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Theorem difxp 5431
Description: Difference of Cartesian products, expressed in terms of a union of Cartesian products of differences. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
difxp  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )

Proof of Theorem difxp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3631 . . 3  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)
2 relxp 5110 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  D )
3 relss 5090 . . 3  |-  ( ( ( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)  ->  ( Rel  ( C  X.  D
)  ->  Rel  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) ) ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  Rel  (
( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )
5 relxp 5110 . . 3  |-  Rel  (
( C  \  A
)  X.  D )
6 relxp 5110 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) )
7 relun 5119 . . 3  |-  ( Rel  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( Rel  ( ( C  \  A )  X.  D )  /\  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
85, 6, 7mpbir2an 918 . 2  |-  Rel  (
( ( C  \  A )  X.  D
)  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
9 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  <->  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B )
)
109anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) ) )
11 andi 865 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) )  <->  ( (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A )  \/  (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B ) ) )
1210, 11bitri 249 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
13 opelxp 5029 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )
14 opelxp 5029 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1514notbii 296 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1613, 15anbi12i 697 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
17 opelxp 5029 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( x  e.  ( C  \  A
)  /\  y  e.  D ) )
18 eldif 3486 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1918anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D ) )
20 an32 796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D )  <->  ( (
x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
) )
2119, 20bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A ) )
2217, 21bitri 249 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A )
)
23 eldif 3486 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  B )  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  B ) )
2423anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
25 opelxp 5029 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) ) )
26 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2724, 25, 263bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B )
)
2822, 27orbi12i 521 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2912, 16, 283bitr4i 277 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A
)  X.  D )  \/  <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
30 eldif 3486 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  D )  /\  -.  <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
31 elun 3645 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( C 
\  A )  X.  D )  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 277 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
334, 8, 32eqrelriiv 5097 1  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   <.cop 4033    X. cxp 4997   Rel wrel 5004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006
This theorem is referenced by:  difxp1  5432  difxp2  5433  evlslem4OLD  17984  evlslem4  17985  txcld  19931
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