Theorem dih1dimatlem0 36000

Description: Lemma for dih1dimat 36002. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	|- H = ( LHyp ` K )
dih1dimat.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dih1dimat.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dih1dimat.a	|- A = (LSAtoms ` U )
dih1dimat.b	|- B = ( Base ` K )
dih1dimat.l	|- .<_ = ( le ` K )
dih1dimat.c	|- C = ( Atoms ` K )
dih1dimat.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
dih1dimat.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dih1dimat.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dih1dimat.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dih1dimat.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dih1dimat.d	|- F = (Scalar ` U )
dih1dimat.j	|- J = ( invr ` F )
dih1dimat.v	|- V = ( Base ` U )
dih1dimat.m	|- .x. = ( .s ` U )
dih1dimat.s	|- S = ( LSubSp ` U )
dih1dimat.n	|- N = ( LSpan ` U )
dih1dimat.z	|- .0. = ( 0g ` U )
dih1dimat.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) <-> ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   B, h   f, i, p, s, t, E   t, F   C, h   i, G, p, t   t, h, J   f, N, s, t   f, h, K, i, p, s, t   T, f, h, i, p, s, t   U, f, h, s, t   f, H, h, i, p, s, t   f, V, i, p, s, t   f, W, h, i, p, s, t   f, I, s   i, O, p, t   P, h   t, .x.

Allowed substitution hints:   A( t, f, h, i, s, p)   B( t, f, i, s, p)   C( t, f, i, s, p)   P( t, f, i, s, p)   R( t, f, h, i, s, p)   S( t, f, h, i, s, p)   .x. ( f, h, i, s, p)   U( i, p)   E( h)   F( f, h, i, s, p)   G( f, h, s)   I( t, h, i, p)   J( f, i, s, p)   .<_ ( t, f, i, s, p)   N( h, i, p)   O( f, h, s)   V( h)   .0. ( t, f, h, i, s, p)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> i = ( p ` G ) )
2		simpl1 994	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> p e. E )
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` K )
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 |- C = ( Atoms ` K )
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 34690	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. C /\ -. P .<_ W ) )
9	2, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( P e. C /\ -. P .<_ W ) )
10		simpl2r 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> s e. E )
11		simpl3 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> s =/= O )
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` K )
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 |- F = (Scalar ` U )
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( invr ` F )
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 35776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( ( J ` s ) e. E /\ ( J ` s ) =/= O ) )
20	19	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( J ` s ) e. E )
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( J ` s ) e. E )
22		simpl2l 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> f e. T )
23	6, 13, 14	tendocl 35438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( J ` s ) e. E /\ f e. T ) -> ( ( J ` s ) ` f ) e. T )
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( J ` s ) ` f ) e. T )
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 34810	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( J ` s ) ` f ) e. T /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) )
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) )
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 |- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 35250	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) ) -> G e. T )
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1223	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> G e. T )
30	6, 13, 14	tendocl 35438	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. E /\ G e. T ) -> ( p ` G ) e. T )
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p ` G ) e. T )
32	1, 31	eqeltrd 2548	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> i e. T )
33	6, 14	tendococl 35443	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. E /\ ( J ` s ) e. E ) -> ( p o. ( J ` s ) ) e. E )
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( J ` s ) ) e. E )
35		simp1 991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
36	8	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( P e. C /\ -. P .<_ W ) )
37	20	3adant2l 1217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( J ` s ) e. E )
38		simp2l 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> f e. T )
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( J ` s ) ` f ) e. T )
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) )
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> G e. T )
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 35252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) ) -> ( G ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( G ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 34878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( ( J ` s ) ` f ) e. T ) /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) /\ ( G ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1237	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
46	45	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
47	46	fveq2d 5861	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p ` G ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
48	6, 13, 14	tendocoval 35437	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. E /\ ( J ` s ) e. E ) /\ f e. T ) -> ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) )
51		coass 5517	. . . . 5 |- ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) = ( p o. ( ( J ` s ) o. s ) )
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 35777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( ( J ` s ) o. s ) = ( _I |` T ) )
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( J ` s ) o. s ) = ( _I |` T ) )
54	53	coeq2d 5156	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( ( J ` s ) o. s ) ) = ( p o. ( _I |` T ) ) )
55	6, 13, 14	tendo1mulr 35442	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. E ) -> ( p o. ( _I |` T ) ) = p )
56	2, 3, 55	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( _I |` T ) ) = p )
57	54, 56	eqtrd 2501	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( ( J ` s ) o. s ) ) = p )
58	51, 57	syl5req 2514	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) )
59		fveq1 5856	. . . . . . 7 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( t ` f ) = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) )
60	59	eqeq2d 2474	. . . . . 6 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( i = ( t ` f ) <-> i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) ) )
61		coeq1 5151	. . . . . . 7 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( t o. s ) = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) )
62	61	eqeq2d 2474	. . . . . 6 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( p = ( t o. s ) <-> p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) ) )
63	60, 62	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) <-> ( i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) /\ p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) ) ) )
64	63	rspcev 3207	. . . 4 |- ( ( ( p o. ( J ` s ) ) e. E /\ ( i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) /\ p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) ) ) -> E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) )
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 1221	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) )
66	32, 3, 65	jca31 534	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) )
67		simp3r 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> p = ( t o. s ) )
68	67	fveq1d 5859	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) = ( ( t o. s ) ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
69		simp1l1 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70		simp2 992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> t e. E )
71		simpl2r 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> s e. E )
72	71	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> s e. E )
73	6, 14	tendococl 35443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ s e. E ) -> ( t o. s ) e. E )
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. s ) e. E )
75		simp1l3 1086	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> s =/= O )
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( J ` s ) e. E )
77		simpl2l 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> f e. T )
78	77	3ad2ant1 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> f e. T )
79	6, 13, 14	tendocoval 35437	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( t o. s ) e. E /\ ( J ` s ) e. E ) /\ f e. T ) -> ( ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( ( t o. s ) ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( ( t o. s ) ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
81		coass 5517	. . . . . . . . 9 |- ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) = ( t o. ( s o. ( J ` s ) ) )
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 35778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( s o. ( J ` s ) ) = ( _I |` T ) )
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( s o. ( J ` s ) ) = ( _I |` T ) )
84	83	coeq2d 5156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. ( s o. ( J ` s ) ) ) = ( t o. ( _I |` T ) ) )
85	6, 13, 14	tendo1mulr 35442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( t o. ( _I |` T ) ) = t )
86	69, 70, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. ( _I |` T ) ) = t )
87	84, 86	eqtrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. ( s o. ( J ` s ) ) ) = t )
88	81, 87	syl5eq 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) = t )
89	88	fveq1d 5859	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( t ` f ) )
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t ` f ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
91		simp3l 1019	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> i = ( t ` f ) )
92	45	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
93	92	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
94	93	fveq2d 5861	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( p ` G ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> i = ( p ` G ) )
96	95	rexlimdv3a 2950	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> ( E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) -> i = ( p ` G ) ) )
97	96	impr 619	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) -> i = ( p ` G ) )
98		simprlr 762	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) -> p e. E )
99	97, 98	jca 532	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) -> ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) )
100	66, 99	impbida 829	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) <-> ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   _I cid 4783   |` cres 4994   o. ccom 4996   ` cfv 5579   iota_crio 6235   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   lecple 14551   occoc 14552   0gc0g 14684   invrcinvr 17097   LSubSpclss 17354   LSpanclspn 17393  LSAtomsclsa 33646   Atomscatm 33935   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   trLctrl 34829   TEndoctendo 35423   DVecHcdvh 35750   DIsoHcdih 35900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dvech 35751

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  36001