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Theorem difreicc 11771
Description: The class difference of  RR and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) )

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3446 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
2 rexr 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 elicc1 11687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
52, 3, 4syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
65adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
76notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8 3anass 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98notbii 297 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
10 ianor 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
11 rexr 9693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
1211pm2.24d 137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
1312adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
14 ianor 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
1511ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
16 mnflt 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
1716ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> -oo  <  x )
18 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
19 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 ltnle 9720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x )
)
2120bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x 
<->  x  <  A ) )
2218, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  <->  x  <  A ) )
2322biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  <  A )
24 mnfxr 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- -oo  e.  RR*
252ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  A  e.  RR* )
26 elioo1 11683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2724, 25, 26sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> 
( x  e.  ( -oo (,) A )  <-> 
( x  e.  RR*  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A ) ) )
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  ( -oo (,) A ) )
2928ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  ->  x  e.  ( -oo (,) A ) ) )
30 ltnle 9720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B )
)
3130adantll 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  <->  -.  x  <_  B ) )
3211ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  RR* )
33 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  <  x )
34 ltpnf 11429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
3534ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  < +oo )
363ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  e.  RR* )
37 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
38 elioo1 11683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  < +oo ) ) )
3936, 37, 38sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  (
x  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  < +oo ) ) )
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  ( B (,) +oo ) )
4140ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
) )
4231, 41sylbird 238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  B  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
) )
4329, 42orim12d 846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4414, 43syl5bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4513, 44jaod 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4610, 45syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo )
) ) )
479, 46syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
487, 47sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4948expimpd 606 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
50 elun 3606 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo )
) )
5149, 50syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) ) )
52 ioossre 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) A )  C_  RR
53 ioossre 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) +oo )  C_  RR
5452, 53unssi 3641 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  C_  RR
5554sseli 3460 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
5655adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
57 elioo2 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5824, 2, 57sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A )  <-> 
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A ) ) )
6020biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) )
6160ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo  <  x  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6362com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) ) ) )
65643impd 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
)  ->  -.  A  <_  x ) )
6659, 65sylbid 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A )  ->  -.  A  <_  x ) )
673adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
6867, 37, 38sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  <  x  /\  x  < +oo ) ) )
69 xrltnle 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B ) )
7069biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) )
7170ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7271com3l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  < +oo  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
7473com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  (
x  < +oo  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
753, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  -> 
( x  < +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
7675adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( x  < +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
77763impd 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  B  <  x  /\  x  < +oo )  ->  -.  x  <_  B ) )
7868, 77sylbid 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,) +oo )  ->  -.  x  <_  B
) )
7966, 78orim12d 846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_  B
) ) )
8050, 79syl5bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) ) )
8180imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
8281, 14sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
8382intnand 924 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8483, 8sylnibr 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
852, 3anim12i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
8685adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
874notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8984, 88mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A [,] B
) )
9056, 89jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
9190ex 435 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) ) )
9251, 91impbid 193 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  <->  x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) ) )
931, 92syl5bb 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A [,] B ) )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) ) )
9493eqrdv 2419 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    \ cdif 3433    u. cun 3434   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   (,)cioo 11642   [,]cicc 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-ioo 11646  df-icc 11649
This theorem is referenced by:  icccld  21785  iccmbl  22517  mbfimaicc  22587  icccncfext  37705
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