Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem2 Structured version   Unicode version

Theorem dignn0flhalflem2 39701
Description: Lemma 2 for dignn0flhalf 39703. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) ) ) )

Proof of Theorem dignn0flhalflem2
StepHypRef Expression
1 zre 10942 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
21rehalfcld 10860 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
32flcld 12034 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  / 
2 ) )  e.  ZZ )
43zred 11041 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
543ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )
6 2re 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
8 id 23 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
97, 8reexpcld 12433 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  RR )
1093ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  RR )
11 2cnd 10683 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
12 2ne0 10703 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  =/=  0 )
14 nn0z 10961 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
15143ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
1611, 13, 15expne0d 12422 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  =/=  0 )
175, 10, 16redivcld 10436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1817flcld 12034 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  ZZ )
1913ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
206a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
21 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
22 1nn0 10886 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN0 )
2421, 23nn0addcld 10930 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
2520, 24reexpcld 12433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2615peano2zd 11044 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ZZ )
2711, 13, 26expne0d 12422 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
2819, 25, 27redivcld 10436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
2928flcld 12034 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ZZ )
30 nn0p1nn 10910 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31 dignn0flhalflem1 39700 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( A  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  ( |_ `  ( ( A  -  1 )  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
3230, 31syl3an3 1299 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
33 1zzd 10969 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
34 flsubz 39594 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 ) )
3528, 33, 34syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) )  -  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 ) )
3635eqcomd 2430 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 )  =  ( |_
`  ( ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) )  - 
1 ) ) )
37 nnz 10960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( A  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
38 zob 38475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( A  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( A  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
3937, 38syl5ibr 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( A  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4039imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( A  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
41 zofldiv2 39612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  /  2
) )  =  ( ( A  -  1 )  /  2 ) )
4240, 41syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  2
) )  =  ( ( A  -  1 )  /  2 ) )
43423adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( A  -  1 )  / 
2 ) )
4443oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  /  ( 2 ^ N ) ) )
4544fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
46 zcn 10943 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
47 1cnd 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
4846, 47subcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
49 2rp 11308 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
5049a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
5150rpcnne0d 11351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
5249a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR+ )
5352, 14rpexpcld 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  RR+ )
5453rpcnne0d 11351 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  /\  (
2 ^ N )  =/=  0 ) )
55 divdiv1 10319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  /\  ( 2 ^ N )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( A  -  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
5648, 51, 54, 55syl3an 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( A  -  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
5710recnd 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  CC )
5811, 57mulcomd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
5911, 21expp1d 12417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
6058, 59eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ N ) )  =  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) )
6160oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  (
2  x.  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( A  -  1 )  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )
6256, 61eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( A  -  1 )  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )
6362fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
6445, 63eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
6532, 36, 643brtr4d 4451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  -  1 )  <  ( |_
`  ( ( |_
`  ( A  / 
2 ) )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
6619rehalfcld 10860 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  /  2
)  e.  RR )
6766, 10, 16redivcld 10436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
68 reflcl 12032 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
6966, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )
7049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR+ )
7170, 15rpexpcld 12439 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
72 flle 12035 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  / 
2 ) )  <_ 
( A  /  2
) )
7366, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  2 ) )  <_  ( A  / 
2 ) )
7469, 66, 71, 73lediv1dd 11397 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) )  <_  ( ( A  /  2 )  / 
( 2 ^ N
) ) )
75 flwordi 12047 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) )  <_  ( ( A  /  2 )  / 
( 2 ^ N
) ) )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
7617, 67, 74, 75syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
77 divdiv1 10319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  /\  ( 2 ^ N )  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( A  /  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
7846, 51, 54, 77syl3an 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( A  /  ( 2  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
7953rpcnd 11344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
80793ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  CC )
8111, 80mulcomd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
8211, 13, 15expp1zd 12425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
8381, 82eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ N ) )  =  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) ) )
8483oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2  x.  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8578, 84eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8685eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( A  /  2 )  /  ( 2 ^ N ) ) )
8786fveq2d 5882 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( A  / 
2 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
8876, 87breqtrrd 4447 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  <_  ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
89 zgtp1leeq 39593 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( A  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( |_
`  ( A  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  / 
2 ) )  / 
( 2 ^ N
) ) )  /\  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  <_  ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
9089imp 430 . . 3  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( |_
`  ( A  / 
( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  / 
2 ) )  / 
( 2 ^ N
) ) )  /\  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  <_  ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
9118, 29, 65, 88, 90syl22anc 1265 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  2 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  (
2 ^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
9291eqcomd 2430 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  2
) )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    <_ cle 9677    - cmin 9861    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   RR+crp 11303   |_cfl 12026   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  39703
  Copyright terms: Public domain W3C validator