Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih0 Structured version   Unicode version

Theorem dih0 35021
Description: The value of isomorphism H at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dih0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih0.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih0.o  |-  O  =  ( 0g `  U
)
Assertion
Ref Expression
dih0  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )

Proof of Theorem dih0
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 hlop 33103 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 dih0.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
64, 5op0cl 32925 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
73, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
8 dih0.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
94, 8lhpbase 33738 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
114, 10, 5op0le 32927 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  .0.  ( le `  K
) W )
122, 9, 11syl2an 477 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  ( le `  K ) W )
13 dih0.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
14 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
154, 10, 8, 13, 14dihvalb 34978 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  .0.  e.  ( Base `  K )  /\  .0.  ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  .0.  ) )
161, 7, 12, 15syl12anc 1216 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  .0.  ) )
17 dih0.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 dih0.o . . 3  |-  O  =  ( 0g `  U
)
195, 8, 14, 17, 18dib0 34905 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  .0.  )  =  { O } )
2016, 19eqtrd 2475 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3898   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   Basecbs 14195   lecple 14266   0gc0g 14399   0.cp0 15228   OPcops 32913   HLchlt 33091   LHypclh 33724   DVecHcdvh 34819   DIsoBcdib 34879   DIsoHcdih 34969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-riotaBAD 32700
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-undef 6813  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lvec 17206  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239  df-lvols 33240  df-lines 33241  df-psubsp 33243  df-pmap 33244  df-padd 33536  df-lhyp 33728  df-laut 33729  df-ldil 33844  df-ltrn 33845  df-trl 33899  df-tendo 34495  df-edring 34497  df-disoa 34770  df-dvech 34820  df-dib 34880  df-dih 34970
This theorem is referenced by:  dih0bN  35022  dih0vbN  35023  dih0cnv  35024  dih0rn  35025  dihmeetlem4preN  35047  dihmeetlem18N  35065  dihlspsnssN  35073  dihlspsnat  35074  dihatexv  35079  doch1  35100  dochnoncon  35132
  Copyright terms: Public domain W3C validator