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Theorem difreicc 11641
Description: The class difference of  RR and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) )

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3479 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
2 rexr 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 elicc1 11562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
52, 3, 4syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
76notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8 3anass 972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
10 ianor 488 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
11 rexr 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
1211pm2.24d 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
14 ianor 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
1511ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
16 mnflt 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> -oo  <  x )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
19 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 ltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x )
)
2120bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x 
<->  x  <  A ) )
2218, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  <->  x  <  A ) )
2322biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  <  A )
24 mnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- -oo  e.  RR*
252ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  A  e.  RR* )
26 elioo1 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2724, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> 
( x  e.  ( -oo (,) A )  <-> 
( x  e.  RR*  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A ) ) )
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  ( -oo (,) A ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  ->  x  e.  ( -oo (,) A ) ) )
30 ltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B )
)
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  <->  -.  x  <_  B ) )
3211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  RR* )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  <  x )
34 ltpnf 11320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
3534ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  < +oo )
363ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  e.  RR* )
37 pnfxr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
38 elioo1 11558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  < +oo ) ) )
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  (
x  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  < +oo ) ) )
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  ( B (,) +oo ) )
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
) )
4231, 41sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  B  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
) )
4329, 42orim12d 835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4414, 43syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4513, 44jaod 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4610, 45syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo )
) ) )
479, 46syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
487, 47sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
4948expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
50 elun 3638 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  ( -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,) +oo )
) )
5149, 50syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) ) )
52 ioossre 11575 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) A )  C_  RR
53 ioossre 11575 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) +oo )  C_  RR
5452, 53unssi 3672 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  C_  RR
5554sseli 3493 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
5655adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
57 elioo2 11559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5824, 2, 57sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A )  <-> 
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A ) ) )
6020biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo  <  x  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6362com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  ->  ( -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) ) ) )
65643impd 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  A
)  ->  -.  A  <_  x ) )
6659, 65sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) A )  ->  -.  A  <_  x ) )
673adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
6867, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  <  x  /\  x  < +oo ) ) )
69 xrltnle 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B ) )
7069biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7271com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  < +oo  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
7473com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  (
x  < +oo  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
753, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  -> 
( x  < +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( x  < +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
77763impd 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  B  <  x  /\  x  < +oo )  ->  -.  x  <_  B ) )
7868, 77sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,) +oo )  ->  -.  x  <_  B
) )
7966, 78orim12d 835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,) +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_  B
) ) )
8050, 79syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) ) )
8180imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
8281, 14sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
8382intnand 909 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8483, 8sylnibr 305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
852, 3anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
8685adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
874notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8984, 88mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A [,] B
) )
9056, 89jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
9190ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( -oo (,) A
)  u.  ( B (,) +oo ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) ) )
9251, 91impbid 191 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  <->  x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) ) )
931, 92syl5bb 257 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A [,] B ) )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) ) )
9493eqrdv 2457 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3466    u. cun 3467   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   (,)cioo 11518   [,]cicc 11521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ioo 11522  df-icc 11525
This theorem is referenced by:  icccld  21002  iccmbl  21704  mbfimaicc  21768  icccncfext  31181
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