Theorem difex2OLD 3803

Description: If the subtrahend of a class difference exists, then the minuend exists iff the difference exists.

Assertion

Ref	Expression
difex2OLD	|- (B e. C -> (A e. _V <-> (A \ B) e. _V))

Proof of Theorem difex2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 3458	. 2 |- (A e. _V -> (A \ B) e. _V)
2		ssexg 3457	. . . 4 |- ((A C_ (B u. A) /\ (B u. A) e. _V) -> A e. _V)
3		ssun2 2768	. . . 4 |- A C_ (B u. A)
4		elisset 2299	. . . . . . . 8 |- (B e. C -> B e. _V)
5	4	anim1i 361	. . . . . . 7 |- ((B e. C /\ (A \ B) e. _V) -> (B e. _V /\ (A \ B) e. _V))
6	5	ancoms 484	. . . . . 6 |- (((A \ B) e. _V /\ B e. C) -> (B e. _V /\ (A \ B) e. _V))
7		unexb 3797	. . . . . 6 |- ((B e. _V /\ (A \ B) e. _V) <-> (B u. (A \ B)) e. _V)
8	6, 7	sylib 215	. . . . 5 |- (((A \ B) e. _V /\ B e. C) -> (B u. (A \ B)) e. _V)
9		undif2 2950	. . . . 5 |- (B u. (A \ B)) = (B u. A)
10	8, 9	syl5eqelr 1976	. . . 4 |- (((A \ B) e. _V /\ B e. C) -> (B u. A) e. _V)
11	2, 3, 10	sylancr 526	. . 3 |- (((A \ B) e. _V /\ B e. C) -> A e. _V)
12	11	expcom 403	. 2 |- (B e. C -> ((A \ B) e. _V -> A e. _V))
13	1, 12	impbid2 576	1 |- (B e. C -> (A e. _V <-> (A \ B) e. _V))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-uni 3178

Copyright terms: Public domain