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Mathbox for Alexander van der Vekens |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > difmodm1lt | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The difference between an
integer modulo a positive integer and the
integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus
decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not
be valid for an odd ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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difmodm1lt |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpl 459 |
. . . 4
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2 | zre 10941 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . . . 8
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4 | nnre 10616 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | 3ad2ant2 1030 |
. . . . . . . 8
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6 | 1lt2 10776 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 1red 9658 |
. . . . . . . . . . . . 13
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8 | 2re 10679 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
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10 | 7, 9, 4 | 3jca 1188 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | lttr 9710 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 6, 12 | mpani 682 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | 3imp 1202 |
. . . . . . . 8
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16 | 3, 5, 15 | 3jca 1188 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | adantl 468 |
. . . . . 6
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18 | m1mod0mod1 38723 |
. . . . . 6
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19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . 5
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20 | 1, 19 | mpbird 236 |
. . . 4
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21 | 1, 20 | oveq12d 6308 |
. . 3
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22 | df-2 10668 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | breq1i 4409 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | biimpi 198 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | adantl 468 |
. . . . . . 7
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26 | 1red 9658 |
. . . . . . . 8
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27 | 4 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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28 | 26, 26, 27 | ltaddsub2d 10214 |
. . . . . . 7
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29 | 25, 28 | mpbid 214 |
. . . . . 6
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30 | 1m0e1 10720 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | breq1i 4409 |
. . . . . 6
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32 | 29, 31 | sylibr 216 |
. . . . 5
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33 | 32 | 3adant1 1026 |
. . . 4
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34 | 33 | adantl 468 |
. . 3
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35 | 21, 34 | eqbrtrd 4423 |
. 2
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36 | zmodfz 12118 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | 3adant3 1028 |
. . . . . 6
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38 | elfzle2 11803 |
. . . . . 6
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39 | 37, 38 | syl 17 |
. . . . 5
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40 | 39 | adantl 468 |
. . . 4
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41 | nnrp 11311 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | 3ad2ant2 1030 |
. . . . . . . 8
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43 | 3, 42 | modcld 12102 |
. . . . . . 7
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44 | peano2rem 9941 |
. . . . . . . . 9
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45 | 4, 44 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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46 | 45 | 3ad2ant2 1030 |
. . . . . . 7
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47 | peano2zm 10980 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 47 | zred 11040 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . . . 8
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50 | 49, 42 | modcld 12102 |
. . . . . . 7
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51 | 43, 46, 50 | 3jca 1188 |
. . . . . 6
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52 | 51 | adantl 468 |
. . . . 5
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53 | lesub1 10108 |
. . . . 5
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54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . 4
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55 | 40, 54 | mpbid 214 |
. . 3
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56 | 49, 42 | jca 535 |
. . . . . . . 8
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57 | 56 | adantl 468 |
. . . . . . 7
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58 | modge0 12106 |
. . . . . . 7
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59 | 57, 58 | syl 17 |
. . . . . 6
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60 | 16, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 60 | bicomd 205 |
. . . . . . . . 9
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62 | 61 | notbid 296 |
. . . . . . . 8
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63 | 62 | biimpac 489 |
. . . . . . 7
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64 | 63 | neqned 2631 |
. . . . . 6
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65 | 59, 64 | jca 535 |
. . . . 5
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66 | 0red 9644 |
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67 | 66, 50 | jca 535 |
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69 | ltlen 9735 |
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74 | ltsubpos 10106 |
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76 | 71, 75 | mpbid 214 |
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77 | 43, 50 | resubcld 10047 |
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79 | 77, 78, 46 | 3jca 1188 |
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83 | 55, 76, 82 | mp2and 685 |
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84 | 35, 83 | pm2.61ian 799 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-er 7363 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-sup 7956 df-inf 7957 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-n0 10870 df-z 10938 df-uz 11160 df-rp 11303 df-fz 11785 df-fl 12028 df-mod 12097 |
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