Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmodm1lt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem difmodm1lt 40378
 Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd and , since would be which is not less than . (Contributed by AV, 6-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
difmodm1lt

Proof of Theorem difmodm1lt
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . 4
2 zre 10941 . . . . . . . . 9
323ad2ant1 1029 . . . . . . . 8
4 nnre 10616 . . . . . . . . 9
543ad2ant2 1030 . . . . . . . 8
6 1lt2 10776 . . . . . . . . . . 11
7 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13
8 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . 14
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
107, 9, 43jca 1188 . . . . . . . . . . . 12
11 lttr 9710 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11
136, 12mpani 682 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
15143imp 1202 . . . . . . . 8
163, 5, 153jca 1188 . . . . . . 7
1716adantl 468 . . . . . 6
18 m1mod0mod1 38723 . . . . . 6
1917, 18syl 17 . . . . 5
201, 19mpbird 236 . . . 4
211, 20oveq12d 6308 . . 3
22 df-2 10668 . . . . . . . . . 10
2322breq1i 4409 . . . . . . . . 9
2423biimpi 198 . . . . . . . 8
2524adantl 468 . . . . . . 7
26 1red 9658 . . . . . . . 8
274adantr 467 . . . . . . . 8
2826, 26, 27ltaddsub2d 10214 . . . . . . 7
2925, 28mpbid 214 . . . . . 6
30 1m0e1 10720 . . . . . . 7
3130breq1i 4409 . . . . . 6
3229, 31sylibr 216 . . . . 5
33323adant1 1026 . . . 4
3521, 34eqbrtrd 4423 . 2
36 zmodfz 12118 . . . . . . 7
37363adant3 1028 . . . . . 6
38 elfzle2 11803 . . . . . 6
3937, 38syl 17 . . . . 5
4039adantl 468 . . . 4
41 nnrp 11311 . . . . . . . . 9
42413ad2ant2 1030 . . . . . . . 8
433, 42modcld 12102 . . . . . . 7
44 peano2rem 9941 . . . . . . . . 9
454, 44syl 17 . . . . . . . 8
46453ad2ant2 1030 . . . . . . 7
47 peano2zm 10980 . . . . . . . . . 10
4847zred 11040 . . . . . . . . 9
49483ad2ant1 1029 . . . . . . . 8
5049, 42modcld 12102 . . . . . . 7
5143, 46, 503jca 1188 . . . . . 6
5251adantl 468 . . . . 5
53 lesub1 10108 . . . . 5
5452, 53syl 17 . . . 4
5540, 54mpbid 214 . . 3
5649, 42jca 535 . . . . . . . 8
5756adantl 468 . . . . . . 7
58 modge0 12106 . . . . . . 7
5957, 58syl 17 . . . . . 6
6016, 18syl 17 . . . . . . . . . 10
6160bicomd 205 . . . . . . . . 9
6261notbid 296 . . . . . . . 8
6362biimpac 489 . . . . . . 7
6463neqned 2631 . . . . . 6
6559, 64jca 535 . . . . 5
66 0red 9644 . . . . . . . 8
6766, 50jca 535 . . . . . . 7
6867adantl 468 . . . . . 6
69 ltlen 9735 . . . . . 6
7068, 69syl 17 . . . . 5
7165, 70mpbird 236 . . . 4
7250, 46jca 535 . . . . . 6
7372adantl 468 . . . . 5
74 ltsubpos 10106 . . . . 5
7573, 74syl 17 . . . 4
7671, 75mpbid 214 . . 3
7743, 50resubcld 10047 . . . . . 6
7846, 50resubcld 10047 . . . . . 6
7977, 78, 463jca 1188 . . . . 5
8079adantl 468 . . . 4
81 lelttr 9724 . . . 4
8280, 81syl 17 . . 3
8355, 76, 82mp2and 685 . 2
8435, 83pm2.61ian 799 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cn 10609  c2 10659  cz 10937  crp 11302  cfz 11784   cmo 12096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12028  df-mod 12097 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator