MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsnexi Structured version   Unicode version

Theorem difsnexi 6590
Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
difsnexi  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  _V  ->  N  e.  _V )

Proof of Theorem difsnexi
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( N  \  { K } )  e.  _V )  ->  ( N  \  { K } )  e. 
_V )
2 snex 4675 . . . . 5  |-  { K }  e.  _V
3 unexg 6583 . . . . 5  |-  ( ( ( N  \  { K } )  e.  _V  /\ 
{ K }  e.  _V )  ->  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  e.  _V )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( N  \  { K } )  e.  _V )  ->  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } )  e.  _V )
5 difsnid 4158 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
65eqcomd 2449 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
76eleq1d 2510 . . . . 5  |-  ( K  e.  N  ->  ( N  e.  _V  <->  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } )  e.  _V ) )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( N  \  { K } )  e.  _V )  ->  ( N  e. 
_V 
<->  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  e.  _V ) )
94, 8mpbird 232 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( N  \  { K } )  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
109ex 434 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  e.  _V  ->  N  e.  _V )
)
11 difsn 4146 . . . 4  |-  ( -.  K  e.  N  -> 
( N  \  { K } )  =  N )
1211eleq1d 2510 . . 3  |-  ( -.  K  e.  N  -> 
( ( N  \  { K } )  e. 
_V 
<->  N  e.  _V )
)
1312biimpd 207 . 2  |-  ( -.  K  e.  N  -> 
( ( N  \  { K } )  e. 
_V  ->  N  e.  _V ) )
1410, 13pm2.61i 164 1  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  _V  ->  N  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    \ cdif 3456    u. cun 3457   {csn 4011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-sn 4012  df-pr 4014  df-uni 4232
This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  16372  pmtrdifellem2  16373  tgdif0  19364
  Copyright terms: Public domain W3C validator