Theorem digit2 7904

Description: Two ways to express the K th digit in the decimal (when base B = 10) expansion of a number A. K = 1 corresponds to the first digit after the decimal point.

Assertion

Ref	Expression
digit2	|- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> ((|_` ((B^K) x. A)) mod B) = ((|_` ((B^K) x. A)) - (B x. (|_` ((B^(K - 1)) x. A)))))

Proof of Theorem digit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- (((B^K) e. RR /\ A e. RR) -> ((B^K) x. A) e. RR)
2		reexpcl 7823	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ K e. NN0) -> (B^K) e. RR)
3		nnre 7112	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> B e. RR)
4		nnnn0 7315	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> K e. NN0)
5	2, 3, 4	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((B e. NN /\ K e. NN) -> (B^K) e. RR)
6	1, 5	sylan 497	. . . . . 6 |- (((B e. NN /\ K e. NN) /\ A e. RR) -> ((B^K) x. A) e. RR)
7	6	3impa 1062	. . . . 5 |- ((B e. NN /\ K e. NN /\ A e. RR) -> ((B^K) x. A) e. RR)
8	7	3comr 1076	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> ((B^K) x. A) e. RR)
9		reflcl 7466	. . . 4 |- (((B^K) x. A) e. RR -> (|_` ((B^K) x. A)) e. RR)
10	8, 9	syl 12	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (|_` ((B^K) x. A)) e. RR)
11		nnrp 7238	. . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR+)
12	11	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> B e. RR+)
13		modval 7501	. . 3 |- (((|_` ((B^K) x. A)) e. RR /\ B e. RR+) -> ((|_` ((B^K) x. A)) mod B) = ((|_` ((B^K) x. A)) - (B x. (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B)))))
14	10, 12, 13	syl11anc 524	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> ((|_` ((B^K) x. A)) mod B) = ((|_` ((B^K) x. A)) - (B x. (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B)))))
15		simp2 877	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> B e. NN)
16		fldiv 7497	. . . . . 6 |- ((((B^K) x. A) e. RR /\ B e. NN) -> (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B)) = (|_` (((B^K) x. A) / B)))
17	8, 15, 16	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B)) = (|_` (((B^K) x. A) / B)))
18		expcl 7824	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ K e. NN0) -> (B^K) e. CC)
19		nncn 7113	. . . . . . . . . 10 |- (B e. NN -> B e. CC)
20	18, 19, 4	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- ((B e. NN /\ K e. NN) -> (B^K) e. CC)
21	20	3adant1 894	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (B^K) e. CC)
22		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
23	22	3ad2ant1 897	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> A e. CC)
24		nnne0 7132	. . . . . . . . . 10 |- (B e. NN -> B =/= 0)
25	19, 24	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (B e. NN -> (B e. CC /\ B =/= 0))
26	25	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (B e. CC /\ B =/= 0))
27		div23 6925	. . . . . . . 8 |- (((B^K) e. CC /\ A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((B^K) x. A) / B) = (((B^K) / B) x. A))
28	21, 23, 26, 27	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (((B^K) x. A) / B) = (((B^K) / B) x. A))
29		expm1 7843	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CC /\ B =/= 0 /\ K e. NN) -> (B^(K - 1)) = ((B^K) / B))
30	29	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((B e. CC /\ B =/= 0) /\ K e. NN) -> (B^(K - 1)) = ((B^K) / B))
31	30, 25	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((B e. NN /\ K e. NN) -> (B^(K - 1)) = ((B^K) / B))
32	31	3adant1 894	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (B^(K - 1)) = ((B^K) / B))
33	32	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> ((B^(K - 1)) x. A) = (((B^K) / B) x. A))
34	28, 33	eqtr4d 1928	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (((B^K) x. A) / B) = ((B^(K - 1)) x. A))
35	34	fveq2d 4685	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (|_` (((B^K) x. A) / B)) = (|_` ((B^(K - 1)) x. A)))
36	17, 35	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B)) = (|_` ((B^(K - 1)) x. A)))
37	36	opreq2d 4898	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> (B x. (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B))) = (B x. (|_` ((B^(K - 1)) x. A))))
38	37	opreq2d 4898	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> ((|_` ((B^K) x. A)) - (B x. (|_` ((|_` ((B^K) x. A)) / B)))) = ((|_` ((B^K) x. A)) - (B x. (|_` ((B^(K - 1)) x. A)))))
39	14, 38	eqtrd 1925	1 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN) -> ((|_` ((B^K) x. A)) mod B) = ((|_` ((B^K) x. A)) - (B x. (|_` ((B^(K - 1)) x. A)))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  RR+crp 6453  |_cfl 7462   mod cmo 7499  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  digit1 7905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-mod 7500  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain