MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difrp Structured version   Unicode version

Theorem difrp 11262
Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
difrp  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  RR+ ) )

Proof of Theorem difrp
StepHypRef Expression
1 posdif 10051 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2 resubcl 9888 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
32ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
4 elrp 11231 . . . 4  |-  ( ( B  -  A )  e.  RR+  <->  ( ( B  -  A )  e.  RR  /\  0  < 
( B  -  A
) ) )
54baib 903 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  RR  ->  (
( B  -  A
)  e.  RR+  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  -  A )  e.  RR+  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
71, 6bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495    < clt 9631    - cmin 9810   RR+crp 11229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813  df-rp 11230
This theorem is referenced by:  xralrple  11413  lincmb01cmp  11672  iccf1o  11673  expmulnbnd  12277  fsumlt  13593  expcnv  13654  blssps  20800  blss  20801  icchmeo  21314  icopnfcnv  21315  icopnfhmeo  21316  ivthlem2  21737  ivthlem3  21738  c1liplem1  22270  lhop1lem  22287  ftc1lem4  22313  aaliou3lem7  22617  abelthlem7  22705  cosordlem  22790  logdivlti  22877  cxpaddlelem  22997  atantan  23126  birthdaylem3  23155  chtppilimlem2  23531  pntrlog2bndlem5  23638  pntlemd  23651  pntlemc  23652  ostth2lem1  23675  ttgcontlem1  24060  lt2addrd  27435  signsplypnf  28380  lgamgulmlem2  28445  lgamgulmlem3  28446  ftc1cnnclem  30063  cvgdvgrat  31170
  Copyright terms: Public domain W3C validator