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Theorem digit1 12303
Description: Two ways to express the  K th digit in the decimal expansion of a number  A (when base  B  =  10). 
K  =  1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
digit1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )

Proof of Theorem digit1
StepHypRef Expression
1 digit2 12302 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
213coml 1203 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
323expa 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) ) )
43oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
5 nnre 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
6 nnnn0 10823 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
7 reexpcl 12186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  RR )
85, 6, 7syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR )
9 remulcl 9594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ K
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A
)  e.  RR )
108, 9sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  e.  RR )
11 reflcl 11936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ K
)  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  e.  RR )
13 nnrp 11254 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
1413ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
1512, 14modcld 12005 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR )
16 nnexpcl 12182 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  NN )
176, 16sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  NN )
1817nnrpd 11280 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR+ )
1918adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR+ )
20 modge0 12008 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B ) )
2112, 14, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
225ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
238adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR )
24 modlt 12009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
)  <  B )
2512, 14, 24syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  B
)
26 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
27 exp1 12175 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
305adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
31 nnge1 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  1  <_  B )
33 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  NN )
34 nnuz 11141 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
36 leexp2a 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <_  B  /\  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( B ^ 1 )  <_ 
( B ^ K
) )
3730, 32, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  <_  ( B ^ K ) )
3829, 37eqbrtrrd 4478 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
4015, 22, 23, 25, 39ltletrd 9759 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) )
41 modid 12023 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR  /\  ( B ^ K
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  /\  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
) )
4215, 19, 21, 40, 41syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
43 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  NN )
44 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
45 reexpcl 12186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
465, 44, 45syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
47 remulcl 9594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR )
4846, 47sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
49 nnexpcl 12182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5044, 49sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  NN )
52 modmulnn 12016 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR  /\  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
5343, 48, 51, 52syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )  <_  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
54 expm1t 12197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  B ) )
55 expcl 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5644, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
57 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
5856, 57mulcomd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
5954, 58eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6026, 59sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6160adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  =  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )
6261oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
6361oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) )  x.  A ) )
6426ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
6526, 44, 55syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  CC )
67 recn 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6867adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
6964, 66, 68mulassd 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7063, 69eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7170fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )
7271, 61oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
7353, 62, 723brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
74 reflcl 11936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )
7548, 74syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) )  e.  RR )
76 remulcl 9594 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
7722, 75, 76syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
78 modsubdir 12058 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ K )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
7912, 77, 19, 78syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_
`  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
8073, 79mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
814, 42, 803eqtr3d 2506 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) ) ) )
82813impa 1191 . 2  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
83823comr 1204 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   |_cfl 11930    mod cmo 11999   ^cexp 12169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170
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