Theorem dih1dimatlem0 34866

Description: Lemma for dih1dimat 34868. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	|- H = ( LHyp ` K )
dih1dimat.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dih1dimat.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dih1dimat.a	|- A = (LSAtoms ` U )
dih1dimat.b	|- B = ( Base ` K )
dih1dimat.l	|- .<_ = ( le ` K )
dih1dimat.c	|- C = ( Atoms ` K )
dih1dimat.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
dih1dimat.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dih1dimat.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dih1dimat.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dih1dimat.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dih1dimat.d	|- F = (Scalar ` U )
dih1dimat.j	|- J = ( invr ` F )
dih1dimat.v	|- V = ( Base ` U )
dih1dimat.m	|- .x. = ( .s ` U )
dih1dimat.s	|- S = ( LSubSp ` U )
dih1dimat.n	|- N = ( LSpan ` U )
dih1dimat.z	|- .0. = ( 0g ` U )
dih1dimat.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) <-> ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   B, h   f, i, p, s, t, E   t, F   C, h   i, G, p, t   t, h, J   f, N, s, t   f, h, K, i, p, s, t   T, f, h, i, p, s, t   U, f, h, s, t   f, H, h, i, p, s, t   f, V, i, p, s, t   f, W, h, i, p, s, t   f, I, s   i, O, p, t   P, h   t, .x.

