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Theorem dignn0flhalflem1 40479
Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 40482. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ N ) )  -  1 ) )  <  ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )

Proof of Theorem dignn0flhalflem1
StepHypRef Expression
1 zre 10941 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
213ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 2rp 11307 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
5 nnz 10959 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
64, 5rpexpcld 12439 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  RR+ )
76rpred 11341 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  RR )
873ad2ant3 1031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR )
92, 8resubcld 10047 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1063ad2ant3 1031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
119, 10modcld 12102 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
129, 11resubcld 10047 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  -  (
( A  -  (
2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  e.  RR )
13 peano2zm 10980 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1413zred 11040 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
15143ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
1615, 10modcld 12102 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  mod  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1715, 16resubcld 10047 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  -  (
( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  e.  RR )
18 1red 9658 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
1918, 16readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  e.  RR )
208, 11readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  e.  RR )
21 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN )
23 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2422, 23nnexpcld 12437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  NN )
2524anim2i 573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  NN ) )
26253adant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  NN ) )
27 m1modmmod 40377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) )  -  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  if ( ( A  mod  (
2 ^ N ) )  =  0 ,  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) ,  -u 1
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N
) )  -  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  if ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  =  0 ,  ( ( 2 ^ N
)  -  1 ) ,  -u 1 ) )
29 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( A  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
31 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
32 xp1d2m1eqxm1d2 38711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  / 
2 ) )
3332eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  -  1 )  /  2 )  =  ( ( ( A  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) )
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A  -  1 )  /  2 )  =  ( ( ( A  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( ( A  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )
3635eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  <->  ( ( ( A  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ ) )
37 peano2z 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
3831adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
39 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4038, 39addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
4140halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  /  2
)  e.  CC )
4241, 39npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( A  +  1 )  /  2 ) )
4342eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( A  +  1 )  /  2 )  -  1 )  +  1 )  e.  ZZ  <->  ( ( A  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4437, 43syl5ib 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
4536, 44sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
46 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  =  0  <-> 
( A  /  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ ) )
471, 6, 46syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  =  0  <-> 
( A  /  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ ) )
4822nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
49 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
50 zexpcl 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
5148, 49, 50syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
5352adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  / 
( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
54 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  / 
( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )  ->  ( A  / 
( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
5553, 54zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  / 
( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  ZZ )
5655ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ N
) )  e.  ZZ  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  ZZ ) )
575adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
5857zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5958, 39negsubd 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  -u
1 )  =  ( N  -  1 ) )
6059eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  =  ( N  +  -u 1 ) )
6160oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  -  N
)  =  ( ( N  +  -u 1
)  -  N ) )
6239negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  -> 
-u 1  e.  CC )
6358, 62pncan2d 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  +  -u 1 )  -  N
)  =  -u 1
)
6461, 63eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  -  N
)  =  -u 1
)
6564oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ (
( N  -  1 )  -  N ) )  =  ( 2 ^ -u 1 ) )
66 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
67 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  =/=  0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
69 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
705, 69zsubcld 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
7170, 5jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
7271adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
73 expsub 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ (
( N  -  1 )  -  N ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
7466, 68, 72, 73syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ (
( N  -  1 )  -  N ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
75 expn1 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ -u 1
)  =  ( 1  /  2 ) )
7666, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ -u 1
)  =  ( 1  /  2 ) )
7765, 74, 763eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  (
2 ^ N ) )  =  ( 1  /  2 ) )
7877oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
79 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
8079, 49expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
8382, 57rpexpcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
8483rpcnne0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ N )  e.  CC  /\  ( 2 ^ N
)  =/=  0 ) )
85 div12 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (
( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ N
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) )  =  ( A  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
8681, 38, 84, 85syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
8738, 66, 68divrecd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  2
)  =  ( A  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
8878, 86, 873eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  / 
2 ) )
8988eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  ZZ  <->  ( A  /  2 )  e.  ZZ ) )
9056, 89sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ N
) )  e.  ZZ  ->  ( A  /  2
)  e.  ZZ ) )
9147, 90sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  =  0  ->  ( A  / 
2 )  e.  ZZ ) )
92 zeo2 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( A  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  / 
2 )  e.  ZZ  <->  -.  ( ( A  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
9491, 93sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  =  0  ->  -.  ( ( A  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
9594necon2ad 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( A  mod  (
2 ^ N ) )  =/=  0 ) )
