Theorem dignn0flhalflem1 40479

Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 40482. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalflem1	|- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) < ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )

Proof of Theorem dignn0flhalflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 10941	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2	1	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> A e. RR )
3		2rp 11307	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
5		nnz 10959	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
6	4, 5	rpexpcld 12439	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
7	6	rpred 11341	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. RR )
8	7	3ad2ant3 1031	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
9	2, 8	resubcld 10047	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A - ( 2 ^ N ) ) e. RR )
10	6	3ad2ant3 1031	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
11	9, 10	modcld 12102	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) e. RR )
12	9, 11	resubcld 10047	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
13		peano2zm 10980	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
14	13	zred 11040	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. RR )
15	14	3ad2ant1 1029	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A - 1 ) e. RR )
16	15, 10	modcld 12102	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) e. RR )
17	15, 16	resubcld 10047	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
18		1red 9658	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
19	18, 16	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
20	8, 11	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
21		2nn 10767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
23		nnnn0 10876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
24	22, 23	nnexpcld 12437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
25	24	anim2i 573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) )
26	25	3adant2 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) )
27		m1modmmod 40377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) = if ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 , ( ( 2 ^ N ) - 1 ) , -u 1 ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) = if ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 , ( ( 2 ^ N ) - 1 ) , -u 1 ) )
29		nnz 10959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
31		zcn 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
32		xp1d2m1eqxm1d2 38711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. CC -> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) / 2 ) )
33	32	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( ( A - 1 ) / 2 ) = ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( ( A - 1 ) / 2 ) = ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
35	34	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) / 2 ) = ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
36	35	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ ) )
37		peano2z 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ )
38	31	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. CC )
39		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
40	38, 39	addcld 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + 1 ) e. CC )
41	40	halfcld 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. CC )
42	41, 39	npcand 9990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( A + 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ <-> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
44	37, 43	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
45	36, 44	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
46		mod0 12103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 <-> ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) )
47	1, 6, 46	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 <-> ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) )
48	22	nnzd 11039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
49		nnm1nn0 10911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
50		zexpcl 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
51	48, 49, 50	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
52	51	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
53	52	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
54		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
55	53, 54	zmulcld 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ )
56	55	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ ) )
57	5	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
58	57	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
59	58, 39	negsubd 9992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N + -u 1 ) = ( N - 1 ) )
60	59	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) = ( N + -u 1 ) )
61	60	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) - N ) = ( ( N + -u 1 ) - N ) )
62	39	negcld 9973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -u 1 e. CC )
63	58, 62	pncan2d 9988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N + -u 1 ) - N ) = -u 1 )
64	61, 63	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) - N ) = -u 1 )
65	64	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) - N ) ) = ( 2 ^ -u 1 ) )
66		2cnd 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
67		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 =/= 0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 2 =/= 0 )
69		1zzd 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
70	5, 69	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
71	70, 5	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
72	71	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
73		expsub 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) - N ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
74	66, 68, 72, 73	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) - N ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
75		expn1 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 ) )
76	66, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 ) )
77	65, 74, 76	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) = ( 1 / 2 ) )
78	77	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A x. ( 1 / 2 ) ) )
79		2cnd 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
80	79, 49	expcld 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
82	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 2 e. RR+ )
83	82, 57	rpexpcld 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
84	83	rpcnne0d 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) )
85		div12 10292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC /\ A e. CC /\ ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
86	81, 38, 84, 85	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
87	38, 66, 68	divrecd 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A / 2 ) = ( A x. ( 1 / 2 ) ) )
88	78, 86, 87	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A / 2 ) )
89	88	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ <-> ( A / 2 ) e. ZZ ) )
90	56, 89	sylibd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ -> ( A / 2 ) e. ZZ ) )
91	47, 90	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 -> ( A / 2 ) e. ZZ ) )
92		zeo2 11022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( ( A / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
94	91, 93	sylibd 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 -> -. ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
95	94	necon2ad 2639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) )
96	30, 45, 95	3syld 57	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) )
97	96	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( N e. NN -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) ) )
98	97	com23 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N e. NN -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) ) )
99	98	3imp 1202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 )
100	99	neneqd 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 )
101	100	iffalsed 3892	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> if ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 , ( ( 2 ^ N ) - 1 ) , -u 1 ) = -u 1 )
102	28, 101	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) = -u 1 )
103		neg1lt0 10716	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 < 0
104		2re 10679	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
105		1lt2 10776	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 2
106		expgt1 12310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ N ) )
107	104, 105, 106	mp3an13 1355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 1 < ( 2 ^ N ) )
108		1red 9658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
109	108, 7	posdifd 10200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 1 < ( 2 ^ N ) <-> 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
110	107, 109	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
111	108	renegcld 10046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
112		0red 9644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
113	7, 108	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. RR )
114		lttr 9710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( -u 1 < 0 /\ 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
115	111, 112, 113, 114	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( -u 1 < 0 /\ 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
116	110, 115	mpan2d 680	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( -u 1 < 0 -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
117	103, 116	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
118	117	3ad2ant3 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
119	102, 118	eqbrtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
120	2, 10	modcld 12102	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) e. RR )
121		ltsubadd2b 40366	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR ) /\ ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) <-> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
122	18, 8, 120, 16, 121	syl22anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) <-> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
123	119, 122	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) )
124		modid0 12122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 ^ N ) e. RR+ -> ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) = 0 )
125	10, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) = 0 )
126	125	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - 0 ) )
127	120	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) e. CC )
128	127	subid1d 9975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - 0 ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
129	126, 128	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
130	129	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
131		modsubmodmod 12149	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
132	2, 8, 10, 131	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
133		modabs2 12131	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
134	2, 10, 133	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
135	130, 132, 134	3eqtr3d 2493	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
136	135	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) )
137	123, 136	breqtrrd 4429	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) )
138	19, 20, 2, 137	ltsub2dd 10226	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A - ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) < ( A - ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
139	31	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> A e. CC )
140	8	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
141	11	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) e. CC )
142	139, 140, 141	subsub4d 10017	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( A - ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
143		1cnd 9659	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
144	16	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) e. CC )
145	139, 143, 144	subsub4d 10017	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( A - ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
146	138, 142, 145	3brtr4d 4433	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) )
147	12, 17, 10, 146	ltdiv1dd 11395	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
148	7	recnd 9669	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. CC )
149	148	3ad2ant3 1031	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
150	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
151	79, 150, 5	expne0d 12422	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) =/= 0 )
152	151	3ad2ant3 1031	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) =/= 0 )
153		divsub1dir 40367	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) -> ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) = ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
154	153	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) = ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
155	139, 149, 152, 154	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) = ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
156		fldivmod 40374	. . . 4 |- ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
157	9, 10, 156	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
158	155, 157	eqtrd 2485	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) = ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
159		fldivmod 40374	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
160	15, 10, 159	syl2anc 667	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
161	147, 158, 160	3brtr4d 4433	1 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) < ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   ifcif 3881   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   |_cfl 12026   mod cmo 12096   ^cexp 12272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273

This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem2  40480