MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difmbl Structured version   Unicode version

Theorem difmbl 21140
Description: A difference of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
difmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem difmbl
StepHypRef Expression
1 indif2 3691 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  =  ( ( A  i^i  RR )  \  B )
2 mblss 21130 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 df-ss 3440 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  <->  ( A  i^i  RR )  =  A )
42, 3sylib 196 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  RR )  =  A )
54difeq1d 3571 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  i^i  RR )  \  B )  =  ( A  \  B
) )
61, 5syl5eq 2504 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  ( RR 
\  B ) )  =  ( A  \  B ) )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  =  ( A 
\  B ) )
8 cmmbl 21132 . . 3  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  B )  e.  dom  vol )
9 inmbl 21139 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( RR  \  B
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  e.  dom  vol )
108, 9sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( RR  \  B ) )  e.  dom  vol )
117, 10eqeltrrd 2540 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3423    i^i cin 3425    C_ wss 3426   dom cdm 4938   RRcr 9382   volcvol 21063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-ovol 21064  df-vol 21065
This theorem is referenced by:  volinun  21143  iunmbl  21150  volsup  21153  icombl  21161  ioombl  21162  mbfimaicc  21227  mbfeqalem  21236  mbfss  21240  ismbf3d  21248  i1fd  21275  mbfi1fseqlem4  21312  itg2cnlem2  21356  itgss3  21408  mblfinlem3  28568  mblfinlem4  28569  ismblfin  28570  cnambfre  28578  ftc1anclem5  28609
  Copyright terms: Public domain W3C validator