Allowed substitution hints:   A( t, f, h, i, s, p)   B( t, f, i, s, p)   C( t, f, i, s, p)   P( t, f, i, s, p)   R( t, f, h, i, s, p)   S( t, f, h, i, s, p)   .x. ( f, h, i, s, p)   U( i, p)   E( h)   F( f, h, i, s, p)   G( f, h, s)   I( t, h, i, p)   J( f, i, s, p)   .<_ ( t, f, i, s, p)   N( h, i, p)   O( f, h, s)   V( h)   .0. ( t, f, h, i, s, p)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> i = ( p ` G ) )
2		simpl1 991	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> p e. E )
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` K )
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 |- C = ( Atoms ` K )
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 33556	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. C /\ -. P .<_ W ) )
9	2, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( P e. C /\ -. P .<_ W ) )
10		simpl2r 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> s e. E )
11		simpl3 993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> s =/= O )
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` K )
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 |- F = (Scalar ` U )
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( invr ` F )
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 34642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( ( J ` s ) e. E /\ ( J ` s ) =/= O ) )
20	19	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( J ` s ) e. E )
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( J ` s ) e. E )
22		simpl2l 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> f e. T )
23	6, 13, 14	tendocl 34304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( J ` s ) e. E /\ f e. T ) -> ( ( J ` s ) ` f ) e. T )
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( J ` s ) ` f ) e. T )
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 33676	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( J ` s ) ` f ) e. T /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) )
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) )
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 |- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 34116	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) ) -> G e. T )
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> G e. T )
30	6, 13, 14	tendocl 34304	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. E /\ G e. T ) -> ( p ` G ) e. T )
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p ` G ) e. T )
32	1, 31	eqeltrd 2512	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> i e. T )
33	6, 14	tendococl 34309	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. E /\ ( J ` s ) e. E ) -> ( p o. ( J ` s ) ) e. E )
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( J ` s ) ) e. E )
35		simp1 988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
36	8	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( P e. C /\ -. P .<_ W ) )
37	20	3adant2l 1212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( J ` s ) e. E )
38		simp2l 1014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> f e. T )
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( J ` s ) ` f ) e. T )
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) )
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> G e. T )
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 34118	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) e. C /\ -. ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) .<_ W ) ) -> ( G ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( G ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) )
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 33744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( ( J ` s ) ` f ) e. T ) /\ ( P e. C /\ -. P .<_ W ) /\ ( G ` P ) = ( ( ( J ` s ) ` f ) ` P ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1232	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
46	45	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
47	46	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p ` G ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
48	6, 13, 14	tendocoval 34303	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. E /\ ( J ` s ) e. E ) /\ f e. T ) -> ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1223	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2480	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) )
51		coass 5351	. . . . 5 |- ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) = ( p o. ( ( J ` s ) o. s ) )
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 34643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( ( J ` s ) o. s ) = ( _I |` T ) )
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( J ` s ) o. s ) = ( _I |` T ) )
54	53	coeq2d 4997	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( ( J ` s ) o. s ) ) = ( p o. ( _I |` T ) ) )
55	6, 13, 14	tendo1mulr 34308	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. E ) -> ( p o. ( _I |` T ) ) = p )
56	2, 3, 55	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( _I |` T ) ) = p )
57	54, 56	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( p o. ( ( J ` s ) o. s ) ) = p )
58	51, 57	syl5req 2483	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) )
59		fveq1 5685	. . . . . . 7 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( t ` f ) = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) )
60	59	eqeq2d 2449	. . . . . 6 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( i = ( t ` f ) <-> i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) ) )
61		coeq1 4992	. . . . . . 7 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( t o. s ) = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) )
62	61	eqeq2d 2449	. . . . . 6 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( p = ( t o. s ) <-> p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) ) )
63	60, 62	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( t = ( p o. ( J ` s ) ) -> ( ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) <-> ( i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) /\ p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) ) ) )
64	63	rspcev 3068	. . . 4 |- ( ( ( p o. ( J ` s ) ) e. E /\ ( i = ( ( p o. ( J ` s ) ) ` f ) /\ p = ( ( p o. ( J ` s ) ) o. s ) ) ) -> E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) )
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 1216	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) )
66	32, 3, 65	jca31 534	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) ) -> ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) )
67		simp3r 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> p = ( t o. s ) )
68	67	fveq1d 5688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) = ( ( t o. s ) ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
69		simp1l1 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
70		simp2 989	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> t e. E )
71		simpl2r 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> s e. E )
72	71	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> s e. E )
73	6, 14	tendococl 34309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ s e. E ) -> ( t o. s ) e. E )
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. s ) e. E )
75		simp1l3 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> s =/= O )
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( J ` s ) e. E )
77		simpl2l 1041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> f e. T )
78	77	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> f e. T )
79	6, 13, 14	tendocoval 34303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( t o. s ) e. E /\ ( J ` s ) e. E ) /\ f e. T ) -> ( ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( ( t o. s ) ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( ( t o. s ) ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
81		coass 5351	. . . . . . . . 9 |- ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) = ( t o. ( s o. ( J ` s ) ) )
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 34644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ s =/= O ) -> ( s o. ( J ` s ) ) = ( _I |` T ) )
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( s o. ( J ` s ) ) = ( _I |` T ) )
84	83	coeq2d 4997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. ( s o. ( J ` s ) ) ) = ( t o. ( _I |` T ) ) )
85	6, 13, 14	tendo1mulr 34308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( t o. ( _I |` T ) ) = t )
86	69, 70, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. ( _I |` T ) ) = t )
87	84, 86	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t o. ( s o. ( J ` s ) ) ) = t )
88	81, 87	syl5eq 2482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) = t )
89	88	fveq1d 5688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( ( ( t o. s ) o. ( J ` s ) ) ` f ) = ( t ` f ) )
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( t ` f ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
91		simp3l 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> i = ( t ` f ) )
92	45	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
93	92	3ad2ant1 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> G = ( ( J ` s ) ` f ) )
94	93	fveq2d 5690	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> ( p ` G ) = ( p ` ( ( J ` s ) ` f ) ) )
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2480	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) /\ t e. E /\ ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) -> i = ( p ` G ) )
96	95	rexlimdv3a 2838	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( i e. T /\ p e. E ) ) -> ( E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) -> i = ( p ` G ) ) )
97	96	impr 619	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) -> i = ( p ` G ) )
98		simprlr 762	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) -> p e. E )
99	97, 98	jca 532	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) /\ ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) -> ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) )
100	66, 99	impbida 828	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( f e. T /\ s e. E ) /\ s =/= O ) -> ( ( i = ( p ` G ) /\ p e. E ) <-> ( ( i e. T /\ p e. E ) /\ E. t e. E ( i = ( t ` f ) /\ p = ( t o. s ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   _I cid 4626   |` cres 4837   o. ccom 4839   ` cfv 5413   iota_crio 6046   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   lecple 14237   occoc 14238   0gc0g 14370   invrcinvr 16753   LSubSpclss 16993   LSpanclspn 17032  LSAtomsclsa 32512   Atomscatm 32801   HLchlt 32888   LHypclh 33521   LTrncltrn 33638   trLctrl 33695   TEndoctendo 34289   DVecHcdvh 34616   DIsoHcdih 34766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-riotaBAD 32497

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-undef 6784  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-oposet 32714  df-ol 32716  df-oml 32717  df-covers 32804  df-ats 32805  df-atl 32836  df-cvlat 32860  df-hlat 32889  df-llines 33035  df-lplanes 33036  df-lvols 33037  df-lines 33038  df-psubsp 33040  df-pmap 33041  df-padd 33333  df-lhyp 33525  df-laut 33526  df-ldil 33641  df-ltrn 33642  df-trl 33696  df-tendo 34292  df-edring 34294  df-dvech 34617

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  34867