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Theorem digit1 12413
Description: Two ways to express the  K th digit in the decimal expansion of a number  A (when base  B  =  10). 
K  =  1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
digit1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )

Proof of Theorem digit1
StepHypRef Expression
1 digit2 12412 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
213coml 1216 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
323expa 1209 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) ) )
43oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
5 nnre 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
6 nnnn0 10883 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
7 reexpcl 12296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  RR )
85, 6, 7syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR )
9 remulcl 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ K
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A
)  e.  RR )
108, 9sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  e.  RR )
11 reflcl 12039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ K
)  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  e.  RR )
1210, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  e.  RR )
13 nnrp 11318 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
1413ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
1512, 14modcld 12109 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR )
16 nnexpcl 12292 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  NN )
176, 16sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  NN )
1817nnrpd 11346 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR+ )
1918adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR+ )
20 modge0 12113 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B ) )
2112, 14, 20syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
225ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
238adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR )
24 modlt 12114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
)  <  B )
2512, 14, 24syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  B
)
26 nncn 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
27 exp1 12285 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2928adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
305adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
31 nnge1 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3231adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  1  <_  B )
33 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  NN )
34 nnuz 11201 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
36 leexp2a 12335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <_  B  /\  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( B ^ 1 )  <_ 
( B ^ K
) )
3730, 32, 35, 36syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  <_  ( B ^ K ) )
3829, 37eqbrtrrd 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
3938adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
4015, 22, 23, 25, 39ltletrd 9800 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) )
41 modid 12128 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR  /\  ( B ^ K
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  /\  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
) )
4215, 19, 21, 40, 41syl22anc 1270 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
43 simpll 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  NN )
44 nnm1nn0 10918 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
45 reexpcl 12296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
465, 44, 45syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
47 remulcl 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR )
4846, 47sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
49 nnexpcl 12292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5044, 49sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5150adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  NN )
52 modmulnn 12121 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR  /\  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
5343, 48, 51, 52syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )  <_  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
54 expm1t 12307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  B ) )
55 expcl 12297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5644, 55sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
57 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
5856, 57mulcomd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
5954, 58eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6026, 59sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6160adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  =  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )
6261oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
6361oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) )  x.  A ) )
6426ad2antrr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
6526, 44, 55syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
6665adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  CC )
67 recn 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6867adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
6964, 66, 68mulassd 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7063, 69eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7170fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )
7271, 61oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
7353, 62, 723brtr4d 4436 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
74 reflcl 12039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )
7548, 74syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) )  e.  RR )
76 remulcl 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
7722, 75, 76syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
78 modsubdir 12165 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ K )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
7912, 77, 19, 78syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_
`  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
8073, 79mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
814, 42, 803eqtr3d 2495 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) ) ) )
82813impa 1204 . 2  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
83823comr 1217 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   |_cfl 12033    mod cmo 12103   ^cexp 12279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280
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