Theorem difsnOLD 3126

Description: An element not in a set can be removed without affecting the set.

Assertion

Ref	Expression
difsnOLD	|- (-. A e. B -> (B \ {A}) = B)

Proof of Theorem difsnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 2735	. . 3 |- (B \ {A}) C_ B
2	1	a1i 8	. 2 |- (-. A e. B -> (B \ {A}) C_ B)
3		nelneq 1985	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ -. A e. B) -> -. x = A)
4		df-ne 2019	. . . . . . 7 |- (x =/= A <-> -. x = A)
5	3, 4	sylibr 217	. . . . . 6 |- ((x e. B /\ -. A e. B) -> x =/= A)
6	5	expcom 403	. . . . 5 |- (-. A e. B -> (x e. B -> x =/= A))
7	6	ancld 322	. . . 4 |- (-. A e. B -> (x e. B -> (x e. B /\ x =/= A)))
8		eldifsn 3123	. . . 4 |- (x e. (B \ {A}) <-> (x e. B /\ x =/= A))
9	7, 8	syl6ibr 230	. . 3 |- (-. A e. B -> (x e. B -> x e. (B \ {A})))
10	9	ssrdv 2622	. 2 |- (-. A e. B -> B C_ (B \ {A}))
11	2, 10	eqssd 2633	1 |- (-. A e. B -> (B \ {A}) = B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   \ cdif 2590   C_ wss 2593  {csn 3044

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain