
Allowed substitution hints:    U( x)    H( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem dihatexv2
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 dihatexv2.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
31, 2atbase 32934 . . 3  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
43anim2i 569 . 2  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  A )  ->  ( ph  /\  Q  e.  (
Base `  K )
) )
5 dihatexv2.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 eldifi 3478 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  V )
8 dihatexv2.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 dihatexv2.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihatexv2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 dihatexv2.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  U )
12 dihatexv2.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
138, 9, 10, 11, 12dihlsprn 34976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  V
)  ->  ( N `  { x } )  e.  ran  I )
145, 7, 13syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { x } )  e.  ran  I )
151, 8, 12dihcnvcl 34916 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { x } )  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  ( N `  {
x } ) )  e.  ( Base `  K
) )
166, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( `' I `  ( N `
 { x }
) )  e.  (
Base `  K )
)
17 eleq1a 2512 . . . . 5  |-  ( ( `' I `  ( N `
 { x }
) )  e.  (
Base `  K )  ->  ( Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) ) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( Q  =  ( `' I `  ( N `  { x } ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
) )
1918rexlimdva 2841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) Q  =  ( `' I `  ( N `  { x } ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) ) )
2019imdistani 690 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) Q  =  ( `' I `  ( N `  { x } ) ) )  ->  ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K ) ) )
21 dihatexv2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
225adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
241, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23dihatexv 34983 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( Q  e.  A  <->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( I `  Q )  =  ( N `  { x } ) ) )
2522adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2622, 7, 13syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( N `  {
x } )  e. 
ran  I )
278, 12dihcnvid2 34918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { x } )  e.  ran  I )  ->  ( I `  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) )  =  ( N `  {
x } ) )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( I `  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) )  =  ( N `  {
x } ) )
2928eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( I `  Q )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) )  <->  ( I `  Q )  =  ( N `  { x } ) ) )
30 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
3125, 26, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' I `  ( N `  { x } ) )  e.  ( Base `  K
) )
321, 8, 12dih11 34910 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Q  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  ( N `  { x } ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( I `  Q
)  =  ( I `
 ( `' I `  ( N `  {
x } ) ) )  <->  Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
3325, 30, 31, 32syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( I `  Q )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) )  <->  Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
3429, 33bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( I `  Q )  =  ( N `  { x } )  <->  Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
3534rexbidva 2732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ( I `  Q
)  =  ( N `
 { x }
)  <->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
3624, 35bitrd 253 . 2  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( Q  e.  A  <->  E. x  e.  ( V  \  {  .0.  } ) Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
374, 20, 36pm5.21nd 893 1  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  <->  E. x  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) Q  =  ( `' I `  ( N `
 { x }
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716    \ cdif 3325   {csn 3877   `'ccnv 4839   ran crn 4841   ` cfv 5418   Basecbs 14174   0gc0g 14378   LSpanclspn 17052   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   DIsoHcdih 34873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874
This theorem is referenced by:  djhcvat42  35060
  Copyright terms: Public domain W3C validator