MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difmbl Structured version   Unicode version

Theorem difmbl 20983
Description: A difference of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
difmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem difmbl
StepHypRef Expression
1 indif2 3590 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  =  ( ( A  i^i  RR )  \  B )
2 mblss 20973 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 df-ss 3339 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  <->  ( A  i^i  RR )  =  A )
42, 3sylib 196 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  RR )  =  A )
54difeq1d 3470 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  i^i  RR )  \  B )  =  ( A  \  B
) )
61, 5syl5eq 2485 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  ( RR 
\  B ) )  =  ( A  \  B ) )
76adantr 462 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  =  ( A 
\  B ) )
8 cmmbl 20975 . . 3  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  B )  e.  dom  vol )
9 inmbl 20982 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( RR  \  B
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  e.  dom  vol )
108, 9sylan2 471 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  e.  dom  vol )
117, 10eqeltrrd 2516 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   dom cdm 4836   RRcr 9277   volcvol 20906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-ovol 20907  df-vol 20908
This theorem is referenced by:  volinun  20986  iunmbl  20993  volsup  20996  icombl  21004  ioombl  21005  mbfimaicc  21070  mbfeqalem  21079  mbfss  21083  ismbf3d  21091  i1fd  21118  mbfi1fseqlem4  21155  itg2cnlem2  21199  itgss3  21251  mblfinlem3  28355  mblfinlem4  28356  ismblfin  28357  cnambfre  28365  ftc1anclem5  28396
  Copyright terms: Public domain W3C validator