MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difinf Structured version   Unicode version

Theorem difinf 7696
Description: An infinite set  A minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
difinf  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin )

Proof of Theorem difinf
StepHypRef Expression
1 unfi 7693 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  B
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  \  B )  u.  B
)  e.  Fin )
2 undif1 3865 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
32eleq1i 2531 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  B
)  u.  B )  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
4 unfir 7694 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )
54simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
63, 5sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  B
)  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  B
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
87expcom 435 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  \  B
)  e.  Fin  ->  A  e.  Fin ) )
98con3d 133 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin ) )
109impcom 430 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    \ cdif 3436    u. cun 3437   Fincfn 7423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427
This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  8520  bitsf1  13763  bwthOLD  19149  cusgrafilem3  23561  hasheuni  26699  eldioph2lem2  29267
  Copyright terms: Public domain W3C validator