9630, 45, 953syld 57 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( A  mod  (
2 ^ N ) )  =/=  0 ) )
9796ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  =/=  0 ) ) )
9897com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  =/=  0 ) ) )
99983imp 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  (
2 ^ N ) )  =/=  0 )
10099neneqd 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  =  0 )
101100iffalsed 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  =  0 ,  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) , 
-u 1 )  = 
-u 1 )
10228, 101eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N
) )  -  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  -u 1 )
103 neg1lt0 10716 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <  0
104 2re 10679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
105 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  2
106 expgt1 12310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  1  <  ( 2 ^ N
) )
107104, 105, 106mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( 2 ^ N
) )
108 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
109108, 7posdifd 10200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <  ( 2 ^ N )  <->  0  <  ( ( 2 ^ N
)  -  1 ) ) )
110107, 109mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
111108renegcld 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
112 0red 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
1137, 108resubcld 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ N
)  -  1 )  e.  RR )
114 lttr 9710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  <  0  /\  0  <  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )  ->  -u 1  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  <  0  /\  0  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )  ->  -u 1  <  (
( 2 ^ N
)  -  1 ) ) )
116110, 115mpan2d 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  <  0  ->  -u 1  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) ) )
117103, 116mpi 20 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
1181173ad2ant3 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  -> 
-u 1  <  (
( 2 ^ N
)  -  1 ) )
119102, 118eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N
) )  -  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
1202, 10modcld 12102 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
121 ltsubadd2b 40366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR )  /\  ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) )  -  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  <->  ( 1  +  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N
) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) ) ) )
12218, 8, 120, 16, 121syl22anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) )  -  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  <->  ( 1  +  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N
) ) )  < 
( ( 2 ^ N )  +  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) ) ) )
123119, 122mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( A  mod  ( 2 ^ N
) ) ) )
124 modid0 12122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ N )  e.  RR+  ->  ( ( 2 ^ N )  mod  ( 2 ^ N ) )  =  0 )
12510, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ N )  mod  (
2 ^ N ) )  =  0 )
126125oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  -  (
( 2 ^ N
)  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  -  0 ) )
127120recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
128127subid1d 9975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  -  0 )  =  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )
129126, 128eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  -  (
( 2 ^ N
)  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )
130129oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  -  ( ( 2 ^ N )  mod  (
2 ^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
131 modsubmodmod 12149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  -  ( ( 2 ^ N )  mod  (
2 ^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
1322, 8, 10, 131syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  mod  ( 2 ^ N ) )  -  ( ( 2 ^ N )  mod  (
2 ^ N ) ) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )
133 modabs2 12131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )
1342, 10, 133syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )
135130, 132, 1343eqtr3d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) )  =  ( A  mod  ( 2 ^ N ) ) )
136135oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ N )  +  ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  +  ( A  mod  ( 2 ^ N
) ) ) )
137123, 136breqtrrd 4429 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  <  ( ( 2 ^ N )  +  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N
) ) ) )
13819, 20, 2, 137ltsub2dd 10226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  (
( 2 ^ N
)  +  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) ) )  <  ( A  -  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  mod  (
2 ^ N ) ) ) ) )
139313ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
1408recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
14111recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
142139, 140, 141subsub4d 10017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  -  (
( A  -  (
2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  -  ( ( 2 ^ N )  +  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) ) ) ) )
143 1cnd 9659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
14416recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  mod  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
145139, 143, 144subsub4d 10017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  -  (
( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( A  -  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  mod  (
2 ^ N ) ) ) ) )
146138, 142, 1453brtr4d 4433 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  -  (
( A  -  (
2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  <  ( ( A  -  1 )  -  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N
) ) ) )
14712, 17, 10, 146ltdiv1dd 11395 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  -  ( ( A  -  ( 2 ^ N
) )  mod  (
2 ^ N ) ) )  /  (
2 ^ N ) )  <  ( ( ( A  -  1 )  -  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
1487recnd 9669 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  CC )
1491483ad2ant3 1031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
15067a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
15179, 150, 5expne0d 12422 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  =/=  0 )
1521513ad2ant3 1031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )
153 divsub1dir 40367 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )  ->  ( ( A  /  ( 2 ^ N ) )  - 
1 )  =  ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
154153fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )  ->  ( |_ `  ( ( A  / 
( 2 ^ N
) )  -  1 ) )  =  ( |_ `  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
155139, 149, 152, 154syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ N ) )  -  1 ) )  =  ( |_
`  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
156 fldivmod 40374 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  (
( A  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  -  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
1579, 10, 156syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( A  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  -  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
158155, 157eqtrd 2485 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ N ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( A  -  (
2 ^ N ) )  -  ( ( A  -  ( 2 ^ N ) )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
159 fldivmod 40374 . . 3  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  -  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
16015, 10, 159syl2anc 667 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  -  ( ( A  -  1 )  mod  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 2 ^ N ) ) )
161147, 158, 1603brtr4d 4433 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( A  /  (
2 ^ N ) )  -  1 ) )  <  ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   ifcif 3881   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   |_cfl 12026    mod cmo 12096   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem2  40480
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