Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih0cnv Structured version   Unicode version

Theorem dih0cnv 34316
Description: The isomorphism H converse value of the zero subspace is the lattice zero. (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih0cnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih0cnv.o  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dih0cnv.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih0cnv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih0cnv.z  |-  Z  =  ( 0g `  U
)
Assertion
Ref Expression
dih0cnv  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' I `  { Z } )  =  .0.  )

Proof of Theorem dih0cnv
StepHypRef Expression
1 dih0cnv.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2 dih0cnv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dih0cnv.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
4 dih0cnv.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dih0cnv.z . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  U
)
61, 2, 3, 4, 5dih0 34313 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { Z } )
76fveq2d 5855 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' I `  ( I `  .0.  ) )  =  ( `' I `  { Z } ) )
8 hlatl 32391 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  AtLat )
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1110, 1atl0cl 32334 . . . 4  |-  ( K  e.  AtLat  ->  .0.  e.  ( Base `  K )
)
129, 11syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
1310, 2, 3dihcnvid1 34305 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  .0.  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( `' I `  ( I `  .0.  ) )  =  .0.  )
1412, 13mpdan 668 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' I `  ( I `  .0.  ) )  =  .0.  )
157, 14eqtr3d 2447 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' I `  { Z } )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {csn 3974   `'ccnv 4824   ` cfv 5571   Basecbs 14843   0gc0g 15056   0.cp0 15993   AtLatcal 32295   HLchlt 32381   LHypclh 33014   DVecHcdvh 34111   DIsoHcdih 34261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-riotaBAD 31990
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-undef 7007  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-0g 15058  df-preset 15883  df-poset 15901  df-plt 15914  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-p0 15995  df-p1 15996  df-lat 16002  df-clat 16064  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-lsm 16982  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-drng 17720  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lvec 18071  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382  df-llines 32528  df-lplanes 32529  df-lvols 32530  df-lines 32531  df-psubsp 32533  df-pmap 32534  df-padd 32826  df-lhyp 33018  df-laut 33019  df-ldil 33134  df-ltrn 33135  df-trl 33190  df-tendo 33787  df-edring 33789  df-disoa 34062  df-dvech 34112  df-dib 34172  df-dic 34206  df-dih 34262
This theorem is referenced by:  dih0sb  34318  doch0  34391  djh01  34445
  Copyright terms: Public domain W3C validator